§ 3. Мера алгебраической независимости значений IE-функций, не связанных алгебраическими уравнениями над C(z)

Из теоремы 1 легко следует ряд теорем об оценке мер алгебраической независимости значений Е-функций, которые будут доказаны в дальнейшем. Как в гл. 3 и 4 эти теоремы будут иметь двойные формулировки, относящиеся к двум случаям — однородному и неоднородному. Доказательства будут проводиться только в однородных случаях, поскольку соответствующие неоднородные случаи рассматриваемых теорем являются следствиями их однородных случаев, в чем убеждаемся как и в гл. 4 при рассмотрении соответствующих качественных теорем.

Теорема 4. Пусть совокупность IE-функций , составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (28) (линейных дифференциальных уравнений (29)) и однородно алгебраически независима (алгебраически независима) над

Тогда существуют постоянные (постоянная с) такие, что выполняются неравенства

а в неоднородном случае неравенство

Доказательство. Рассмотрим однородный случай и совокупность функций

Занумеруем их произвольно и обозначим По лемме 18 гл. 3 эта совокупность IE-функций составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений вида (28), в которой число заменено на и которая не имеет особых точек, отличных от особых точек системы (28). Поэтому, пользуясь равенством (7) и применяя теорему 1, получаем, что с некоторой постоянной выполняется неравенство

Следовательно, неравенство (49) доказано. Неравенство (50) является следствием неравенства (49). Неоднородный случай (неравенство следует из доказанного в однородном случае, если заменить на и к рассматриваемым функциям добавить функцию

Из теоремы 4 получаем следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть IE-функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения (46) (линейного дифференциального уравнения порядка

1), и не удовлетворяет никакому однородному алгебраическому дифференциальному уравнению (алгебраическому дифференциальному уравнению) порядка меньшего, чем (в случае не является многочленом), а

Тогда существуют постоянные (постоянная с) такие, что выполняются неравенства

а в неоднородном случае неравенство

Заметим, что при неравенство (53) является оценкой меры трансцендентности значения логарифмической производной

функции

Следует отметить и частный случай теоремы 5 при

Теорема 6. Если IE-функция трансцендентна и является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка

то существует постоянная с, такая, что имеет место неравенство

Если и» есть некоторое множество комплексных чисел, то для краткости условимся обозначать строку под знаком меры символом

Теорема 7. Пусть каждая из совокупностей IE-функций

составляет решение соответствующей системы линейных дифференциальных уравнений

а каждая из совокупностей IE-функций

является решением соответствующей системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Далее, функций не связаны алгебраическим уравнением с коэффициентами из однородным по каждой из совокупностей функций (59). Далее, 11 и отлично от нуля и особых точек систем (58) и (60).

Тогда существуют постоянные с и такие, что выполняются неравенства

где

а обозначает меру, однородную только по значениям каждой из совокупностей функций (59).

Доказательство. Рассмотрим совокупность -функций

Рассуждая так же, как при доказательстве леммы 18 гл. 3, получим, что совокупность -функций (63) составляет решение системы из линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами из которая не имеет особых точек, отличных от особых точек всех систем (58) и (60). Так как по условию теоремы функции (61) линейно независимы над то по теореме 1 получим неравенство (61), из которого следует неравенство (62).

Теорема 7 содержит в себе теоремы 4—6. Отметим следствия из теоремы 7.

Следствие 1. При рассматриваемое в теореме 7 множество функций состоит лишь из совокупностей (59), а мера однородна по каждой из этих совокупностей функций. Поэтому оценки (61) и (62) принимают вид

и

Следствие 2. При рассматриваемое в теореме 7 множество функций состоит лишь из совокупностей функций (57). Поэтому оценка (62) принимает вид

Заметим, что система (58) может оказаться и однородной.

В теореме 7 в качестве совокупностей функций (57) и (59) можно рассматривать функции

и

где функции удовлетворяют соответствующему из дифференциальных уравнений

и

все коэффициенты которых принадлежат

Сформулируем одно следствие из теоремы 1, относящееся к этому случаю.

Следствие 3. Пусть каждая из IE-функций является решением соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

и не удовлетворяет никакому однородному алгебраическому дифференциальному уравнению первого порядка с коэффициентами из а

Тогда выполняются неравенства

и

Сравнение с неравенствами (10) — (17) показывает, что в теоремах 4—7 в оценках главный член в показателе является точным.

Заметим следующее. При условии теоремы 4 неравенства выполняются для любого значения (при этом постоянные и с зависят от Из доказательства этой теоремы ясно, что при фиксированном значении указанные неравенства будут выполняться, если ослабить условие теоремы, потребовав, чтобы функции не были связаны никаким однородным алгебраическим уравнением с коэффициентами из степени Аналогичное замечание можно сделать и относительно теорем 5—7.