Главная > Трансцендентные числа
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 13. ЭФФЕКТИВНЫЕ ОЦЕНКИ МЕР

§ 1. Определения и обозначения

Оценки мер значений аналитических функций получаемые методами теории трансцендентных чисел, содержат некоторые постоянные. Эти постоянные зависят от класса функций, которому принадлежат их количества рассматриваемых значений аргумента z и степени меры Постоянные, входящие в оценки мер, могут быть эффективными или неэффективными. Не входя в логические основы понятия эффективности, в настоящей главе будем понимать эффективность в следующем смысле.

Постоянную, входящую в оценку меры, будем называть эффективной, если она может быть вычислена с помощью конечного числа действий (четырех арифметических операций, возведения в степень, логарифмирования, нахождения наименьшего и наибольшего элемента конечного множества), производимых над параметрами, определяющими класс функций, к которому принадлежат их количеством параметрами, определяющими рассматриваемые значения аргумента z, и степенью меры

В противном случае такую постоянную будем называть неэффективной.

Оценку меры, в которой все входящие постоянные эффективны, будем называть эффективной. В некоторых случаях будем говорить об эффективности оценок мер по некоторым из рассматриваемых параметров.

Оценки мер, установленные в гл. 11 и 12, были неэффективными, так как в их доказательствах не указывалось, как вычислить постоянные, входящие в правые части соответствующих неравенств. Но если внимательно просмотреть доказательства лемм метода, изложенного в гл. 3, то можно заметить, что все возникающие в вычислениях постоянные будут эффективными в указанном выше смысле, кроме одной постоянной в лемме 9 гл. 3.

В доказательстве общей теоремы Зигеля [73:4] и ее обобщении, опубликованном в статье [28:9], в леммах, соответствующих лемме 9 гл. 3, число эффективно. Эти леммы доказаны при

существенно более тяжелых ограничениях, чем линейная независимость рассматриваемых функций над В работе Зигеля — это условие нормальности совокупности функций а во второй работе — условие неприводимости тех же функций. Условие неприводимости является менее стеснительным, чем условие нормальности, и поэтому позволило получить больше приложений метода к конкретным функциям. После доказательства первой и второй основных теорем это условие потеряло свое значение для доказательства теорем об алгебраической независимости значений Е-функций. Но ввиду эффективности числа при выполнении условия неприводимости в оценках мер значений Е-функций это условие оказалось существенным. Поэтому при изложении варианта метода в этой главе будет использовано условие неприводимости совокупностей произведений степеней рассматриваемых функций

Совокупность функций аналитических в некоторой области, составляющая решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений

называется неприводимой системой функцищ если ни одна из них не равна тождественно нулю и равенство

где какое-либо решение системы (1), возможно лишь в случае, когда тождественно по ?.

Другими словами, приведенное определение означает, что для неприводимой системы функций совокупность ненулевых компонент, входящих в любое решение системы дифференциальных уравнений (1), линейно независима

Из определения следует, что если функции образуют неприводимую систему функций, то они линейно независимы над

В настоящей главе, после некоторого изменения определения Е-функции, устанавливаются теоремы об оценках мер линейной и алгебраической независимости значений IE-функций, эффективные, или эффективные по степени меры. Они уточняют некоторые теоремы гл. 11 за счет улучшения в оценках остаточного члена в показателе, с заменой числа на убывающую функцию от Я. Кроме того, в этих теоремах в оценках мер алгебраической независимости степень меры может расти вместе с высотой до некоторого предела, в отличие от аналогичных теорем гл. 11 и 12.

Для упрощения получения эффективных оценок мер целесообразно несколько изменить определение Е-функции.

Целую функцию

будем называть Е-функцией, если она удовлетворяет трем условиям, аналогичным условиям, определяющим Е-функцию в § 1 гл. 3, но в которых оценки для заменены, соответственно, на

где некоторое фиксированное число.

Легко видеть, что совокупность всех Е-функций, как и в случае первоначального определения, образует кольцо функций, замкнутое относительно операции дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до z и замены аргумента z на — алгебраическое число.

Заметим, что все пока известные Е-функции, удовлетворяющие линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из являются Е-функциями в смысле измененного определения. В частности, из лемм 1 и 2 гл. 5 следует, что все гипергеометрические Е-функции обладают этим свойством.

Обозначим Е класс всех Е-фунщищ удовлетворяющих новому определению и являющихся решениями линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами из Тогда очевидно, что где класс Е-функций, удовлетворяющих старому определению Е-функции и являющихся решениями аналогичных дифференциальных уравнений. Обратное, вообще говоря, утверждать нельзя. Весьма естественной кажется гипотеза, что Эта гипотеза слабее предположения Зигеля о том, что любая Е-функция в смысле первого определения представляется в виде многочлена с алгебраическими коэффициентами от z и конечного числа гипергеометрических Е-функций функций, получающихся из них заменой z на при (см. § 1 гл. 5).

Для выяснения характера зависимости постоянных, входящих в оценки мер от рассматриваемых Е-функций, чисел уточним определение Е-функции.

Целую функцию (2) будем называть Е-функцией, принадлежащей классу если:

2) существуют постоянные такие, что

3) существует последовательность и постоянные такие, что при всех

Рассмотрим совокупность функций

из класса Тогда существует последовательность

обладающая тем свойством, что

Действительно, например, в качестве такой последовательности можно взять последовательность

последовательности, соответствующие по определению каждой из КЕ-функций (3). В этом случае можно положить

В некоторых случаях существуют последовательности типа (4), удовлетворяющие условиям (5), для которых как, например, в нижеследующей лемме 7.

Всюду в этой главе для рассматриваемой совокупности КЕ-функций (3) числа будут иметь определенный выше смысл.

В дальнейшем будем рассматривать совокупность Е-функций (3), удовлетворяющую системе линейных однородных дифференциальных уравнений (1) или системе дифференциальных уравнений

Рассматриваемые функции будут линейно независимы над Поэтому по лемме 3 гл. 3 все Многочлен для систем дифференциальных уравнений (1) и (3) будет иметь прежний смысл и по той же лемме и все

Обозначим буквой наибольшую из степеней многочленов буквой наибольший из модулей всех коэффициентов и их сопряженных у этих многочленов, а

В случае если рассматриваемая совокупность Е-функций распадается на групп, каждая из которых удовлетворяет своей подсистеме дифференциальных уравнений вида (1) или (3), то будет иметь тот же смысл, что и многочлен для систем (1) и (3).

Условимся в дальнейшем всюду обозначать буквой а и той же буквой с индексами положительные постоянные, зависящие только от класса к которому принадлежат все рассматриваемые Е-функции, т. е. только от поля К и чисел

Буквой 7 и той же буквой с индексами будем обозначать положительные постоянные, зависящие только от чисел и числа

Заметим, что числа а, и не зависят от числа рассматриваемых функций и степеней соответствующих мер.

Положительные постоянные будут зависеть от класса системы дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют рассматриваемые функции, чисел

Все постоянные и будут эффективными, т. е. могут быть вычислены для каждой конкретной совокупности Е-функций, если известны соответствующие параметры, а постоянные вообще говоря, не будут эффективными.

1
Оглавление
email@scask.ru