§ 5. Мера алгебраической независимости значений IE-функций, связанных алгебраическими уравнениями над C(z)

Установим количественный аналог теоремы 11 гл. 4.

Теорема 8. Пусть совокупность IE-функций

составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (28) (линейных дифференциальных

уравнений Функции однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над а функции (82) связаны алгебраическим уравнением

где однородный (произвольный) неприводимый и примитивный многочлен от переменных (82) с коэффициентами из Далее, множество общих нулей всех коэффициентов многочлена при членах, содержащих

Тогда существуют постоянные (постоянная с) такие, что выполняются неравенства

а в неоднородном случае неравенство

Доказательство. По теореме 11 гл. 4, числа алгебраически независимы. Поэтому по вспомогательной теореме при и лемме 1 выполняются неравенства

Замечание. В неравенствах (83) и (84) показатель можно заменить на где

а в неравенстве (85) на аналогичное выражение, в котором заменено на

С помощью вспомогательной теоремы также просто устанавливаются количественные аналоги теорем 6, 8 и 14 гл. 4 для случая, когда

Теорема 9. Пусть совокупность IE-функций (82) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (28) (линейных дифференциальных уравнений (29)), функции однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над а функции (82) связаны однородными (произвольными) алгебраическими уравнениями

где однородный (произвольный) неприводимый многочлен

степени по такой, что он содержит член

Далее,

Тогда существуют постоянные (постоянная с) такие, что выполняются неравенства

где а в неоднородном случае неравенство

Доказательство. По теореме 6 гл. 4 числа однородно алгебраически независимы. Поэтому по вспомогательной теореме и лемме 2 выполняются неравенства (86), (87) и (88).

Теорема 10. Пусть совокупность -функций (82) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (28) (линейных дифференциальных уравнений (29)),

а функции однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над Далее,

Тогда существуют постоянные (постоянная с) такие, что выполняются неравенства (86) и (87), где а в неоднородном случае неравенство (88), где а к определено в лемме 6 гл. 4.

Доказательство. По теореме 8 гл. 4 числа однородно алгебраически независимы. Поэтому по вспомогательной теореме и лемме 12 гл. 4 выполняются неравенства

Теорема 11. Пусть совокупность -функций (82) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (28) (линейных дифференциальных уравнений Степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) этих функций над равна функции однородно алгебраически

независимы (алгебраически независимы) над Далее,

множество старших членов совокупности однородных (произвольных) минимальных уравнений функций (82) над

Тогда существуют постоянные (постоянная с) такие, что выполняются неравенства (86) и (87), где а во втором случае неравенство (88), где а к определено в лемме 18 гл. 4.

Доказательство. По теореме 14 гл. 4 числа однородно алгебраически независимы. Поэтому по вспомогательной теореме и лемме 18 гл. 4 выполняются неравенства

Сравнивая в теоремах 8—11 оценки мер с оценками мер сверху (12), (13), (16) и (17), полученными с помощью принципа Дирихле, замечаем, что в оценках (83) — (88) показатели при имеют точный порядок по

Теоремы 8—11 можно переформулировать на случай IE-функции, удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению, и ряда ее последовательных производных.

Заметим, что в гл. 11 и двух последующих главах в теоремах об оценках мер система дифференциальных уравнений (29) может оказаться и однородной Это означает, что в неоднородных случаях соответствующих теорем рассматриваемые Е-функции могут быть решением однородной системы, а оцениваемые меры от значений этих функций будут неоднородными.

Пользуясь теоремой 1, можно доказывать аналоги теоремы 7 и следствий из нее в случае, когда совокупности функций (57) и (59) алгебраически зависимы.

Заметим, что несколько изменив определение Е-функции и уточнив оценки в ряде лемм метода, в теоремах 1—7 можно уточнить в неравенствах остаточный член в показателе, заменив число на некоторую убывающую функцию от Такое уточнение будет проведено в гл. 13.