Глава 11. МЕРА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ЗНАЧЕНИЙ IE-ФУНКЦИЙ

§ 1. Определения мер

В теории трансцендентных чисел ведутся два типа исследований: качественные и количественные. В исследованиях первого типа устанавливают принадлежат ли рассматриваемые числа, или классы чисел, некоторому множеству. В частности, доказывается их иррациональность, линейная независимость, трансцендентность, или алгебраическая независимость. В исследованиях второго типа эти качественные факты получают соответствующие количественные характеристики в виде оценок линейных форм или многочленов от рассматриваемых чисел с коэффициентами из или

Основные методы теории трансцендентных чисел могут решать оба типа проблем и качественные и соответствующие им количественные. Следует отметить, что количественные результаты, установленные для некоторых классов чисел, находят приложения в других разделах математики и теории чисел.

В гл. 2—10 книги рассматривались качественные проблемы теории трансцендентных чисел. В гл. 1 были решены и некоторые количественные задачи. Последним полностью будут посвящены гл. 11—13.

Для изучения количественных задач теории трансцендентных чисел полезно ввести понятия мер иррациональности, линейной независимости, трансцендентности и алгебраической независимости.

Пусть и а будут числа из или С.

Мерой линейной независимости чисел называется функция от

где минимум берется по всем числам удовлетворяющим указанным условиям.

Ясно, что функция не возрастает с ростом . Если числа линейно зависимы над то начиная с некоторого выполняется равенство . В противном случае всегда Итак, числа линейно независимы тогда и только тогда, когда любом

Мерой иррациональности числа а называют функцию .

Мерой алгебраической независимости чисел называется функция от и :

где минимум берется по всем многочленам удовлетворяющим указанным условиям.

Функция также невозрастающая функция, как относительно так и относительно . Если числа алгебраически зависимы, то, начиная с некоторых В противном случае всегда Итак, числа алгебраически независимы тогда и только тогда, когда гари любом и любом

Меру алгебраической независимости (2) называют также мерой взаимной трансцендентности чисел

При мера (2) называется мерой трансцендентности числа а. Итак, мера трансцендентности числа а есть функция

Число а трансцендентно тогда и только тогда, когда при любых

Легко видеть, что

а

где числа

являются произведениями степеней чисел

занумерованные в любом порядке.

При будем рассматривать меру однородной алгебраической независимости (взаимной трансцендентности) чисел которая определяется аналогично функции (2), но при условии, что многочлен однороден. Числа однородно алгебраически независимы тогда и только тогда, когда при любом и любом

Аналогично имеет место равенство

где

есть совокупность однородных произведений степеней (6) с условием

Равенства (4), (5) и (7) показывают, что изучение мер трансцендентности, алгебраической независимости и однородной алгебраической независимости сводится к изучению мер линейной независимости чисел.

Будем рассматривать также меру алгебраической независимости групп чисел

которая определяется аналогично (2), с той лишь разницей, что многочлен имеет степени по группам переменных не превосходящие, соответственно, чисел

Будем рассматривать и соответствующую меру однородной алгебраической независимости групп чисел при

которая определяется аналогично при условии, что многочлен однороден по каждой из групп переменных

Меры (8) и (9) также выражаются через меры линейной независимости некоторых соответствующих совокупностей чисел.

С помощью принципа Дирихле легко находятся оценки мер сверху, справедливые для любых наборов чисел или любого числа а.

Из теоремы 5 гл. 1 непосредственно следует, что

где если все числа если хотя бы одно из них принадлежит

Из равенств (4) и (10) получаем

так как в этом случае

Из равенств (5) и (10) находим

поскольку с

Наконец, из равенств (7) и (10) имеем

Аналогично, пользуясь неравенством (10), можно легко получить оценки сверху для мер (8) и (9).

Рассмотренные выше понятия мер можно обобщить на случай целых алгебраических коэффициентов линейных форм и многочленов, входящих в их определения.

Если К — алгебраическое поле, то размером многочлена будем называть и обозначать символом наибольший из размеров коэффициентов т. е. наибольший из модулей всех его коэффициентов и их сопряженных в поле К.

