Главная > Трансцендентные числа
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Совместные приближения

Рассмотрим линейную форму от нескольких действительных чисел с коэффициентами из в совокупности отличными от нуля и ограниченными некоторым числом. Выясним, сколь малым может быть модуль этой формы при соответствующем выборе ее коэффициентов.

Теорема 4 (Дирихле). Если — любые числа из то существуют числа из такие, что

Доказательство. Положим и рассмотрим чисел: дробных долей

где каждое из чисел независимо друг от друга принимает значений а также число 1. Разделим; отрезок на частей длины

Все точки (15) и 1 принадлежат отрезку Поэтому каждая из точек (15) и 1 содержится в одном из отрезков (16). Поскольку указанных точек больше, чем отрезков (16), то среди последних найдется отрезок, содержащий две из этих точек. Рассмотрим такой отрезок. Возможны два случая.

1. Рассматриваемый отрезок не является крайним правым. Он содержит точки [агаг Тогда

где

2. Рассматриваемый отрезок является крайним правым. Он содержит точки

и 1. Поэтому

где

Неравенство (14) следует в первом случае из неравенств (17) и (18), а во втором случае из неравенств (19) и (20).

Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы Дирихле, а последняя следует из теоремы 4 при

Теперь докажем теорему о совместных приближениях нескольких чисел.

Теорема Кронекера. Если любые числа из то существуют числа из удовлетворяющие неравенствам

Доказательство. Рассмотрим в точки

и единичный куб, т. е. множество точек

На каждой из координатных осей отрезок разделим на частей длины С помощью соответствующих гиперплоскостей единичный куб разобьется на малых кубов, т. е. множеств точек координаты которых определяются неравенствами

Все точек (22) содержатся в единичном кубе (23). Каждая из точек (22) попадет только в один из кубов (24). Поэтому найдется малый куб, содержащий две из точек (22)

Так как эти точки лежат в одном из кубов (24), то их соответствующие координаты по абсолютной величине отличаются меньше чем на Итак,

или

Из неравенств (25) следуют неравенства (21).

При теорема Кронекера переходит в теорему Дирихле с

Из теоремы Кронекера так же просто, как и в случае теоремы Дирихле, получаем

Следствие. Если при условиях теоремы Кронекера хотя бы одно из чисел иррационально, то неравенства

имеют бесконечное множество решений в числах из

Теперь установим теорему об оценке линейной формы, необходимую в дальнейшем.

Теорема 5. Если — любые числа из то существуют числа

такие, что линейная форма

удовлетворяет неравенству

где если все числа действительные, и если хотя бы одно из них комплексное,

Доказательство. При теорема, очевидно, справедлива. Пусть теперь

Рассмотрим всевозможные линейные формы вида (27), в которых числа независимо друг от друга пробегают все значения из удовлетворяющие неравенствам

Различных форм с такими условиями будет

Их значения удовлетворяют неравенствам

Рассмотрим два случая, исключая очевидный случай

1. Все числа действительные. Тогда значения всех рассматриваемых форм содержатся в отрезке с концами в точках длины Разделим этот отрезок на

равных частичных отрезков. Число (29) всех рассматриваемых форм больше числа (31) всех частичных отрезков. Поэтому найдется частичный отрезок, содержащий значения двух форм Пусть это будут формы

Тогда

Если есть четное число, то и

Если нечетное число, то и

Итак,

Положим Тогда форма

удовлетворяет условиям

и

2. Хотя бы одно из чисел является комплексным. В этом случае из неравенств (30) следует, что значения всех форм лежат в квадрате с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям. Сторона этого квадрата равна

Разделим стороны рассматриваемого квадрата на равных отрезков, где целое число, удовлетворяющее неравенствам

С помощью прямых параллельных координатным осям, проведенным через точки деления сторон квадрата, разобьем исходный квадрат на частичных квадратов. Из неравенств (33) имеем

Из этого неравенства следует, что число частичных квадратов меньше числа (29) всех линейных форм Поэтому найдется частичный квадрат, содержащий значения двух линейных форм Пусть это будут формы (32). Отсюда получаем, что будет не больше диагонали частичного квадрата. Это вместе с неравенствами (33) позволяет утверждать, что при любых выполняются неравенства

Если — есть четное число, то а поскольку то из неравенств (34) находим, что

Если же нечетное число, то и из неравенств (34) аналогично получаем, что

Далее, рассуждая, как в первом случае, получим неравенство (28) с

1
Оглавление
email@scask.ru