§ 5. Линейная приближающая форма для функции ...

Обобщим лемму 4 на случай нескольких показательных функций.

Лемма 5. Пусть различные комплексные числа, и

Тогда существует единственная с точностью до постоянного множителя совокупность многочленов степеней, соответственно такая, что у функции

ord R=N. Многочлены имеют вид

а при представляется интегралом

Замечание. В дальнейшем для потребуется только представление (106). Но можно получить выражение для справедливое при любом комплексном

Действительно, производя в интеграле (106) замену переменных вместо получим равенство

которое, как можно убедиться, остается справедливым и после вамены х на комплексное

Доказательство леммы 5. Рассмотрим как многочлены с неопределенными коэффициентами, степеней, соответственно, Подставим их в правую часть равенства (104) и приравняем в ней нулю коэффициенты результате подучим систему из линейных однородных уравнений для неизвестных коэффициентов многочленов Равенство (103) показывает, что в полученной системе уравневий число неизвестных больше числа уравнений. Поэтому она имеет нетривиальное решение.

Тем самым доказано, что существуют многочлены не все равные нулю, степеней, соответственно, не превосходящих такие, что степенной ряд для функции имеет вид

с некоторой постоянной с.

Ниже будет показано, что постоянная с в равенстве (107) отлична от нуля и что для любого фиксированного значения с решение единственно.

Докажем индукцией по что выполняются равенства (105). При

так что

Пусть теперь равенства (105) доказаны в случае, когда в них заменено на Докажем, что тогда они выполняются и для

При обозначим подробнее Из равенства (104), пользуясь равенством (88), находим

а из разложения (107) ввиду равенства (103) получаем, что

Многочлены

жмеют такие же степени, как и соответствующие многочлены значит, не все равны тождественно нулю. Поэтому равенства (109) и (110) показывают, что функция

удовлетворяет условиям леммы в случае замены на на с некоторой постоянной с.

Из равенства (111) инеем, что

Откуда, воспользовавшись предположением индукции, равенством (108) и полагая получаем

Меняя нумерацию чисел из доказанного для получим равенства (105) для всех По индукции эти равенства справедливы при любом

Теперь перейдем к доказательству формулы (106). Из равенств (112) и (87) получим

Пользуясь равенством (113), по индукции докажем равенства (106). При из равенств (113) и (108) имеем

Предположим, что формула (106) справедлива при любых если в ней заменить на Тогда выполняется равенство

Подставляя это значение в равенство (113), заменив в последнем на х, и полагая получим, что равенство (106) справедливо для значения то, а по индукции для всех значений то.

Линейную форму (106) будем называть линейной приближающей формой для функций

Заметим, что левша 4 следует из леммы 5 при то

Следствие леммы 5. При условиях леммы 5 из формулы (106) для произвольных компексных следует оценка сверху

а для любых действительных оценка снизу

Лемма 6. При условиях леммы для многочленов выполняются неравенства

где

Если

где и таково, что

Доказательство. Из равенства (105) при любом имеем

так как правые части этих неравенств как многочлены от х мажорируют

С помощью разложения

находим, что

Из неравенств (118) и (120) следуют неравенства (116). Если то из равенств (105) имеем, а тогда из равенств (105) и (119) следует утверждение (117).

С помощью сконструированной выше линейной приближающей формы приведем новое доказательство теоремы 6 о трансцендентности чисел в случае, когда

Допустим противное, что в рассматриваемом случае Пусть К — алгебраическое поле, порождаемое числами

Выберем где достаточно большое число. Пусть в дальнейшем обозначают положительные постоянные, не зависящие от числа

Из равенств (105) следует, что числа принадлежат К. Пользуясь равенствами (105) и неравенствами (116) для чисел, сопряженных с в поле К, будем иметь

так как

Поскольку то выбор чисел позволяет утверждать, что число

также принадлежит К.

Из условий (117), ввиду равенства (103), следует существование числа

такого, что

а из неравенства (115) имеем, что Поэтому

С другой стороны, по неравенству (114) и равенствам (123) и (124)

так как

Заметим, что последняя оценка может не выполняться для каких-либо из чисел сопряженных с поле К, так как если сопряженные для то могут оказаться не сопряженными для и даже не алгебраическими числами. Но из неравенств (121) и равенств (122) и (123) следует оценка

Из неравенств (126) и (127) получаем, что

для всех достаточно больших Последнее неравенство противоречит неравенству (125). Полученное противоречие показывает, что доказываемое утверждение справедливо.