Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 13. ЭФФЕКТИВНЫЕ ОЦЕНКИ МЕР§ 1. Определения и обозначенияОценки мер значений аналитических функций Постоянную, входящую в оценку меры, будем называть эффективной, если она может быть вычислена с помощью конечного числа действий (четырех арифметических операций, возведения в степень, логарифмирования, нахождения наименьшего и наибольшего элемента конечного множества), производимых над параметрами, определяющими класс функций, к которому принадлежат В противном случае такую постоянную будем называть неэффективной. Оценку меры, в которой все входящие постоянные эффективны, будем называть эффективной. В некоторых случаях будем говорить об эффективности оценок мер по некоторым из рассматриваемых параметров. Оценки мер, установленные в гл. 11 и 12, были неэффективными, так как в их доказательствах не указывалось, как вычислить постоянные, входящие в правые части соответствующих неравенств. Но если внимательно просмотреть доказательства лемм метода, изложенного в гл. 3, то можно заметить, что все возникающие в вычислениях постоянные будут эффективными в указанном выше смысле, кроме одной постоянной В доказательстве общей теоремы Зигеля [73:4] и ее обобщении, опубликованном в статье [28:9], в леммах, соответствующих лемме 9 гл. 3, число существенно более тяжелых ограничениях, чем линейная независимость рассматриваемых функций над Совокупность функций
называется неприводимой системой функцищ если ни одна из них не равна тождественно нулю и равенство
где Другими словами, приведенное определение означает, что для неприводимой системы функций совокупность ненулевых компонент, входящих в любое решение системы дифференциальных уравнений (1), линейно независима Из определения следует, что если функции В настоящей главе, после некоторого изменения определения Е-функции, устанавливаются теоремы об оценках мер линейной и алгебраической независимости значений IE-функций, эффективные, или эффективные по степени меры. Они уточняют некоторые теоремы гл. 11 за счет улучшения в оценках остаточного члена в показателе, с заменой числа Для упрощения получения эффективных оценок мер целесообразно несколько изменить определение Е-функции. Целую функцию
будем называть Е-функцией, если она удовлетворяет трем условиям, аналогичным условиям, определяющим Е-функцию в § 1 гл. 3, но в которых оценки для
где Легко видеть, что совокупность всех Е-функций, как и в случае первоначального определения, образует кольцо функций, замкнутое относительно операции дифференцирования, интегрирования в пределах от 0 до z и замены аргумента z на Заметим, что все пока известные Е-функции, удовлетворяющие линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из Обозначим Е класс всех Е-фунщищ удовлетворяющих новому определению и являющихся решениями линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами из Для выяснения характера зависимости постоянных, входящих в оценки мер от рассматриваемых Е-функций, чисел Целую функцию (2) будем называть Е-функцией, принадлежащей классу
2) существуют постоянные 3) существует последовательность Рассмотрим совокупность функций
из класса
обладающая тем свойством, что
Действительно, например, в качестве такой последовательности можно взять последовательность
В некоторых случаях существуют последовательности типа (4), удовлетворяющие условиям (5), для которых Всюду в этой главе для рассматриваемой совокупности КЕ-функций (3) числа В дальнейшем будем рассматривать совокупность Е-функций (3), удовлетворяющую системе линейных однородных дифференциальных уравнений (1) или системе дифференциальных уравнений
Рассматриваемые функции будут линейно независимы над Обозначим буквой В случае если рассматриваемая совокупность Е-функций распадается на Условимся в дальнейшем всюду обозначать буквой а и той же буквой с индексами положительные постоянные, зависящие только от класса Буквой 7 и той же буквой с индексами будем обозначать положительные постоянные, зависящие только от Заметим, что числа а, и не зависят от Положительные постоянные Все постоянные
|
1 |
Оглавление
|