§ 8. Линейная приводимость

Рассмотрим гипергеометрическую функцию

По равенству (5.5) функция (39) является решением линейного дифференциального уравнения

Обозначим

Тогда линейное однородное дифференциальное уравнение, соответствующее уравнению (40), имеет вид

В этом параграфе будут установлены условия линейной однородной приводимости над дифференциального уравнения (42). При решении этой задачи для упрощения рассуждений удобно свести доказательство к случаю, когда числа удовлетворяют условиям

Если две системы аналитических в некоторой области функций алгебраически эквивалентны над (каждая из функций первой системы алгебраически зависит над от функций второй системы и наоборот), то будем обозначать это символом

Лемма 12. Пусть а функция получается из функции заменой X на X—1. Тогда

Доказательство. Очевидно, что

откуда имеем

Так как ввиду дифференциального уравнения (40) и равенства (44)

то отсюда и из равенств (45) получаем, что с некоторыми выполняется равенство

Из равенств (45) и (46) находим, что

Определитель квадратной матрицы в правой части равенства (47) равен где Поэтому равенства (47) по лемме 3 гл. 7 имеем, что

Так как линейно выражается через с коэффициентами из и определитель линейного преобразования отличен от нуля, то по лемме 3 гл. и аналогично

Поэтому из соотношения (48) следует соотношение (43).

В дальнейшем будем рассматривать дифференциальные операторы следующих типов: 1) т. е.

где оператор (49), а При применении оператора к функции надо применить оператор к произведению

Лемма 13. Пусть Тогда

Доказательство. Необходимо доказать равенство

причем достаточно его установить лишь для операторов

Применим индукцию по к. При утверждение очевидно выполняется. Предположим, что справедливо равенство Тогда

По индукции равенство (51) имеет место при любом

Пользуясь равенством (51), оператор (49) можно представить в следующей форме:

Лемма 14. Если , то выполняются следующие утверждения.

1°. Дифференциальное уравнение (42) линейно однородно приводимо над тогда и только тогда, когда существует I — делитель числа такой, что выполняется условие

2°. Ясли где простое число, дифференциальное уравнение (42) линейно однородно приводимо над в том и только том случае, когда существует такое, что и выполняется условие

Замечание. Лемма 14 справедлива и без ограничений если равенство (54) заменить на условие

Доказательство. 1. Сначала покажем, что, в случае когда утверждения 1° и 2° эквивалентны. Тоща достаточно будет доказать только утверждение 1°.

Пусть при выполняется условие 1°. Так как есть простое число, то для делителя I имеется единственная возможность Пусть таково, что

Положим Из соотношения (53) получим, что существует такое, что с Повторяя это рассуждение, получим такие, Но если Поэтому набор является перестановкой чисел Тогда

Из соотношения (55) следует, что среди чисел найдется только одно, удовлетворяющее условию Отсюда ввиду выбора имеем, что а тогда из соотношения (55) и условий получаем соотношение (54).

Пусть теперь выполнено соотношение (54). Из него имеем

откуда следует соотношение (53) при

2. Докажем теперь, что если выполнено соотношение (53), то оператор приводим (т. е. представляется в виде произведения двух операторов того же типа, содержащих б). Тогда уравнение (42) будет линейно однородно приводимо над

Нетрудно проверить, что из соотношения (54) и условий следует соотношение

Обозначим — примитивный корень степени I из 1 и

Покажем, что

Для каждого рассмотрим множество наборов чисел

Так как

то

Имеем

где если если

Из равенств (56) и (50) следует, что

Поэтому

Ввиду равенств (58) и (60) находим

Далее,

Из равенств (59), (61) и (62) следует равенство (57), что доказывает приводимость оператора

3. Теперь докажем, что из линейной однородной приводимости над дифференциального уравнения (42) следует соотношение (53).

Из определения линейной однородной приводимости дифференциального уравнения имеем, что существует у — решение дифференциального уравнения (42), такое, что

где хотя бы для одного значения

Докажем, что выполняется равенство

а оператор определен равенством (41).

Сначала по индукции установим, что для всех существуют такие, что

При имеем

Пусть равенство (65) справедливо при Докажем, что тогда оно выполняется и при Равенство (52) позволяет представить в виде

Пользуясь равенством (65) при и равенством (50), получим

что доказывает справедливость равенства (65) при а по индукции и при любом

Представляя оператор с помощью равенства (52) в виде

и, пользуясь равенством (65), будем иметь

откуда следует представление (64).

Заметим, что в равенстве так как в противном случае степень оператора по была бы не меньше чем Равенство (52) позволяет представить оператор в виде

где хотя бы для одного значения Из равенств (63) и (64) получаем, что

Покажем, что в равенстве (66) хотя бы два из операторов отличны от нуля. Действительно, в противном случае, пользуясь равенством (50), при некотором будем иметь

Выбирая многочлен наименьшей степени такой, что получим ввиду уравнения (42) и обозначения (57)

т. е., что Тогда есть многочлен меньшей степени, чем удовлетворяющий условию Но это противоречит выбору

Итак, в любом равенстве вида (66) содержится не менее двух ненулевых операторов Теперь будем считать, что равенство (66) таково, что в нем содержится минимальное число ненулевых операторов

Из равенства (66) и уравнения (42), пользуясь равенством (50) и обозначением (41), имеем

В проведенном преобразовании нулевые слагаемые переходят в нулевые слагаемые. Поэтому в результате равенство (67) будет равенством того же типа, что и равенство (66), и также содержащим минимальное число ненулевых слагаемых. Поэтому, если то коэффициенты при в уравнениях (66) и (67) будут пропорциональны. Итак,

или

Заменяя в равенстве на и перемножая почленно полученные равенства, пользуясь,

значением получим

где где есть делитель

Докажем, что

Предположим противное. Тогда для некоторого значения функция имеет полюсы в точках что при достаточно большом невозможно, так как степень знаменателя ограничена. Она не превосходит Итак,

Но тогда для любого

Определим число как решение сравнения . Тогда

и лемма доказана.

Положим

где - функция (39). Функции (69) составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений ,

Пусть есть либо произвольное решение системы дифференциальных уравнений либо произвольное решение однородной системы дифференциальных уравнений соответствующей системе Тогда

Отсюда следует, что

где А — треугольная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, над главной диагональю — нули, а остальные элементы принадлежат

Равенство (71) означает, что функции получаются из функций линейным преобразованием с коэффициентами из и определителем, отличным от нуля.

Отсюда в неоднородном случае, пользуясь леммой 3 гл. 7, получаем следующее утверждение.

Лемма 15.

В однородном случае из равенства (71) следует, что линейная однородная неприводимость над системы эквивалентна линейной однородной неприводимости над дифференциального уравнения (42), т. е. что имеет место нижеследующая лемма, аналогичная лемме 14.

Лемма 16. Пусть

Тогда: 1°. Система линейных однородных дифференциальных уравнений линейно однородно приводима над тогда и только тогда, когда существует I — делитель числа такой, что и выполняется условие (53).

2°. Если где простое число, то система линейно однородно приводима над в том и только том случае, когда существует с такое, что и выполняется условие (54).