§ 4. Метод Зигеля и его дальнейшее развитие

Метод Эрмита — Линдемана основан на двух свойствах показательной функции: 1) удовлетворяет функциональному Уравнению 2) есть решение простейшего линейного дифференциального уравнения

В методах Гельфонда и Шнейдера, которыми было получено решение седьмой проблемы Гильберта, рассматривается показательная функция с алгебраическим основанием а. Для нее указанное функциональное уравнение выполняется, а дифференциальное уравнение принимает вид где а — трансцендентное число. Наличие трансцендентных коэффициентов в степенном ряду по степеням z у функции и дифференциальном уравнении, которому она удовлетворяет, является причиной трудностей, появляющихся в задачах, связанных с доказательством алгебраической независимости ее значений.

После создания метода Эрмита — Линдемана возникла естественная проблема распространить результаты, полученные Эрмитом и Линдеманом, на другие функции, удовлетворяющие более общим линейным дифференциальным уравнениям.

Еще Лежандр [52: 1] рассматривал функции

являющиеся решениями линейного дифференциального уравнения

и доказал иррациональность чисел при рациональных .

Е. Стридсберг в 1910 г. [77: 1] доказал иррациональность чисел при тех же предположениях относительно а и х, а В. Майер в 1927 г. [57:1] установил, что они не являются квадратичными иррациональностями. Но доказать трансцендентность этих чисел или значений других функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям, долгое время не удавалось.

В 1929 г. К. Зигель в первой части работы [73: 3] опубликовал новый метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений в алгебраических точках одного класса целых функций. Этот метод является непосредственным обобщением классического метода Эрмита — Линдемана. В нем не требуется, чтобы рассматриваемые функции удовлетворяли функциональным уравнениям, но необходимо, чтобы они являлись решениями линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами из поля рациональных функций.

Поводом к созданию этого метода, как указывает сам Зигель, была работа В. Майера [57: 1], посвященная исследованиям иррациональности значений некоторых функций. Эта работа подсказала ему идею конструирования линейных приближающих форм от рассматриваемых функций. Существенное значение в

методе Зигеля имеет также обобщение идеи А. Туэ [78: 2] из теории приближения алгебраических чисел.

Основной результат, полученный Зигелем в работе [73:3], относится к функциям

которые удовлетворяют линейному дифференциальному уравнению

и функция где определена равенством (3). Функция только множителем отличается от функции Бесселя где функция Эйлера, а Ко

Зигель доказал, что если X — рациональное число, неравное половине нечетного числа, а — алгебраическое число, числа алгебраически независимы.

Он также установил аналог теоремы Линдемана для функций доказав, что множество чисел алгебраически независимо при рациональных удовлетворяющих некоторым естественным ограничениям, и отличных от нуля аглебраических квадраты которых различны. Кроме того, он получил оценку снизу для модуля многочлена с целыми коэффициентами от чисел при алгебраических

Метод Зигеля можно применять к одному классу целых функций, имеющих алгебраические коэффициенты ряда Тейлора, удовлетворяющие некоторым арифметическим условиям. Зигель назвал их Е-функциями. Кроме того, рассматриваемые Е-функции должны быть решениями линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами из поля рациональных функций.

В 1949 г. К. Зигель в монографии [73: 4] изложил свой метод в форме общей теоремы об алгебраической независимости значений в алгебраических точках совокупности Е-функций, удовлетворяющей системе линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами из поля рациональных функций. Новых конкретных результатов, отличных от доказанных в статье эта монография не содержала.

Общая теорема Зигеля сводит доказательство ее арифметического утверждения к проверке некоторого аналитического условия нормальности для совокупностей произведений

степеней рассматриваемых функций. Зигелю удалось проверить выполнение условия нормальности и применить свою общую теорему только к совокупностям Е-функций, каждая из которых удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого или второго порядка. Проверить выполнение условия нормальности для решений дифференциальных уравнений порядка выше второго до сих пор не удалось. Поэтому, несмотря на кажущуюся общность теоремы Зигеля, она имела мало приложений к конкретным функциям.

До середины 50-х годов не появилось ни одной работы, связанной с методом Зигеля, кроме указанных двух работ самого Зигеля.

В 1954 г. [28: 1,9] была опубликована теорема, аналогичная теореме Зигеля, но доказанная при менее стеснительных предположениях. В этой теореме условие нормальности Зигеля для произведений степеней рассматриваемых функций заменено некоторым условием неприводимости тех же совокупностей функций. Последнее условие также только достаточно для выполнения утверждения теоремы, но формулируется проще и накладывает меньше ограничений на исследуемые функции. Проверка этого условия тоже сложна, но в ряде случаев возможна и тогда, когда условие нормальности Зигеля не удается проверить. Эта теорема распространила возможности применения метода к совокупностям Е-функций, составляющих решение неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений. С ее помощью удалось доказать трансцендентность и алгебраическую независимость значений некоторых Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям 3-го и 4-го порядков.

В 1955 г. в статье [28: 2] была опубликована теорема об алгебраической независимости значений Е-функцип, основное условие которой было необходимым и достаточным для ее утверждения. Таким естественным условием являлась алгебраическая независимость рассматриваемых функций над полем рациональных функций. Подробное доказательство теоремы дано в работе [28: 8], а уточнение метода доказательства в статье [28: 19]. Эта теорема позволила доказать трансцендентность и алгебраическую независимость значений в алгебраических точках многих конкретных Е-функций, являющихся решениями линейных дифференциальных уравнений любых порядков.

В 1955-62 гг. был доказан ряд теорем об арифметических свойствах значений Е-функций, связанных алгебраическими уравнениями над полем рациональных функций [28: 3-6,11,14]. Среди них содержались теоремы об алгебраической независимости значений в алгебраических точках подсовокупности Е-функций в случае, когда основная рассматриваемая совокупность Е-функций алгебраически зависима над полем рациональных функций.

Тем самым возможности применения рассматриваемого метода для доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций в алгебраических точках были доведены до его естественных границ.

За последние 30 лет многими авторами были проведены исследования, связанные с обобщениями метода Зигеля. Было получено большое число новых результатов. Работа Зигеля 1929 г. [73: 3] положила начало развитию одного из важнейших методов доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений аналитических функций.

Появилось много приложений общих теорем метода к конкретным Е-функциям. Для этого обобщались и развивались методы доказательства алгебраической независимости функций над полем рациональных функций. Устанавливались количественные аналоги теорем об арифметических свойствах значений Е-функций в форме неравенств, оценивающих снизу модули линейных форм и многочленов с целыми коэффициентами от значений рассматриваемых функций. Применялся метод и к другому классу аналитических функций, имеющих конечный радиус сходимости, названных Зигелем -функциями. Эти исследования нашли приложения в теории диофантовых уравнений.

В книге будут изложены основные результаты об арифметических свойствах значений Е-функций. К сожалению, ее размеры не позволяют включить в нее некоторые интересные исследования. Часть из них приводится только в формулировках. Поскольку показательная функция является простейшей трансцендентной Е-функцией, то подробно будут рассмотрены классические результаты Эрмита и Линдемана. Будут приведены их доказательства, построенные на разных идеях.

Заметим, что в книгу не вошли вопросы метрической теории трансцендентных чисел. С ними можно ознакомиться по книгам А. Я. Хинчина [26: 1, 2] и В. Г. Спринджука [23:1, 3]. Не содержатся в ней и проблемы трансцендентности в -адических полях.