§ 5. Некоторые применения общих теорем

Доказанные общие теоремы могут быть применены ко многим конкретным Е-функциям. Приведем только простейшие примеры.

Пусть различные числа из По лемме 20 гл. 3 функции линейно независимы над Они

удовлетворяют системе дифференциальных уравнений Очевидно, что эти функции образуют неприводимую систему функций. Поэтому по теореме 1 имеем

где

Пусть теперь и линейно независимы над

По лемме 21 гл. 3 функции их алгебраически независимы над Тогда, очевидно, что совокупности произведений степеней

при любом образуют неприводимую систему функций. Поэтому по теореме 3

где

где и с получаются из равенств (74) и (75) заменой в показателе при числа на а также чисел на

Рассмотрим Е-функцию

удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению

Пусть Если а у — произвольное нетривиальное решение уравнения (76), то по лемме 3 гл. 6 функции у и у линейно независимы вместе с 1 над Нетрудно убедиться, что этот результат имеет место и при Функции являются решением системы дифференциальных уравнений

Следовательно, они составляют неприводимую систему функций. Тогда при любом по теореме 2 существует постоянная 7 такая, что выполняется неравенство

где

Лемма 10. Пусть

Тогда при любом совокупность произведений степеней

образует неприводимую систему функций.

Доказательство. Рассмотрим неоднородный случай. Однородный случай доказывается проще и следует из неоднородного случая. Пусть фиксировано. Дифференцируя функции (77), пользуясь при этом дифференциальным уравнением (76), получим, что совокупность функций (77), из которых ни одна не равна тождественно нулю, является решением системы линейных однородных дифференциальных уравнений

где

Для доказательства неприводимости системы функций (77) надо показать, что равенство

где есть произвольное решение системы (78), невозможно, если хотя бы одно произведение Для этого исходя из общего решения дифференциального уравнения (76) построим фундаментальную систему решений системы дифференциальных уравнений (78).

Пусть у — произвольное решение дифференциального уравнения (76). Положим Тогда является произвольным решением дифференциального уравнения Бесселя (9.42). Если есть нетривиальное решение, то из леммы 3 гл. 6, очевидно, следует, что функции алгебраически независимы над Если же два линейно независимых решения дифференциального уравнения Бесселя, то тогда по лемме 4 гл. 9 три функции алгебраически независимы над

Функция есть общее решение дифференциального уравнения Бесселя, а функция

является общим решением дифференциального уравнения (76). Пользуясь формулой Лиувилля для дифференциального уравнения Бесселя, , получим, что

Обозначим матрицу фундаментальной системы решений системы (78)

При любом решении у дифференциального уравнения (76) совокупность функций

будет, очевидно, решением системы (78). Определим функции всех значений удовлетворяющих условиям

соотношениями, тождественными по

а для всех остальных значений положим

Из равенств (80), (81), (83) и (85) следует, что

То, что так определенная совокупность функций любых фиксированных значениях является решением системы (78), следует из того, что, дифференцируя функции раз по и полагая после этого , ввиду линейности системы (78), снова получаем совокупность функций, являющихся решением этой системы. Покажем, что решений системы (78)

определенные равенствами (84), (85) и (86), образуют фундаментальную систему решений. Действительно, система (78) является однородной и распадается на подсистем, соответствующих однородным произведениям степеней функций

отличны от нуля лишь для значений т. е.

Ввиду равенств (87) доказываемое утверждение следует из того, что линейное уравнение с постоянными коэффициентами между функциями

невозможно при любом так как в противном случае оно привело бы к алгебраическому уравнению для что противоречит линейной независимости функций Равенства (87) показывают, что многочлены от В дальнейшем потребуется знать совокупность старших членов по переменным входящих

в каждую из функций Из равенств (87) и (88) находим

Теперь допустим противное — что равенство (79) имеет место для некоторого решения системы (78), при условии, что хотя бы одно произведение Подставим в левую часть равенства (79) вместо функций их значения, выраженные через элементы матрицы (82), определенные равенствами (85), (86) и (87), и постоянные

Пусть наименьшее число такое, что а натуральное число есть знаменатель числа . Тогда функции являются многочленами от

Умножая левую часть равенства (79) на получим алгебраическое уравнение между По лемме 8 гл. 5 оно тождественно по тем же переменным, так как функции алгебраически независимы над Следовательно, левая часть равенства (79) тождественно равна нулю по

После указанной подстановки ввиду равенств (85) и (88) равенство (79) примет вид

В тождестве (90) хотя бы одно произведение отлично от нуля, так как в противном случае все произведения в равенстве (79) были бы равны нулю. Допустим, что все произведения для значений где равны нулю, но имеется хотя бы одно отличное от нуля произведение с к. Собрав в тождестве (90) члены наибольшей степени к по получим

тождественно по откуда, пользуясь равенством

(89), находим

Поскольку хотя бы одно произведение то последнее тождество противоречит алгебраической независимости функций над Лемма доказана.

Пусть теперь

0. По теореме 3 существуют постоянные такие, что выполняются неравенства

и

где

Ввиду равенства (6.48) оценка (91) сохранится, если в ней заменить на или на а, где

так как

В работе 1959 г. [28:9] установлена неприводимость некоторых других систем Б-функций.

Замечания

Все результаты этой главы установлены в 1979 г. в работе [28:29]. Формулировки теорем об оценках мер значений IE-функций с остаточными членами того же типа, что и в главе 13 и возможностью степени меры расти вместе с ее высотой до неэффективного предела, опубликованы в 1967 г. в заметке [28:20]. Теорема об оценке меры такого же типа для КЕ-функций, эффективная по степени меры, установлена в работах Ю. В. Нестеренко [16 :2-5], опубликованных в 1972—77 гг. Эта теорема использует его замечательный результат об оценке порядка нуля многочлена от нескольких аналитических функций (лемма 8).

Заметим, что величина постоянной в лемме 8 уменьшалась в работах Д. Браунвелла [34:1], Д. Бертрана и Ф. Бейкерса [33:1], Ю. В. Нестеренко [16:11] и других работах. В книге использован первый результат Нестеренко, как более доступный для советского читателя. Нгуен Тьен обобщил лемму 8 на случай совокупности функций, алгебраически зависимых над

Эффективные оценки мер алгебраической независимости значений КЕ-функций установлены в еще неопубликованных работах Ю. Н. Макарова и В. А. Горелова. Отметим статью В. X. Салихова [22:3], в которой получены эффективные оценки мер значений некоторых конкретных Е-функций.

В работе Ч. Осгуда [61:3] в 1981 г. установлена алгоритмическая эффективность метода гл. 3.