§ 6. Решения линейных неоднородных дифференциальных уравнении

Метод, изложенный в § 2—5, а также некоторые другие методы доказательства алгебраической независимости решений линейных дифференциальных уравнений, не позволяют вести непосредственно исследование алгебраической независимости решений неоднородных дифференциальных уравнений.

В гл. 6 (теоремы 6 и 7) было показано, что если рассматриваемые функции, удовлетворяющие линейному неоднородному дифференциальному уравнению или системе линейных

неоднородных дифференциальных уравнений, связаны не более чем одним алгебраическим уравнением над полем то исследование алгебраической независимости этих функций сводится к исследованию алгебраической независимости решений соответствующего однородного дифференциального уравнения или соответствующей однородной системы дифференциальных уравнений. Там же были приведены примеры приложения этих теорем к конкретным Е-функциям.

В § 6 будет показано, что указанный переход от исследования неоднородных дифференциальных уравнений к однородным возможен при наличии любого числа алгебраических уравнений, связывающих рассматриваемые функции над Этот переход был обоснован Ю. В. Нестеренко в 1969 г. в работе Все доказываемые в § 7 теоремы содержатся в этой работе.

По-прежнему будет обозначать поле аналитических функций от z, замкнутое относительно операции дифференцирования и содержащее поле С.

Теорема 2. Пусть совокупность аналитических функций

составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

а любое нетривиальное решение соответствующей однородной системы дифференциальных уравнений

состоит из функций алгебраически независимых над

Тогда функции (55) или алгебраически независимы над полем или все принадлежат

Доказательство. Предположим, что функции (55) алгебраически зависимы над Для каждого многочлена будем обозначать сумму членов старшей степени, входящих в Пусть идеал в кольце состоящий из всех многочленов таких, что — идеал, порожденный всеми многочленами такими, что а

и

— дифференциальные операторы, связанные с системами дифференциальных уравнений (56) и (57), действующие в кольце

Из равенства (15) следует, что Пусть Так как то а так как равно либо 0, либо то Отсюда следует, что Предположим, что 9° имеет нетривиальный нуль. Тогда, пользуясь утверждением 2° леммы 3, получим противоречие с условием теоремы. Следовательно, идеал имеет единственный нуль (. Тогда по теореме Гильберта о нулях с некоторым целым для каждого имеем

Пусть образуют базис идеала 9°. Такие многочлены найдутся, так как порожден многочленами Тогда существуют однородные многочлены для которых

Обозначим

Так как » то и, значит а поскольку то является линейной комбинацией произведений степеней

с показателями, удовлетворяющими неравенствам к и коэффициентами из Отсюда же следует, что линейное пространство над порожденное всевозможными произведениями степеней (58) с конечномерно и, значит, все функции (55) алгебраичны над

Пусть совокупность функций, сопряженных с функциями (55) над По лемме 2 функции также составляют решение системы дифференциальных уравнений (55). Тогда функции образуют решение системы однородных дифференциальных уравнений (57), состоящее из функций алгебраических над полем По условию теоремы это возможно только, если Следовательно, все совокупности функций, сопряженные для функций (55) над полем совпадают с функциями (55). Это означает, что Теорема доказана.

Заметим, что при условиях теоремы 2 могут иметь место обе рассмотренные в ней ситуации. Например, уравнение

имеет как рациональное решение так и трансцендентное

Докажем теперь более общую теорему о решениях совокупности неоднородных систем дифференциальных уравнений.

Рассмотрим совокупность систем линейных дифференциальных уравнений

и совокупность соответствующих однородных систем дифференциальных уравнений

Теорема 3. Пусть для любого набора нетривиальных решений систем совокупность функций, входящих в него, алгебраически независима над полем , а

— совокупность решений систем (59) такая, что при каждом хотя бы одна из функций (60) не принадлежит .

Тогда функции (60) алгебраически независимы над полем .

Доказательство. Проведем его индукцией по числу систем (59). При утверждение теоремы 3 следует из теоремы 2. Допустим, что теорема справедлива, когда число систем (59) меньше Докажем, что тогда она выполняется и для систем (59).

Пусть I обозначает число неоднородных систем среди систем (59). Если то утверждение теоремы имеет место. Предположим, что теорема доказана для всех наборов по систем, в которых число неоднородных систем меньше Если то, не уменьшая общности доказательства, можно считать, что система однородна.

