Замечания

Леммы 1 и 2 о гипергеометрических функциях содержатся в работах К. Зигеля [73:3, 4].

В 1929 г. К. Зигель [73:3] высказал утверждение, что методом его работы можно доказать теорему 1. Но доказательства он не приводит. Из общей теоремы Зигеля об алгебраической

независимости значений Е-функций, опубликованной в 1949 г. в его монографии [73:4], получить теорему 1 нельзя, так как она применима только к совокупности Е-функций, удовлетворяющих линейным однородным дифференциальным уравнениям, поскольку основное условие этой теоремы для решений неоднородных уравнений не выполняется.

Теорема 1 была впервые доказана в 1954 г. [28:1, 9], как следствие теоремы более общей, чем теорема Зигеля. Из второй основной теоремы, опубликованной в 1955 г. [28:2, 8], теорема 1, как указано выше, следует без дополнительных рассуждений.

Теорема 2 является следствием более общей теоремы, опубликованной в 1959 г. [28:10]. В этой же работе доказана теорема 4. Частный случай теоремы 4 для значений одной функции в нескольких линейно независимых точках установлен в 1954 г. [28:1, 9]. Там же опубликована теорема 3.

Утверждения о трансцендентности значений интегралов, рассмотренных в конце § 2, были высказаны без доказательства в 1929 г. К. Зигелем [73:3]. Более общие утверждения об алгебраической независимости значений этих интегралов и их подынтегральных функций следовали из теорем, появившихся в печати в 1960 и 1961 г. в статьях [28: И, 23].

Теорема 5 опубликована в 1961 г. [28:12]. После ее публикации было естественно объединить все известные результаты об алгебраической независимости значений Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям первого порядка, в общей теореме. Такая теорема (теорема 6) была доказана В. X. Салиховым в 1973 г. [22:1]. Новых результатов об арифметических свойствах конкретных Е-функций она не содержала, поскольку все известные Е-функции, являющиеся решениями линейных дифференциальных уравнений первого порядка, были исследованы раньше.