Глава 9. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ

§ 1. Формулировки теоремы и основных вспомогательных предложений

В § 2 гл. 6 доказана теорема 2 об алгебраической независимости значений в алгебраических точках функции

и ее производной. Эта теорема была установлена К. Зигелем в 1929 г. в работе [73 : 3]. В ее доказательстве существенное значение имеет метод, позволяющий устанавливать алгебраическую независимость над решений и их производных линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с коэффициентами из

В той же работе Зигель развил метод доказательства алгебраической независимости над решений и их производных совокупности конкретных линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с коэффициентами из Это позволило ему доказать следующую теорему.

Теорема Зигеля. Пусть числа и удовлетворяют условиям

а алгебраические числа, квадраты которых различны и отличны от нуля.

Тогда чисел

алгебраически независимы.

Доказательство теоремы Зигеля было сложным. После того, как метод Зигеля был обобщен и появилась вторая основная теорема, доказанная в гл. 3, оно несколько сократилось. Отпала

необходимость проверять выполнение условия нормальности Зигеля для произведений степеней рассматриваемых функций.

Функция (1) есть решение дифференциального уравнения (6.9), а функция является решением соответствующего из дифференциальных уравнений

Для доказательства теоремы Зигеля установим следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть любое нетривиальное решение соответствующего из дифференциальных уравнений (2).

Тогда функции алгебраически независимы над

Обозначим

Эта совокупность функций составляет решение системы из линейных однородных дифференциальных уравнений, распадающейся на ттгтг подсистем

Поэтому теорема Зигеля следует из второй основной теоремы гл. 3 и леммы 1.

В 1971 г. И. И. Белогривов несколько упростил рассуждения Зигеля об алгебраической независимости функций, рассматриваемых в теореме Зигеля, и обобщил их на функции Куммера (6.60) и некоторые связанные с ними функции. Тем самым он упростил доказательство теоремы Зигеля.

В 1968 г. Е. Р. Колчин [49 : 2] доказал общую теорему о свойствах решений совокупности линейных однородных дифференциальных уравнений произвольного порядка Из этой теоремы при он получил утверждение для совокупности функций Бесселя, из которого следует лемма 1.

В гл. 9 будет доказана теорема Зигеля и некоторые, связанные с ней теоремы. Будет изложено более простое доказательство теоремы Зигеля, подготовленное Ю. В. Нестеренко по просьбе автора книги.

Лемма 1 будет установлена с помощью следующей общей теоремы.

Теорема 1. Пусть дифференциальные уравнения

удовлетворяют следующим условиям:

1°. Существуют функции такие, что

2°. Любое нетривиальное решение каждого из уравнений (3) алгебраически независимо над со своей производной.

Далее, набор нетривиальных решений дифференциальных уравнений (3).

Тогда или функций алгебраически независимы над или существуют нетривиальные решения соответствующих дифференциальных уравнений (3), а также функции и со, такие, что выполняется равенство

Теорема 1 является частным случаем при упомянутой выше теоремы Колчина, доказанной методами дифференциальной алгебры и теории алгебраических групп. В несколько более слабой форме (при со теорема 1 была доказана И. И. Белогривовым путем обобщения соответствующих рассуждений Зигеля Доказательство Нестеренко в основном следует доказательствам Зигеля и Белогривова. Заметим, что каких-либо приложений общей теоремы Колчина к конкретным функциям при неизвестно.

Для доказательства теоремы 1 в § 2 и 3 будет установлено несколько вспомогательных предложений.