§ 9. Доказательства теорем 6 и 5

Доказательство теоремы 6. Ввиду леммы 15 достаточно доказать только утверждение 1°. Применяя необходимое число раз лемму 12 можно считать, что числа удовлетворяют условиям Рассмотрим два случая.

1. Условие (54) не выполнено. По лемме 14 дифференциальное уравнение (42) линейно однородно неприводимо над Тогда по теореме 2 это дифференциальное уравнение неприводимо Поэтому по теореме 4 гл. 9 функции алгебраически независимы над В рассматриваемом случае условие (8) заведомо выполняется и, следовательно, утверждение теоремы 6 справедливо.

2. Условие (54) выполнено. Имеем

Поэтому функция представляется в виде

Если

есть функция (5.17), рассмотренная в гл. 5, а - примитивный корень степени из 1, то

так как

если равенств (72) и (73) получаем

Из дифференциального уравнения (5.18) следует, что функция является решением дифференциального уравнения

Покажем по индукции, что для любого у, являющегося решением дифференциального уравнения (75), выполняется равенство

где

При равенство (76) следует из уравнения (75). Допустим, что это равенство справедливо для Тогда дифференцируя равенство (76) при и пользуясь уравнением (75), находим, что

где функции

имеют требуемый вид. Следовательно, равенство (76) справедливо при а по индукции при любом

Из равенств (74) и (76) имеем

Положим

Тогда

и как определитель Вандермонда Поэтому по лемме 3 гл. 7 из равенства (77) следует, что

Возможны два подслучая: а) Тогда и по теореме 4 гл. 5 функции алгебраически независимы над Тогда из соотношения (78) получаем, что функции алгебраически независимы над Так как при из условия (54) следует, что выполняется условие (8), то утверждение теоремы 6 в рассматриваемом случае справедливо.

б) . Тогда

и по лемме 3 гл. 7

Но

Поэтому из соотношений (78) и (79) следует, что функции алгебраически зависимы над В рассматриваемом случае условие (8) не выполняется. Значит, снова утверждение теоремы 6 справедливо. Теорема 6 доказана.

Вид уравнения, связывающего функции над при нарушении условия (8) нашел В. А. Олейников. В этом случае можно считать, что и система дифференциальных уравнений (70), которой удовлетворяют функции принимает вид

Рассмотрим определитель

Дифференцируя многочлен по правилу дифференцирования определителей и пользуясь указанной выше системой дифференциальных уравнений, легко находим, что

Отсюда следует, что С помощью равенств (69) получаем значение Итак, искомое уравнение имеет вид

Доказательство теоремы 5. Выше было показано, что функции получаются из функций линейным преобразованием с коэффициентами из как и определителем равным 1. Отсюда с помощью леммы 3 гл. 7 следует, что утверждения 1° и 2° теоремы 5 эквивалентны. Поэтому достаточно доказать утверждение 1°.

Поскольку функция есть решение дифференциального уравнения (5), то утверждение 1° следует из теоремы 1 гл. 3 и теоремы 6.

Доказать утверждение 2° теоремы 5, применяя к функциям вторую основную теорему гл. 3 и теорему 6, нельзя, так как мероморфные функции не являются Е-функ-циями. Но с помощью этих теорем можно доказать утверждение если применить их к Е-функциям1

Ввиду леммы 15 для доказательства теоремы 6 достаточно доказать справедливость лишь одного из двух утверждений 1° или 2°. Выше было доказано утверждение 1°. Но легко доказать теорему 6, установив утверждение 2°. Для этого не требуется доказывать теорему 2, а надо непосредственно применить теорему 7 к системе дифференциальных уравнений Тогда матрицы имеют вид

Как и в § 7 в доказательстве теоремы 2 легко находим, что а если где простое число, то матрица А удовлетворяет условию теоремы 7. Дальнейшее доказательство утверждения 2° теоремы 6 проводится как и в случае утверждения 1°, с использованием леммы 16 вместо леммы 14,

При в однородном случае из теоремы 5 следует результат К. Зигеля (теорема 2 гл. 6), а при в общем случае результат И. И. Белогривова [1:3] и В. А. Олейникова (теорема 8 гл. 6).

Понятие линейной приводимости дифференциальных уравнений восходит к Фробениусу . Абстрактное изучение этого понятия послужило одной из причин к развитию дифференциальной алгебры (см. Е. Р. Колчин [49:1]). Примечательно, что оно, спустя свыше 100 лет, оказалось полезным в приложениях общих теорем теории трансцендентных чисел.