Глава 13. ЭФФЕКТИВНЫЕ ОЦЕНКИ МЕР

§ 1. Определения и обозначения

Оценки мер значений аналитических функций получаемые методами теории трансцендентных чисел, содержат некоторые постоянные. Эти постоянные зависят от класса функций, которому принадлежат их количества рассматриваемых значений аргумента z и степени меры Постоянные, входящие в оценки мер, могут быть эффективными или неэффективными. Не входя в логические основы понятия эффективности, в настоящей главе будем понимать эффективность в следующем смысле.

Постоянную, входящую в оценку меры, будем называть эффективной, если она может быть вычислена с помощью конечного числа действий (четырех арифметических операций, возведения в степень, логарифмирования, нахождения наименьшего и наибольшего элемента конечного множества), производимых над параметрами, определяющими класс функций, к которому принадлежат их количеством параметрами, определяющими рассматриваемые значения аргумента z, и степенью меры

В противном случае такую постоянную будем называть неэффективной.

Оценку меры, в которой все входящие постоянные эффективны, будем называть эффективной. В некоторых случаях будем говорить об эффективности оценок мер по некоторым из рассматриваемых параметров.

Оценки мер, установленные в гл. 11 и 12, были неэффективными, так как в их доказательствах не указывалось, как вычислить постоянные, входящие в правые части соответствующих неравенств. Но если внимательно просмотреть доказательства лемм метода, изложенного в гл. 3, то можно заметить, что все возникающие в вычислениях постоянные будут эффективными в указанном выше смысле, кроме одной постоянной в лемме 9 гл. 3.

В доказательстве общей теоремы Зигеля [73:4] и ее обобщении, опубликованном в статье [28:9], в леммах, соответствующих лемме 9 гл. 3, число эффективно. Эти леммы доказаны при

существенно более тяжелых ограничениях, чем линейная независимость рассматриваемых функций над В работе Зигеля — это условие нормальности совокупности функций а во второй работе — условие неприводимости тех же функций. Условие неприводимости является менее стеснительным, чем условие нормальности, и поэтому позволило получить больше приложений метода к конкретным функциям. После доказательства первой и второй основных теорем это условие потеряло свое значение для доказательства теорем об алгебраической независимости значений Е-функций. Но ввиду эффективности числа при выполнении условия неприводимости в оценках мер значений Е-функций это условие оказалось существенным. Поэтому при изложении варианта метода в этой главе будет использовано условие неприводимости совокупностей произведений степеней рассматриваемых функций

Совокупность функций аналитических в некоторой области, составляющая решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений

называется неприводимой системой функцищ если ни одна из них не равна тождественно нулю и равенство

где какое-либо решение системы (1), возможно лишь в случае, когда тождественно по ?.

Другими словами, приведенное определение означает, что для неприводимой системы функций совокупность ненулевых компонент, входящих в любое решение системы дифференциальных уравнений (1), линейно независима

Из определения следует, что если функции образуют неприводимую систему функций, то они линейно независимы над

В настоящей главе, после некоторого изменения определения Е-функции, устанавливаются теоремы об оценках мер линейной и алгебраической независимости значений IE-функций, эффективные, или эффективные по степени меры. Они уточняют некоторые теоремы гл. 11 за счет улучшения в оценках остаточного члена в показателе, с заменой числа на убывающую функцию от Я. Кроме того, в этих теоремах в оценках мер алгебраической независимости степень меры может расти вместе с высотой до некоторого предела, в отличие от аналогичных теорем гл. 11 и 12.

Для упрощения получения эффективных оценок мер целесообразно несколько изменить определение Е-функции.

Целую функцию

будем называть Е-функцией, если она удовлетворяет трем условиям, аналогичным условиям, определяющим Е-функцию в § 1 гл. 3, но в которых оценки для заменены, соответственно, на

где некоторое фиксированное число.

Легко видеть, что совокупность всех Е-функций, как и в случае первоначального определения, образует кольцо функций, замкнутое относительно операции дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до z и замены аргумента z на — алгебраическое число.

Заметим, что все пока известные Е-функции, удовлетворяющие линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из являются Е-функциями в смысле измененного определения. В частности, из лемм 1 и 2 гл. 5 следует, что все гипергеометрические Е-функции обладают этим свойством.

Обозначим Е класс всех Е-фунщищ удовлетворяющих новому определению и являющихся решениями линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами из Тогда очевидно, что где класс Е-функций, удовлетворяющих старому определению Е-функции и являющихся решениями аналогичных дифференциальных уравнений. Обратное, вообще говоря, утверждать нельзя. Весьма естественной кажется гипотеза, что Эта гипотеза слабее предположения Зигеля о том, что любая Е-функция в смысле первого определения представляется в виде многочлена с алгебраическими коэффициентами от z и конечного числа гипергеометрических Е-функций функций, получающихся из них заменой z на при (см. § 1 гл. 5).

Для выяснения характера зависимости постоянных, входящих в оценки мер от рассматриваемых Е-функций, чисел уточним определение Е-функции.

Целую функцию (2) будем называть Е-функцией, принадлежащей классу если:

2) существуют постоянные такие, что

3) существует последовательность и постоянные такие, что при всех

Рассмотрим совокупность функций

из класса Тогда существует последовательность

обладающая тем свойством, что

Действительно, например, в качестве такой последовательности можно взять последовательность

последовательности, соответствующие по определению каждой из КЕ-функций (3). В этом случае можно положить

В некоторых случаях существуют последовательности типа (4), удовлетворяющие условиям (5), для которых как, например, в нижеследующей лемме 7.

Всюду в этой главе для рассматриваемой совокупности КЕ-функций (3) числа будут иметь определенный выше смысл.

В дальнейшем будем рассматривать совокупность Е-функций (3), удовлетворяющую системе линейных однородных дифференциальных уравнений (1) или системе дифференциальных уравнений

Рассматриваемые функции будут линейно независимы над Поэтому по лемме 3 гл. 3 все Многочлен для систем дифференциальных уравнений (1) и (3) будет иметь прежний смысл и по той же лемме и все

Обозначим буквой наибольшую из степеней многочленов буквой наибольший из модулей всех коэффициентов и их сопряженных у этих многочленов, а

В случае если рассматриваемая совокупность Е-функций распадается на групп, каждая из которых удовлетворяет своей подсистеме дифференциальных уравнений вида (1) или (3), то будет иметь тот же смысл, что и многочлен для систем (1) и (3).

Условимся в дальнейшем всюду обозначать буквой а и той же буквой с индексами положительные постоянные, зависящие только от класса к которому принадлежат все рассматриваемые Е-функции, т. е. только от поля К и чисел

Буквой 7 и той же буквой с индексами будем обозначать положительные постоянные, зависящие только от чисел и числа

Заметим, что числа а, и не зависят от числа рассматриваемых функций и степеней соответствующих мер.

Положительные постоянные будут зависеть от класса системы дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют рассматриваемые функции, чисел

Все постоянные и будут эффективными, т. е. могут быть вычислены для каждой конкретной совокупности Е-функций, если известны соответствующие параметры, а постоянные вообще говоря, не будут эффективными.