Главная > Трансцендентные числа
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6. Решения линейных неоднородных дифференциальных уравнении

Метод, изложенный в § 2—5, а также некоторые другие методы доказательства алгебраической независимости решений линейных дифференциальных уравнений, не позволяют вести непосредственно исследование алгебраической независимости решений неоднородных дифференциальных уравнений.

В гл. 6 (теоремы 6 и 7) было показано, что если рассматриваемые функции, удовлетворяющие линейному неоднородному дифференциальному уравнению или системе линейных

неоднородных дифференциальных уравнений, связаны не более чем одним алгебраическим уравнением над полем то исследование алгебраической независимости этих функций сводится к исследованию алгебраической независимости решений соответствующего однородного дифференциального уравнения или соответствующей однородной системы дифференциальных уравнений. Там же были приведены примеры приложения этих теорем к конкретным Е-функциям.

В § 6 будет показано, что указанный переход от исследования неоднородных дифференциальных уравнений к однородным возможен при наличии любого числа алгебраических уравнений, связывающих рассматриваемые функции над Этот переход был обоснован Ю. В. Нестеренко в 1969 г. в работе Все доказываемые в § 7 теоремы содержатся в этой работе.

По-прежнему будет обозначать поле аналитических функций от z, замкнутое относительно операции дифференцирования и содержащее поле С.

Теорема 2. Пусть совокупность аналитических функций

составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

а любое нетривиальное решение соответствующей однородной системы дифференциальных уравнений

состоит из функций алгебраически независимых над

Тогда функции (55) или алгебраически независимы над полем или все принадлежат

Доказательство. Предположим, что функции (55) алгебраически зависимы над Для каждого многочлена будем обозначать сумму членов старшей степени, входящих в Пусть идеал в кольце состоящий из всех многочленов таких, что — идеал, порожденный всеми многочленами такими, что а

и

дифференциальные операторы, связанные с системами дифференциальных уравнений (56) и (57), действующие в кольце

Из равенства (15) следует, что Пусть Так как то а так как равно либо 0, либо то Отсюда следует, что Предположим, что 9° имеет нетривиальный нуль. Тогда, пользуясь утверждением 2° леммы 3, получим противоречие с условием теоремы. Следовательно, идеал имеет единственный нуль (. Тогда по теореме Гильберта о нулях с некоторым целым для каждого имеем

Пусть образуют базис идеала 9°. Такие многочлены найдутся, так как порожден многочленами Тогда существуют однородные многочлены для которых

Обозначим

Так как » то и, значит а поскольку то является линейной комбинацией произведений степеней

с показателями, удовлетворяющими неравенствам к и коэффициентами из Отсюда же следует, что линейное пространство над порожденное всевозможными произведениями степеней (58) с конечномерно и, значит, все функции (55) алгебраичны над

Пусть совокупность функций, сопряженных с функциями (55) над По лемме 2 функции также составляют решение системы дифференциальных уравнений (55). Тогда функции образуют решение системы однородных дифференциальных уравнений (57), состоящее из функций алгебраических над полем По условию теоремы это возможно только, если Следовательно, все совокупности функций, сопряженные для функций (55) над полем совпадают с функциями (55). Это означает, что Теорема доказана.

Заметим, что при условиях теоремы 2 могут иметь место обе рассмотренные в ней ситуации. Например, уравнение

имеет как рациональное решение так и трансцендентное

Докажем теперь более общую теорему о решениях совокупности неоднородных систем дифференциальных уравнений.

Рассмотрим совокупность систем линейных дифференциальных уравнений

и совокупность соответствующих однородных систем дифференциальных уравнений

Теорема 3. Пусть для любого набора нетривиальных решений систем совокупность функций, входящих в него, алгебраически независима над полем , а

— совокупность решений систем (59) такая, что при каждом хотя бы одна из функций (60) не принадлежит .

Тогда функции (60) алгебраически независимы над полем .

Доказательство. Проведем его индукцией по числу систем (59). При утверждение теоремы 3 следует из теоремы 2. Допустим, что теорема справедлива, когда число систем (59) меньше Докажем, что тогда она выполняется и для систем (59).

Пусть I обозначает число неоднородных систем среди систем (59). Если то утверждение теоремы имеет место. Предположим, что теорема доказана для всех наборов по систем, в которых число неоднородных систем меньше Если то, не уменьшая общности доказательства, можно считать, что система однородна.

