§ 4. Приближение функции e^z рациональными функциями

Пусть функция аналитическая в точке Будем обозначать порядок нуля в точке

Поставим задачу приблизить функцию рациональными функциями где многочлены из степеней не превосходящих числа такие, что где достаточно большое число. Тогда

Представим многочлены в равенстве (83) с неопределенными коэффициентами и приравняем в нем нулю коэффициенты при В результате получим систему

из линейных однородных уравнений относительно неизвестных коэффициентов многочленов Эта система имеет нетривиальное решение. Следовательно, в равенстве Ниже будет показано, что при этом

Для того чтобы найти формулы, выражающие многочлены рассмотрим дифференциальный оператор

Пусть

степенной ряд с действительными коэффициентами, какая-либо функция от Определим оператор равенством

при условии, что дифференцируема необходимое число раз, а ряд в правой части либо конечен, либо сходится.

В дальнейших приложениях указанные условия дифференцируемости и сходимости всегда будут выполняться, так как оператор будет применяться только в двух случаях, когда есть многочлен, или есть многочлен, имеет производные всех порядков. В этих случаях ряд (85) всегда будет конечен.

Отметим некоторые очевидные свойства операторов

Далее, если в ряде то существует ряд

и тогда для многочлена

Если степенной ряд и многочлен имеют целые коэффициенты, то также имеет целые коэффициенты, а если кроме того в ряде имеет целые коэффициенты.

Обозначим

Тогда

Определим

Тогда по индукции получим

В дальнейшем дифференциальные операторы будут применяться к функции где Я есть постоянная, а

Поскольку

то

где

Обратно, если и многочлен задан произвольно, то равенство (89) означает, что

и есть единственный многочлен, являющийся решением дифференциального уравнения

Если то когда

Лемма 4. При любом существуют единственные многочлены из степеней такие, что

Многочлены выражаются формулами

представляется равенством

или равенством

Доказательство. Выше было показано, что существуют многочлены степеней не выше чем такие, что выполняется равенство (83) со значением Для отыскания дифференцируем это равенство раз. Тогда

или ввиду равенства (88)

Отсюда имеем, что

так как является многочленом степени не большей, чем , а

Аналогично находим многочлен Р:

Из равенств (94), (96) и (97) следует, что Равенства (96) и (97) показывают, что единственны с точностью до цостоянногв множителя Полагая получим равенство (90) и формулы (91), в которых принадлежат

Из равенств (94) и (95) находим, что

Так как первых производных равны нулю при то по определению символа и формуле (87)

откуда после замены переменной получаем равенство (92). Заменяя в равенстве на имеем, что

а из равенств (92) и (98) следует равенство (93). Лемма доказана.

Применим лемму 4 к исследованию арифметических свойств показательной функции.

Докажем сначала, что при любом число иррационально.

Допустим противное, что Положим в равенстве Тогда числа целые. Поэтому

Из равенства (92) имеем, что для всех

а для всех

Из последних неравенств получаем, что при всех достаточно больших значениях должно выполняться неравенство

что приводит к противоречию.

Итак, иррационально при любом а следовательно, и при любом

Докажем, что иррационально при любом Пусть Тогда откуда и следует доказываемое утверждение.

Теперь докажем, что числа лил иррациональны.

По лемме 4 многочлены из равенства (90) определяются однозначно. Заменим в этом равенстве на и умножим его на Тогда

откуда

Положим в равенствах (90) и Воспользовавшись равенством (99), будем иметь

Поскольку в равенстве (101) подынтегральная функция в интервале положительна, то

Многочлен содержит только четные степени и поэтому является многочленом из степени Допустим противное, что Тогда из равенства (100) имеем, что Из равенства (101) и условия (102) получаем неравенство

справедливое при всех достаточно больпшх Но это неравенство при невозможно. Полученное противоречие доказывает, что иррационально, а следовательно, и является иррациональным числом.