§ 2. Вспомогательные предложения

В гл. 3 доказана первая основная теорема (однородный случай). В ней установлено, что значения рассматриваемой совокупности Е-функций однородно алгебраически независимы. Из первой основной теоремы следовала вторая основная теорема

(неоднородный случай). В этой теореме установлена алгебраическая независимость значений рассматриваемых функций. Так же будут связаны большинство теорем и ряд лемм, доказываемых в книге. Поэтому для сокращения изложения каждые две такие теоремы или леммы будут формулироваться в виде одной теоремы или леммы, относящейся к двум случаям — однородному и неоднородному. В большинстве подобных теорем и лемм, как и в случае первой и второй основных теорем, неоднородный случай будет следствием однородного, если заменить число рассматриваемых функций на и добавить к ним функцию Доказательства таких теорем и лемм будут проводиться только в однородных случаях.

В однородных случаях рассматриваемая совокупность Е-функций (1) будет удовлетворять системе линейных однородных дифференциальных уравнений (4), а в неоднородных — системе линейных дифференциальных уравнений

которая может оказаться и однородной, если Для системы многочлен будет иметь тот же смысл, что и для системы дифференциальных уравнений (4).

В гл. 3 в формулировке первой основной теоремы предполагалось, что все коэффициенты системы дифференциальных уравнений (3.7), которой удовлетворяли Е-функции (3.9), принадлежат Затем, как следствие леммы 3 гл. 3, доказывалось, что все эти коэффициенты принадлежат Последнее утверждение являлось следствием того, что функции (3.9) были линейно независимы над Аналогичное обстоятельство имело место и для других теорем гл. 3, как в однородных так и в неоднородных случаях.

В теоремах гл. 4 и некоторых теоремах других глав книги рассматриваемые КЕ-функции (1) будут алгебраически зависимы над В частности, они могут оказаться линейно зависимыми. В формулировках этих теорем коэффициенты соответствующих систем дифференциальных уравнений (4) или также будут предполагаться принадлежащими С помощью леммы 2 гл. 3 можно изменить функции так, что все они будут принадлежать Но при этом, вообще говоря, могут измениться полюсы этих функций. Поэтому может показаться, что в формулировках соответствующих теорем необходимо требовать, чтобы все Но оказывается, что в этом нет необходимости.

Действительно, в доказательствах теорем леммы метода будут применяться не к функциям (1), а к базисам над некоторых множеств произведений степеней этих функций, также удовлетворяющих системам линейных дифференциальных уравнений.

Соответствующие базисы будут линейно независимы над и поэтому все коэффициенты систем линейных дифференциальных уравнений, которым они удовлетворяют, по лемме 3 гл. 3 будут принадлежать

В формулировки многих рассматриваемых в книге теорем будут входить алгебраические уравнения, связывающие КЕ-функции (1) над левые части которых являются многочленами от функций (1) с коэффициентами из В большинстве этих теорем, с помощью доказываемых ниже лемм 4 и 5, коэффициенты таких многочленов можно считать принадлежащими Лемма 4. Пусть совокупность функций

аналитических в некоторой области, содержащей точку имеет ранг над полем равный и эти функции связаны линейным однородным уравнением

где

взаимно просты в совокупности.

Тогда существует число такое, что

Доказательство. По условию леммы в уравнении (13) многочлены (14) определены однозначно с точностью до постоянного множителя. С другой стороны, по лемме 2 гл. 3 коэффициенты многочленов (14) могут быть выбраны из Поэтому существует такое, что выполняется условие (15).

Лемма 5. Пусть совокупность функций (12) связана алгебраическим уравнением

где В — примитивный многочлен от переменных над а суммирование распространяется на конечный набор из различных систем где Далее, среди произведений степеней функций (12), входящих в уравнение (16), ровно линейно независимы над

Тогда существует такое, что все Лемма 5 непосредственно следует из леммы 4 и примитивности многочлена