§ 2. Трансцендентность числа «пи»

Теорема 4. Число иррационально.

Доказательство. Пусть любой многочлен с действительными коэффициентами, а

Очевидно, что ряд в правой части содержит конечное число ненулевых членов и есть многочлен.

Выполняется соотношение

интегрируя которое получим

Равенство (31) есть аналог тождества Эрмита для функции и выполняется для любого многочлена с действительными коэффициентами.

Предположим противное, что — рациональное число: Положим в равенстве (31)

где достаточно большое натуральное число.

Покажем, что при таком выборе правая часть равенства (31) есть целое число, а его левая часть удовлетворяет неравенству

Это приведет к противоречию, которое будет доказывать утверждение теоремы.

Так как на интервале то по непрерывности подынтегральной функции левая часть неравенства (32) очевидно выполняется. Далее, при ( Поэтому

Так как то существует такое, что при и выполняется правая часть неравенства (32).

Многочлен имеет число 0 корнем кратности Поэтому

По лемме 1 все коэффициенты производной порядка I многочлена делятся на Отсюда следует, что все производные многочлена порядков имеют целые коэффициенты. Значит, являются целыми числами.

Итак,

Имеем

Поэтому

Из неравенств (32) и условия (33) следует, что равенство (31) противоречиво и теорема доказана.

Теорёма Линдеман). Число трансцендентно. Доказательство. Последующие рассуждения основываются на равенстве и тождестве Эрмита (17). Допустим противное, что алгебраическое число. Тогда также алгебраическое число. Пусть числа сопряженные с Имеем и поэтому

Перемножая скобки в левой части последнего равенства, получим

Среди показателей в средней части равенств (34) имеются отличные от нуля, например, при значениях а также равные нулю, например, при Пусть среди всех этих показателей ровно отличны от нуля равны нулю, Тогда, обозначая отличные от нуля показатели равенство (34) можно переписать следующим образом:

Покажем, что числа составляют совокупность всех корней некоторого многочлена степени

Действительно, многочлен

как многочлен от с коэффициентами из есть симметрический многочлен от Поэтому по лемме 1 гл. 1 - многочлен из Корнями многочлена степени являются числа и число 0 с кратностью а. Значит, многочлен степени имеет своими корнями числа и только их. Если число есть наименьший общий знаменатель коэффициентов этого многочлена, то многочлен

из имеет своими корнями числа и только их Положим в тождестве Эрмита (17) последовательно Сложим все полученные равенства, воспользовавшись при этом равенством (35). В результате получим, что

Дальнейшее доказательство теоремы 5 аналогично доказательству теоремы 3.

Положим в равенстве (36)

где некоторое достаточно большое число из Покажем что при таком выборе многочлена равенство (36) приводит к противоречию.

Как и в случае теоремы 3, получим равенства, аналогичные равенствам (23), (24) и (26),

Так как а есть корень кратности то получаем равенства, аналогичные равенствам (25),

По лемме 1 коэффициенты производной порядка I многочлена имеют целые коэффициенты, делящиеся на Поэтому при многочлен имеет целые коэффициенты, делящиеся на Тогда в соответствии с равенствами (39)

Числа целые алгебраические числа, составляющие полный набор корней многочлена из степени со старшим коэффициентом равным 1. Далее,

Поэтому по лемме 1 гл. 1

Из равенств (38), (40) и (41) получаем, что

Пусть теперь любое число из удовлетворяющее условиям

Тогда правая часть равенства (42) является целым числом, не делящимся на следовательно, отличным от нуля числом. Значит,

Теперь оценим правую часть равенства (36). Пусть все точки содержатся в круге Обозначим

где число С не зависит от Тогда

Поэтому существует число такое, что при любом и

удовлетворяющем условиям (43) выполняются неравенства

Неравенства (44) и (45) вместе с равенством (36) приводят к противоречивому неравенству Теорема доказана.

Из теоремы 5 следует отрицательное решение проблемы квадратуры круга.

П. Л. Вантцель в 1837 г. показал [85: 1], что с помощью циркуля и линейки можно строить те и только те отрезки, длины которых выражаются числами, являющимися корнями квадратных уравнений с коэффициентами из корнями квадратных уравнений, коэффициенты которых есть корни квадратных уравнений с коэффициентами из Q и т. д., то есть отрезки, длины которых выражаются числами, получающимися после последовательного решения ряда квадратных уравнений. Множество таких чисел есть подмножество поля А.

Поскольку доказано, что является трансцендентным числом, то, следовательно, пользуясь циркулем и линейкой, нельзя построить отрезок длиной