§ 2. Совместные приближения

Рассмотрим линейную форму от нескольких действительных чисел с коэффициентами из в совокупности отличными от нуля и ограниченными некоторым числом. Выясним, сколь малым может быть модуль этой формы при соответствующем выборе ее коэффициентов.

Теорема 4 (Дирихле). Если — любые числа из то существуют числа из такие, что

Доказательство. Положим и рассмотрим чисел: дробных долей

где каждое из чисел независимо друг от друга принимает значений а также число 1. Разделим; отрезок на частей длины

Все точки (15) и 1 принадлежат отрезку Поэтому каждая из точек (15) и 1 содержится в одном из отрезков (16). Поскольку указанных точек больше, чем отрезков (16), то среди последних найдется отрезок, содержащий две из этих точек. Рассмотрим такой отрезок. Возможны два случая.

1. Рассматриваемый отрезок не является крайним правым. Он содержит точки [агаг Тогда

где

2. Рассматриваемый отрезок является крайним правым. Он содержит точки

и 1. Поэтому

где

Неравенство (14) следует в первом случае из неравенств (17) и (18), а во втором случае из неравенств (19) и (20).

Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы Дирихле, а последняя следует из теоремы 4 при

Теперь докажем теорему о совместных приближениях нескольких чисел.

Теорема Кронекера. Если любые числа из то существуют числа из удовлетворяющие неравенствам

Доказательство. Рассмотрим в точки

и единичный куб, т. е. множество точек

На каждой из координатных осей отрезок разделим на частей длины С помощью соответствующих гиперплоскостей единичный куб разобьется на малых кубов, т. е. множеств точек координаты которых определяются неравенствами

Все точек (22) содержатся в единичном кубе (23). Каждая из точек (22) попадет только в один из кубов (24). Поэтому найдется малый куб, содержащий две из точек (22)

Так как эти точки лежат в одном из кубов (24), то их соответствующие координаты по абсолютной величине отличаются меньше чем на Итак,

или

Из неравенств (25) следуют неравенства (21).

При теорема Кронекера переходит в теорему Дирихле с

Из теоремы Кронекера так же просто, как и в случае теоремы Дирихле, получаем

Следствие. Если при условиях теоремы Кронекера хотя бы одно из чисел иррационально, то неравенства

имеют бесконечное множество решений в числах из

Теперь установим теорему об оценке линейной формы, необходимую в дальнейшем.

Теорема 5. Если — любые числа из то существуют числа

такие, что линейная форма

удовлетворяет неравенству

где если все числа действительные, и если хотя бы одно из них комплексное,

Доказательство. При теорема, очевидно, справедлива. Пусть теперь

Рассмотрим всевозможные линейные формы вида (27), в которых числа независимо друг от друга пробегают все значения из удовлетворяющие неравенствам

Различных форм с такими условиями будет

Их значения удовлетворяют неравенствам

Рассмотрим два случая, исключая очевидный случай

1. Все числа действительные. Тогда значения всех рассматриваемых форм содержатся в отрезке с концами в точках длины Разделим этот отрезок на

равных частичных отрезков. Число (29) всех рассматриваемых форм больше числа (31) всех частичных отрезков. Поэтому найдется частичный отрезок, содержащий значения двух форм Пусть это будут формы

Тогда

Если есть четное число, то и

Если нечетное число, то и

Итак,

Положим Тогда форма

удовлетворяет условиям

и

2. Хотя бы одно из чисел является комплексным. В этом случае из неравенств (30) следует, что значения всех форм лежат в квадрате с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям. Сторона этого квадрата равна

Разделим стороны рассматриваемого квадрата на равных отрезков, где целое число, удовлетворяющее неравенствам

С помощью прямых параллельных координатным осям, проведенным через точки деления сторон квадрата, разобьем исходный квадрат на частичных квадратов. Из неравенств (33) имеем

Из этого неравенства следует, что число частичных квадратов меньше числа (29) всех линейных форм Поэтому найдется частичный квадрат, содержащий значения двух линейных форм Пусть это будут формы (32). Отсюда получаем, что будет не больше диагонали частичного квадрата. Это вместе с неравенствами (33) позволяет утверждать, что при любых выполняются неравенства

Если — есть четное число, то а поскольку то из неравенств (34) находим, что

Если же — нечетное число, то и из неравенств (34) аналогично получаем, что

Далее, рассуждая, как в первом случае, получим неравенство (28) с