§ 3. Некоторые свойства линейных и дробно-линейных форм

Рассмотрим функций

аналитических некоторой области, содержащей точку многочленов с неопределенными коэффициентами

и линейную форму

Имеется неопределенных коэффициентов многочленов (15). Если потребовать, чтобы в форме то получим линейных однородных уравнений относительно неопределенных коэффициентов многочленов (15). Так как число неизвестных в этой системе больше числа уравнений, то она имеет нетривиальное решение. Следовательно, найдутся коэффициентов многочленов (15), не все равные нулю, такие, что для формы будет выполняться условие .

Покажем, что если функции (14) не все тождественно равны нулю, а степени многочленов (15) ограничены, то при изменении коэффициентов этих многочленов нельзя получить неравную тождественно нулю линейную форму (16), имеющую сколь угодно большой порядок нуля при

Лемма 4. Пусть совокупность функций (14), аналитических в некоторой области, содержащей точку

Тогда существует зависящее от функций (14) и числа такое, что каковы бы ни были многочлены (15), линейная форма либо тождественно равна нулю, либо

Доказательство. Докажем сначала утверждение леммы в случае, когда

Можно считать, что хотя бы одна из функций (14) не равна тождественно нулю. Рассмотрим множество всевозможных линейных форм вида (16) таких, что Тогда Если для некоторых форм числа различны, то очевидно, что эти формы линейно независимы над С. Поскольку любые форм вида (16) линейно зависимы над С, то во множестве существует не более чем форм для которых числа

различны. Обозначая получим утверждение леммы в рассматриваемом случае.

Пусть теперь Рассмотрим функций

и применим к ним доказанное утверждение с заменой на . Тогда получим, что при любых линейная форма

либо тождественно равна нулю, либо где зависит только от функций (14) и числа

Каждую рациональную функцию из будем считать представленной в виде дроби, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми многочленами.

Степенью рациональной функции назовем сумму степеней многочленов — ее числителя и знаменателя.

В частности, для многочленов это определение совпадает с обычным определением степени.

Степень рациональной функции, очевидно, обладает следующими свойствами.

1. Степень произведения нескольких функций не превосходит суммы степеней сомножителей.

2. Степень частного не превосходит суммы степеней делимого и делителя.

3. Степень суммы нескольких функций не превосходит удвоенной суммы степеней слагаемых.

Лемма 5. Пусть

— совокупность функций, аналитических в некоторой области, такая, что хотя бы при одном

Тогда существует зависящее только от функций (17), такое, что ни при каком наборе комплексных чисел

при котором

функция

не может быть рациональной функцией от z степени большейг чем

Доказательство. Допустим, что существует набор (19) такой, что выполняется условие (20), а функция (21) принадлежит

Предположим, что совокупность функций (17) имеет ранг относительно поля (максимальное число линейно независимых функций над Ввиду условия (18) выполняются неравенства

Выберем произвольно среди функций линейно независимых над и обозначим их Тогда каждая из функций (17) единственным образом представится в виде линейной комбинации функций с коэффициентами

Пусть обозначает максимальную из степеней рациональных функций Ясно, что зависит только от функций (17).

Подставим выражения функций и (23) в правую часть равенства (21). Тогда

где

Из условия (20) следует, что

Поэтому хотя бы при одном значении имеем, что

По свойствам степени рациональной функции из равенств (25) и (26) имеем, что степени всех рациональных функций С и А ограничены соответственно числами

Из равенства (24) получаем

Так как функции линейно независимы над то из равенства (27) следует, что

Выберем так, чтобы Тогда при таком из равенства (28) находим

Степень правой части равенства (29) не превосходит числа Отсюда следует утверждение леммы.