Обозначим поле, полученное присоединим к полю функций Поле замкнуто относительно операции дифференцирования. Любой набор нетривиальных решений систем состоит из функций алгебраически независимых над При это следует из выбора системы и условия теоремы. При из предположения относительно

Предположим, что найдется такое например что все Функции соответствующего решения принадлежат :

Обозначим дифференциальные операторы, соответствующие системам и в дальнейшем, для краткости, коэффициенты системы вместо будем обозначать Итак, существуют рациональные функции , такие, что

Оператор можно продолжить с кольца на поле рациональных функций по правилу

Тогда для имеем

В частности,

Поскольку по теореме 2 функции алгебраически независимы над то

Если рациональная функция, то степенью будем называть разность степеней многочленов

Пусть наибольшая из степеней функций если степень меньше и равно отношению суммы однородных членов старшей степени числителя и знаменателя если степень равна

Предположим, что Тогда, сравнивая в равенствах (62) слева и справа члены степени получим

Пусть нетривиальное решение системы Обозначим

Среди функций хоть одна отлична от нуля, так как не все равны алгебраически независимы над Из равенств (63) следует, что есть решение но тогда равенство (64) противоречит условию теоремы. Следовательно, и из равенств (62) имеем

В равенствах

Пусть где — наименьший общий знаменатель всех рациональных функций Покажем, что . При очевидно, это имеет место. Пусть Тогда, подставляя в равенства и пользуясь равенством (61), получаем равенство

Отсюда, так как В — наименьший общий знаменатель, получаем, что В делит значит, однородный главный идеал замкнут относительно применения оператора Если предположить, что то тогда, так как будет иметь нетривиальный нуль. Пользуясь леммой 3 придем к противоречию с условием теоремы. Следовательно, т. е. .

А так как все имеют степень 0, то и все Отсюда имеем, что и из равенств (65) следует, что есть решение

Обозначим Так как Поскольку являются решениями то есть решение Но по доказанному выше нетривиальные решения систем алгебраически независимы над Поэтому значит,

Полученное утверждение противоречит условию теоремы и показывает, что для каждого не все функции принадлежат Пользуясь предположением индукции, получаем, что функций алгебраически независимы над Это доказывает теорему, так как функции по теореме 2 алгебраически независимы над 2.

Теорема 3 может быть переформулирована на случай решений нескольких линейных дифференциальных уравнений. Теорема 4. Пусть дифференциальные уравнения

таковы, что для любых нетривиальных решений однородных дифференциальных уравнений, соответствующих уравнениям (66), функции

алгебраически независимы над решения уравнений (66) такие, что

Тогда функции

алгебраически независимы над

Применим полученные результаты к конкретным функциям. Рассмотрим гипергеометрическую функцию

удовлетворяющую линейному неоднородному дифференциальному уравнению

Теорема 5. Пусть и удовлетворяют условиям

а алгебраические числа таковы, числа отличны друг от друга и от нуля.

Тогда чисел

алгебраически независимы.

Для доказательства теоремы 5 установим следующую лемму. Лемма 8. Пусть числа удовлетворяют условиям теоремы 5, а комплексные числа таковы, что отличны друг от друга и от нуля.

Тогда функций

алгебраически независимы над

Доказательство. Пусть есть поле алгебраических функций от . Очевидно, достаточно доказать алгебраическую независимость функций (68) над полем

Рассмотрим совокупность функций

Эти функции трансцендентны и являются решениями дифференциальных уравнений

Коэффициенты дифференциальных уравнений (70) принадлежат полю а соответствующие им однородные дифференциальные уравнения того же типа, что и уравнения (43), полученные из уравнения Бесселя. Эти однородные уравнения удовлетворяют условиям леммы 6. Тогда из леммы 6 следует, что для дифференциальных уравнений (70) выполнены все условия теоремы 4, по которой функции (69) вместе с функциями алгебраически независимы над полем Поскольку то и функции (68) алгебраически независимы над Лемма доказана.

Доказательство теоремы 5. Совокупность -функций (68) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

и по лемме 8 алгебраически независима над Поэтому Утверждение теоремы 5 следует из второй основной теоремы гл. 3.

Заметим, что теорема 5 впервые была установлена

А. А. Шмелевым в 1969 г. [29 : 1]. Его доказательство алгебраической независимости соответствующих функций было довольно сложным. В нем использовался метод работы [28 : 9].

И. И. Белогривов в 1971 г. в статье [1:4] исследовал функции Куммера

рассмотренные в § 4 гл. 6. Он доказал следующую теорему, аналогичную теореме Зигеля.

Теорема 6. Пусть удовлетворяют условиям

а алгебраические числа линейно независимые над

Тогда чисел

алгебраически независимы.

Теорема 6 может быть доказана аналогично теореме Зигеля с помощью вспомогательных предложений

Рассмотрим гипергеометрическую Е-функцию

являющуюся решением дифференциального уравнения

Используя алгебраическую независимость над функций, составляющих решение совокупности дифференциальных уравнений, рассмотренных в теореме 6, с помощью теоремы 4 можно доказать теорему, аналогичную теореме 5.

Теорема 7. Пусть и удовлетворяют условиям:

алгебраические числа линейно независимые над

Тогда чисел

алгебраически независимы.

1
Оглавление
email@scask.ru