Глава 8. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА АРИФМЕТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

§ 1. Формулировки теорем

В этой главе устанавливается ряд теорем об алгебраической независимости значений Е-функций. В ней для доказательства алгебраической независимости рассматриваемых функций над применяется метод, основанный на сравнении арифметических свойств коэффициентов степенных рядов этих функций.

Указанным методом пользовались В. Майер Зигель для аналогичных целей. Все результаты, доказанные в § 1—4, опубликованы в статье а доказанные в § 5 в статьях [28 : 6, 23].

Обозначим

Тогда

Теорема 1. Если числа алгебраически независимы; 2) числа алгебраически независимы.

Теорема 2. Если числа алгебраически независимы. 2) Числа алгебраически независимы.

Пусть Пользуясь символом, определенным в § 2 гл. 5, обозначим

Тогда

Для функций будем допускать и значение

Нетрудно проверить, что если есть Е-функция и то функция

также есть Е-функция. Поэтому функции (3), (4), (8) — (10) являются Е-функциями. С помощью равенств (1), (2), (5) — (7) убеждаемся в том, что функции (3) и (5) удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из порядка а функции (4), (6) и (7) порядка

Теорема 3. Если то: 1) числа алгебраически независимы; 2) числа алгебраически независимы.

Теорема 4. числа алгебраически независимы; 2) числа алгебраически независимы.

Теорема 5. Если либо равно нулю, то: 1) числа алгебраически независимы;

2) числа алгебраически независимы. Если обозначить

то из теорем 2 и 5 следует, что при любом как числа так и числа алгебраически независимы.

Пусть Тогда с помощью замены переменной из теорем 3—5 получаем, что каждая из функций

при любом принимает трансцендентное значение. Если же, кроме того, где то при любом значения каждой из функций (11) алгебраически независимы со значением соответствующей из функций В частности, последние утверждения справедливы для «неполных» интеграла вероятностей и интегралов Френеля

и соответствующих им функций

Заметим, что указанные результаты для первых из интегралов (11) и (12) были установлены в § 2 гл. 5, как следствия теоремы 3 гл. 5. Из теоремы 3 следует аналогичный результат для «неполной» гамма-функции и функции который был также установлен в § 2 гл. 5.

Обозначим

и

Имеем

функции (13) и (14) являются гипергеометрическими Е-функциями. По лемме 2 гл. 5 функция (13) есть решение линейного дифференциального уравнения с коэффициентами из порядка к, а функция уравнения того же типа порядка

Теорема 6. Если то при любых к и

1) числа алгебраически независимы;

2) числа алгебраически независимы. В частности, чисел алгебраически независимы.

Теорема 7. Если любых чисел алгебраически независимы. 2) чисел алгебраически независимы. В частности, - чисел алгебраически независимы.