§ 4. Третья основная теорема

Третья основная теорема. Пусть совокупность Е-Функций

, является решением системы из линейных однородных дифференциальных уравнений (4) (линейных дифференциальных уравнений (11)), степень однородной трансцендент

пости (степень трансцендентности) функций (29) над равна

Тогда степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) совокупности чисел

также равна

Доказательство. Пусть алгебраическое поле К таково, что к нему принадлежат все коэффициенты степенных рядов по степеням -функций (29) и число а

Обозначим Если то среди чисел (30) можно выбрать V однородно алгебраически независимых. Но тогда по лемме 19 гл. 3 соответствующие из функций (29) однородно алгебраически независимы над Поэтому выполняется неравенство

справедливое и при

Теперь допустим, что . Тогда, выбирая число достаточно большим, рассмотрим множество произведений степеней функций (29)

и обозначим ранг этой совокупности функций над полем

Полагая в лемме получим, что удовлетворяет неравенствам

где положительные постоянные, независящие от числа

Ввиду леммы 18 гл. 3 совокупность Е-функций (32) и число удовлетворяют всем условиям леммы 3, если в ней заменить число числом Поэтому если обозначить ранг совокупности чисел

относительно поля К, то по лемме 3

Из этого неравенства и неравенств (33) следует, что

С другой стороны, полагая в лемме для ранга совокупности чисел (34) получаем неравенства

с положительными постоянными независящими от числа

Из последних неравенств и неравенства (35) при достаточно большом следует неравенство

справедливое и при

Из неравенств (31) и (36) получаем равенство которое завершает доказательство теоремы.

При третья основная теорема переходит в первую (вторую) основную теорему.

Из однородного случая третьей основной теоремы получаем ряд следствий, аналогичных следствиям из первой основной теоремы.

Пусть Е-функции (29) и число удовлетворяют условиям однородного случая третьей основной теоремы. Тогда выполняются следующие утверждения.

1°. Среди чисел (30) имеется не меньше чем I чисел, отличных от нуля.

2°. При каждом если среди чисел

содержится алгебраически независимых чисел.

3°. Среди чисел (30) по крайней мере трансцендентньг. 4°. Если одно из чисел (30) является отличным от нуля алгебраическим числом, то среди остальных из них содержится алгебраически независимых чисел.

Как и в случаях первой и второй основных теорем, третью основную теорему можно переформулировать на случай Е-функции, являющейся решением линейного однородного дифференциального уравнения

или линейного дифференциального уравнения

При этом условие соответствующей теоремы относительно алгебраической независимости функции и ее последовательных производных примет несколько иной вид.

Теорема 1. Пусть Е-функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения (37) (линейного дифференциального уравнения порядка удовлетворяет однородному алгебраическому дифференциальному уравнению (алгебраическому дифференциальному уравнению) с коэффициентами из порядка 1, и не удовлетворяет дифференциальному уравнению того же типа меньшего порядка функция или, соответственно, не является алгебраической функцией), а

Тогда степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) совокупности чисел равна

Теорема 1 является следствием третьей основной теоремы и следующей леммы.

Лемма 7. Пусть аналитическая функция есть решение линейного однородного дифференциального уравнения (37) (линейного дифференциального уравнения порядка .

Тогда степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) над совокупности функций равна в том и только том случае, когда функция удовлетворяет однородному алгебраическому дифференциальному уравнению (алгебраическому дифференциальному уравнению), с коэффициентами из порядка I и не удовлетворяет дифференциальному уравнению того же типа меньшего порядка (при функция или, соответственно, не является алгебраической функцией).

Доказательство. Рассмотрим неоднородный случай. Однородный случай рассматривается аналогично. При утверждение леммы справедливо. Предположим, что выполняется неравенство

1. Пусть функция является решением дифференциального уравнения

где неприводимый многочлен от переменных, и не удовлетворяет алгебраическому дифференциальному уравнению с коэффициентами из порядка меньше чем Тогда Если то из уравнения (39) имеем, что функция алгебраически зависит над от функций

Если же то, дифференцируя обе части уравнения (39), получим

Докажем, что

Действительно, в противном случае как многочлен от переменных должен делиться на неприводимый многочлен Иначе, исключая из двух уравнений получим алгебраическое уравнение с коэффициентами из связывающее функции у, что невозможно. Но не может делиться на так как по и имеет степень по меньше, чем степень по неприводимого многочлена Следовательно, как функция от

Тогда из уравнений (39) и (40) следует, что и алгебраически зависят над от

При дифференцируя обе части уравнения (40), аналогично получим, что алгебраически зависят над от

Повторяя рассмотренное рассуждение раз, получим, что функции алгебраически зависят над от

Отсюда следует, что множества функций алгебраически эквивалентны над Поэтому

2. Пусть теперь Тогдашне является алгебраической функцией. Предположим, что у удовлетворяет алгебраическому дифференциальному уравнению с коэффициентами из порядка и не удовлетворяет дифференциальному уравнению того же типа меньшего порядка. Имеем а по доказанному в первом случае Лемма доказана.

С помощью третьей основной теоремы будет доказан ряд теорем об арифметических свойствах значений Е-функций в алгебраических точках.