Обозначим поле, полученное присоединим к полю функций Поле замкнуто относительно операции дифференцирования. Любой набор нетривиальных решений систем состоит из функций алгебраически независимых над При это следует из выбора системы и условия теоремы. При из предположения относительно

Предположим, что найдется такое например что все Функции соответствующего решения принадлежат :

Обозначим дифференциальные операторы, соответствующие системам и в дальнейшем, для краткости, коэффициенты системы вместо будем обозначать Итак, существуют рациональные функции , такие, что

Оператор можно продолжить с кольца на поле рациональных функций по правилу

Тогда для имеем

В частности,

Поскольку по теореме 2 функции алгебраически независимы над то

Если рациональная функция, то степенью будем называть разность степеней многочленов

Пусть наибольшая из степеней функций если степень меньше и равно отношению суммы однородных членов старшей степени числителя и знаменателя если степень равна

Предположим, что Тогда, сравнивая в равенствах (62) слева и справа члены степени получим

Пусть нетривиальное решение системы Обозначим

Среди функций хоть одна отлична от нуля, так как не все равны алгебраически независимы над Из равенств (63) следует, что есть решение но тогда равенство (64) противоречит условию теоремы. Следовательно, и из равенств (62) имеем

В равенствах

Пусть где — наименьший общий знаменатель всех рациональных функций Покажем, что . При очевидно, это имеет место. Пусть Тогда, подставляя в равенства и пользуясь равенством (61), получаем равенство

Отсюда, так как В — наименьший общий знаменатель, получаем, что В делит значит, однородный главный идеал замкнут относительно применения оператора Если предположить, что то тогда, так как будет иметь нетривиальный нуль. Пользуясь леммой 3 придем к противоречию с условием теоремы. Следовательно, т. е. .

А так как все имеют степень 0, то и все Отсюда имеем, что и из равенств (65) следует, что есть решение

Обозначим Так как Поскольку являются решениями то есть решение Но по доказанному выше нетривиальные решения систем алгебраически независимы над Поэтому значит,

Полученное утверждение противоречит условию теоремы и показывает, что для каждого не все функции принадлежат Пользуясь предположением индукции, получаем, что функций алгебраически независимы над Это доказывает теорему, так как функции по теореме 2 алгебраически независимы над 2.

Теорема 3 может быть переформулирована на случай решений нескольких линейных дифференциальных уравнений. Теорема 4. Пусть дифференциальные уравнения

таковы, что для любых нетривиальных решений однородных дифференциальных уравнений, соответствующих уравнениям (66), функции

алгебраически независимы над решения уравнений (66) такие, что

Тогда функции

алгебраически независимы над

Применим полученные результаты к конкретным функциям. Рассмотрим гипергеометрическую функцию

удовлетворяющую линейному неоднородному дифференциальному уравнению

Теорема 5. Пусть и удовлетворяют условиям

а алгебраические числа таковы, числа отличны друг от друга и от нуля.

Тогда чисел

алгебраически независимы.

Для доказательства теоремы 5 установим следующую лемму. Лемма 8. Пусть числа удовлетворяют условиям теоремы 5, а комплексные числа таковы, что отличны друг от друга и от нуля.

Тогда функций

алгебраически независимы над

Доказательство. Пусть есть поле алгебраических функций от . Очевидно, достаточно доказать алгебраическую независимость функций (68) над полем

Рассмотрим совокупность функций

Эти функции трансцендентны и являются решениями дифференциальных уравнений

Коэффициенты дифференциальных уравнений (70) принадлежат полю а соответствующие им однородные дифференциальные уравнения того же типа, что и уравнения (43), полученные из уравнения Бесселя. Эти однородные уравнения удовлетворяют условиям леммы 6. Тогда из леммы 6 следует, что для дифференциальных уравнений (70) выполнены все условия теоремы 4, по которой функции (69) вместе с функциями алгебраически независимы над полем Поскольку то и функции (68) алгебраически независимы над Лемма доказана.

Доказательство теоремы 5. Совокупность -функций (68) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

и по лемме 8 алгебраически независима над Поэтому Утверждение теоремы 5 следует из второй основной теоремы гл. 3.

Заметим, что теорема 5 впервые была установлена

А. А. Шмелевым в 1969 г. [29 : 1]. Его доказательство алгебраической независимости соответствующих функций было довольно сложным. В нем использовался метод работы [28 : 9].

И. И. Белогривов в 1971 г. в статье [1:4] исследовал функции Куммера

рассмотренные в § 4 гл. 6. Он доказал следующую теорему, аналогичную теореме Зигеля.

Теорема 6. Пусть удовлетворяют условиям

а алгебраические числа линейно независимые над

Тогда чисел

алгебраически независимы.

Теорема 6 может быть доказана аналогично теореме Зигеля с помощью вспомогательных предложений

Рассмотрим гипергеометрическую Е-функцию

являющуюся решением дифференциального уравнения

Используя алгебраическую независимость над функций, составляющих решение совокупности дифференциальных уравнений, рассмотренных в теореме 6, с помощью теоремы 4 можно доказать теорему, аналогичную теореме 5.

Теорема 7. Пусть и удовлетворяют условиям:

алгебраические числа линейно независимые над

Тогда чисел

алгебраически независимы.