Глава 4. ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ Е-ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 1. Ранг совокупности чисел

В этой главе метод, развитый в гл. 3, обобщается в таком направлении, что его можно будет применять для получения арифметических результатов о значениях совокупности Е-функций, алгебраически зависимой над Как и в гл. 3 основным является линейный случай. Необходимо обобщить лемму 17 гл. 3 о ранге множества чисел при предположении, что Е-функции линейно зависимы над

Рассмотрим совокупность функций

аналитических в некоторой области. Предположим, что эти функции линейно зависимы над их ранг над (максимальное число линейно независимых функций) равен функции

линейно независимы над Тогда

Пусть функции (1) составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Для которой многочлен имеет тот же смысл, что и в гл. 3. Представим первые уравнений системы (4) следующим

образом:

Из последних уравнений и равенств (3) получим, что совокупность функций (2) удовлетворяет системе линейных однородных дифференциальных уравнений

Если функции (1) являются Е-функциями, то к линейно независимым функциям (2), удовлетворяющим системе дифференциальных уравнений (5), можно применить лемму 17 гл. 3 для получения арифметических результатов об их значениях в любой точке отличной от нуля и особых точек системы (5). Но эта система может иметь особыми точками не только особые точки системы (4), но и полюсы функций которые могут быть неизвестными. Последнее обстоятельство осложняет применение леммы 17 к рассматриваемым функциям. Указанная трудность может быть легко преодолена с помощью доказываемых ниже вспомогательных предложений.

Лемма 1. Пусть совокупность функций (1) имеет ранг над полем любое фиксированное число из С.

Тогда из функций (1) можно выбрать линейно независимых над функций (2) [быть может изменив нумерацию функций так, что они будут связаны с функциями равенствами (3) такими, что точка не является полюсом ни одной из функций

Доказательство. Применим индукцию по числу функций (1). При возможно одно значение и функции (1) связаны единственным (с точностью до постоянного множителя) линейным уравнением

в котором являются взаимно простыми многочленами из Тогда хотя бы один из этих многочленов отличен от нуля при Меняя в случае необходимости нумерацию функций (1), можно считать, что а тогда

где В не имеет полюса в точке Следовательно, утверждение леммы выполняется при

Предположим теперь, что лемма справедлива для функций, при любом возможном Докажем, что

тогда она выполняется и для функций при любом возможном

В этом случае функции (1) связаны ровно линейно независимыми линейными уравнениями над Выберем любое из них:

где взаимно простые в совокупности многочлены из Далее, рассуждая как в случае после, быть может, перемены нумерации функций (1) из равенства (6) получим равенство

в котором все функции не имеют полюса в точке

Если то функции линейно независимы над и утверждение леммы имеет место. Если же то они связаны ровно линейно независимыми линейными уравнениями над а тогда по предположению индукции после, быть может, перемены нумерации этих функций выполняются равенства

в которых все функции не имеют полюса в точке а функции (2) линейно независимы над

Подставляя в равенство (7) вместо функций правые части равенств (8), получим равенство

в котором все функции не имеют полюса в точке

Равенства (8) и (9) доказывают, что утверждение леммы выполняется для функций, а по индукции при любом и любом возможном значении Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть совокупность функций (1) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4) и имеет ранг над полем любое фиксированное число из С такое, что

Тогда из функций (1) (меняя их нумерацию, если это необходимо) можно выбрать функций (2) так, что они будут линейно независимы над и составят решение системы линейных

однородных дифференциальных уравнений

для которой точка не является полюсом ни одной из функций

Доказательство. Утверждение леммы 2 следует из леммы 1, если выбрать функции (2), удовлетворяющими утверждению леммы 1, и, пользуясь равенствами (3), образовать систему дифференциальных уравнений (5) и обозначить

Лемма 3. Пусть совокупность КЕ-функций (1) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (4) и имеет ранг над полем

Тогда ранг множества чисел над полем К удовлетворяет неравенству а если то неравенству . В частности, при выполняется равенство

Доказательство. При утверждение леммы справедливо, так как она в этом случае переходит в лемму 17 гл. 3, а при оно тривиально.

Пусть теперь выполняется неравенство —1. По лемме 2 при рассматриваемом из совокупности функций (1) можно выбрать линейно независимых над КЕ-функций (2), составляющих решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (10), для которой точка не является полюсом ни одной из функций Следовательно, КЕ-функции (2) удовлетворяют всем условиям леммы 17 гл. 3 с заменой в ней числа на число Поэтому если обозначить ранг над полем К множества чисел то по лемме 17 выполняется неравенство а если то неравенство . В частности, при имеет место равенство Так как то лемма доказана.

В гл. 4 с помощью леммы 3 доказывается ряд теорем об алгебраической независимости значений подсовокупности Е-функций в случае, когда основная рассматриваемая совокупность Е-функ-ций алгебраически зависима над