Будем рассматривать меры линейной независимости, трансцендентности, алгебраической независимости, однородной алгебраической независимости относительно поля К, которые определяются аналогично мерам с той лишь разницей, что коэффициенты соответствующих линейных форм или многочленов принадлежат а размеры линейных форм или многочленов не превосходят числа Я. Соответствующие меры обозначаются аналогично мерам (1) — (3) и но с указанием индекса К, т. е. или

Для мер можно легко получить оценки сверху, если обобщить лемму 5 гл. 1 на случай коэффициентов

рассматриваемых линейных форм из При этом надо предварительно доказать следующее утверждение: Если количество чисел а из таких, что то существуют постоянные зависящие только от поля К такие, что где

С помощью такой леммы устанавливаются оценки аналогичные оценкам

где равно 1 или 1/2 в зависимости от того, является или не является поле (поле ) действительным; все постоянные зависят от поля К и, соответственно, от чисел (числа а), а кроме того, от числа Аналогичные оценки устанавливаются и для мер (7) и (8).

Указанные выше оценки мер сверху справедливы для любых рассматриваемых чисел. Поэтому в теории трансцендентных чисел представляет интерес получение оценок мер снизу для различных чисел или классов чисел.

Из оценок для и следуют оценки для если ввести в рассмотрение число а также оценки для или от чисел

Если известна оценка снизу для какой-либо меры, например, то эта же оценка имеет место и для при любом

так как есть наименьший из модулей конечного множества значений всех таких многочленов в точке

Так как при любом К имеем то из установленных оценок снизу для следуют те же оценки для

Числа в определенных выше мерах будем называть степенью и высотой соответствующей меры.

Заметим, что на поведении меры трансцендентности основаны различные классификации трансцендентных чисел, например, классификация, данная К. Малером в 1932 г. [56:1] (см. также [48:1] и [23:1]).

Изложим идею одного метода получения оценок снизу для линейных форм от нескольких чисел.

Пусть будут числами из С в совокупности отличными от нуля. Для определенности будем считать, что Предположим, что удалось каким-то способом сконструировать совокупность линейно независимых линейных форм от этих чисел:

Причем такие формы имеются для любого Я, а К зависит от Я. Пусть

произвольная фиксированная линейная форма от чисел . Линейные формы (18) линейно независимы. Поэтому среди них можно выбрать 1 форму, например так, что формы будут линейно независимы. Рассмотрим линейные формы

Пусть есть определитель форм (19). Ввиду их линейной независимости Поэтому

Обозначим алгебраическое дополнение элемента строки и столбца в Тогда из равенств (19) имеем

и

Очевидны оценки

Подставляя оценки (20) и (22) в неравенство (21), получим

Предположим, что с возрастанием число , зависящее от , стремится к нулю быстрее, чем Тогда неравенство (23) при достаточно больших значениях дает положительную нижнюю границу для

Линейные формы (18), удовлетворяющие указанным условиям, называют числовыми линейными приближающими формами. Совокупность таких линейных приближающих форм от значений Е-функций была сконструирована в гл. 3. В следующем параграфе эти формы будут использованы для оценки мер от значений Е-функций по схеме намеченного выше метода.

Рассмотренный метод можно применить и для оценки линейной формы с целыми алгебраическими коэффициентами, если только имеется достаточно хорошая оценка снизу для которую можно использовать в неравенстве (21) для получения нижней границы

Отметим, что впервые оценка меры трансцендентности была получена в 1899 г. Борелем для числа Он доказал, что при ограниченном и растущем

Эта оценка была существенно уточнена в 1928 г. в работе Я. Попкена [63:1], который установил, что при тех же условиях относительно

В 1932 г. К. Малер [56:1] получил при тех же условиях более точный результат

где с — абсолютная постоянная.

Сравнивая оценки (24) и (25), с полученной выше оценкой меры сверху (11), убеждаемся в том, что они весьма близки к их естественным границам сверху. В оценках (24) и (25) главный член в показателе является точным.

В 1929 г. К. Зигель в работе методом, обобщение которого изложено в гл. 3 и 4, доказал, что при любом выполняется неравенство

где функция Бесселя, Сравнение с

оценкой (12) показывает, что в неравенстве (26) показатель имеет точный порядок по

Современные аналитические методы теории трансцендентных чисел позволяют получать оценки мер для некоторых классов чисел, являющихся значениями аналитических функций, причем весьма близкие к их естественным границам.

В настоящей главе будем рассматривать только IE-функции и их значения в точках из поля I, в частности, -функции в точках из Арифметические свойства поля I позволяют получать существенно более точные оценки мер от значений Е-функций, чем в случае произвольного алгебраического поля К.