§ 3. Доказательства теорем 1—5

Вторые утверждения всех теорем и следующих ниже теорем 8 и 9 являются следствиями их первых утверждений. Это доказывается с помощью леммы 3 гл. 7, как в теореме 1 гл. 7. Поэтому в дальнейшем проводятся доказательства только первых утверждений теорем 1—9.

Доказательство теоремы 1. Из равенств (1) находим, что совокупность Е-функций составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

Положим в лемме и

Функция удовлетворяет условию 1° леммы 1.

Пусть произвольное число из Положим где есть любое простое число, и обозначим Тогда равенства (3) показывают, что в точные знаменатели коэффициентов простое число входит в степенях, соответственно, и не входит в точные знаменатели коэффициентов (19). Следовательно, функции (32) удовлетворяют условию 2° леммы 1.

По лемме 1 функции (32) алгебраически независимы над С, а последнее означает, что совокупность Е-функций алгебраически независима над Применяя к этой совокупности функций вторую основную теорему гл. 3, получим первое утверждение теоремы 1.

Доказательство теоремы 2. Равенства (2) показывают, что совокупность -функций составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

Положим в лемме

Функция трансцендентна. Поэтому функции удовлетворяют условию 1° лемм 1 и 2.

Пусть произвольное число из Выберем простое нечетное число и положим Обозначим Значит, Тогда из равенств (4) находим, что входит в точные знаменатели коэффициентов в степенях, соответственно, и не входит в точные знаменатели коэффициентов

Далее, входит в первой степени в точные знаменатели тех из коэффициентов

которые имеют четные первые индексы, входит во второй степени в точные знаменатели тех из коэффициентов

которые имеют четные первые индексы, и не входит в точные знаменатели коэффициентов (35) и (36), имеющих нечетные первые индексы. Так как в рассматриваемом случае то функции (34) удовлетворяют условию 2° леммы 2.

По лемме 2 функции (34) алгебраически независимы, а это означает, что совокупность функций алгебраически независима над Тогда Е-функции связаны только одним алгебраическим уравнением над

имеющим постоянные коэффициенты. Поэтому, применяя к этой совокупности Е-функций любую из теорем 6 или 8 гл. 4 и пользуясь уравнениями (33), получим утверждение теоремы 2.

Доказательство теоремы 3. Из равенств (5) находим, что совокупность Е-функций со составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

Положим в лемме

Условие 1° леммы 1 выполнено, так как функция трансцендентна.

Число дробное рациональное. Поэтому положим

Тогда из равенств (8) имеем

Пусть произвольное число из Так как то по теореме Дирихле в прогрессии содержится бесконечное множество простых чисел. Выберем так» чтобы выполнялись условия

где простое число. Обозначим Равенства (40) показывают, что входит в точные знаменатели коэффициентов

в степенях, соответственно, а из неравенств (41) вместе с неравенством следует, что не входит в точные знаменатели коэффициентов (19). Значит, функции (38) удовлетворяют условию 2° леммы 1.

Дальнейшее доказательство первого утверждения теоремы 3 аналогично соответствующей части доказательства теоремы 1 с использованием уравнений (37).

Доказательство теоремы 4. При помощи равенств (6) убеждаемся в том, что совокупность -функций составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений

Положим в лемме и

Достаточно доказать, что функции (43) удовлетворяют условию 2° леммы 2. Дальнейшее доказательство теоремы 4, поскольку функции (43) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (42), проходит, как и в случае теоремы 2. Представим число как в равенстве (39). Тогда из равенств (9) находим

Пусть произвольное число из Возможны два случая.

1) Число а — нечетное. Тогда и по теореме Дирихле в прогрессии содержится бесконечное множество простых чисел. Выберем четное число I так, чтобы выполнялись условия (41), где простое число. Обозначим При помощи равенств (44), как и в случае теоремы 3 Убеждаемся, что функции (43) удовлетворяют условию 2° леммы 2.

2) Число а — четное. Тогда нечетное, так как Значит, Положим Имеем

Поэтому в прогрессии содержится бесконечное множество простых чисел.

Выберем четное число так, чтобы выполнялись условия

где простое число. Обозначим Тогда Рассуждая так же, как и в первом случае, получим, что функции (43) удовлетворяют условию 2° леммы 2.

Доказательство теоремы 5. Пользуясь равенствами (7), находим, что совокупность -функций составляет решение системы дифференциальных уравнений

Если то положим в лемме

Выберем при любом нечетное простое и положим Рассуждая точно так же, как в доказательстве теоремы 1, получим, что функции (46) удовлетворяют всем условиям леммы 1. Тогда дальнейшее доказательство проходит с использованием системы дифференциальных уравнений (45) так же, как и в случае теоремы 2.

Пусть теперь дробное рациональное число. Положим в лемме

и представим как в равенстве (39). Тогда

Доказательство теоремы проходит как и в случае теоремы 4, если рассмотреть два случая.

1. Одно из чисел а и четное, а другое — нечетное. Тогда поскольку имеем

2. Числа а и являются оба нечетными. Тогда и