ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Содержание книги показывает, что наложенный в ней метод при применении к исследованию арифметических свойств значений Е-функций в основном доведен до естественных границ.

Для применения установленных выше общих теорем к новым классам конкретных Е-функций необходимо развивать методы доказательства алгебраической независимости функций над

Представляет интерес обобщить рассмотренные выше исследования на случай значений Е-функций из некоторых множеств трансцендентных чисел. Некоторые результаты в этом направлении получены.

В 1970 г. А. И. Галочкин [3:3] установил теорему об алгебраической независимости значений совокупности Е-функций при значениях аргумента допускающих достаточно «хорошие» приближения числами из А.

Теорема. Пусть совокупность Е-функций

составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (13.8) и алгебраически независима над а число и является корнем уравнения

Тогда для любых фиксированных положительных чисел и к неравенство

имеет конечное множество решений в числах высоты и степени, не превосходящей к.

Если же то для произвольного и любого многочлена высоты и степени не превосходящей выполняется неравенство

где постоянная, зависящая только от чисел и функций

Следствие. Пусть Е-функции (1) составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений (13.8) и алгебраически независимы над полем и такое, что неравенство (2) имеет при некоторых положительных бесконечное множество решений в числах высоты и степени не превосходящей .

Тогда числа

алгебраически независимы.

Сформулированная теорема и следствие из нее применимы ко многим Е-функциям, рассмотренным в гл. 5—10. Оценка (3), в частности, имеет место для алгебраических А — точек функций и их производных, рассмотренных в гл. 6, при соответствующих значениях X, а следовательно, и для нулей функций Бесселя и их производных.

В 1979 г. в статье [28:28] были высказаны некоторые гипотезы. Пусть Е-функции (1) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (13.8) и алгебраически независимы над Легко убедиться, что почти для всех чисел в смысле меры Лебега числа (4) алгебраически независимы. Однако при попытках доказательства алгебраической независимости этих чисел в какой-либо трансцендентной точке обычно возникают непреодолимые трудности.

Естественно возникает следующая гипотеза: если функции (1) удовлетворяют системе (13.8) и алгебраически независимы над то из чисел (4) по крайней мере алгебраически независимы.

Из этой гипотезы получаем ряд интересных следствий:

1°. . Тогда числа алгебраически независимы.

2°. где числа из линейно независимые с числом 1 над а, где Тогда числа алгебраически независимы.

3°. Если нуль одной из функций (1), например или точка, в которой она принимает значение из А, то числа алгебраически независимы.

4°. Пусть — корень уравнения где неприводимый многочлен от переменных с коэффициентами из А. Тогда любые из чисел (4), среди которых не содержится значение одной из функций (2), входящей в многочлен алгебраически независимы.

Заметим, что утверждения 1° и 2° содержатся в известной гипотезе Шенуэла, заключающейся в том, что если числа из С линейно независимые над то степень трансцендентности множества чисел должна быть не

меньше, чем К решению гипотезы Шенуэла и сформулированной выше гипотезы в общем виде в настоящее время не видно никаких подходов. Важные частные случаи последней гипотезы (вторая основная теорема гл. 3 и следствие из упомянутой выше теоремы Галочкина) доказаны. Естественно ожидать, что внесение в метод каких-то новых идей позволит доказать ее в общем виде.

Возникает и следующая гипотеза: если степень трансцендентности множества функций (1) над равна то степень трансцендентности множества чисел (4) не меньше, чем

Из этой гипотезы можно получить также ряд следствий.

В 1929 г. К. Зигель в работе указал, что его метод можно применять к исследованию некоторых арифметических свойств значений еще одного класса аналитических функций. В отличие от Е-функций, степенные ряды, определяющие эти функции, имеют конечный радиус сходимости. Он назвал их -функциями.

Функция

называется -функцией, если коэффициенты удовлетворяют тем же трем условиям, что и числа во втором определении Е-функции.

Как и Е-функции, -функции образуют кольцо функций, замкнутое относительно операций дифференцирования и интегрирования в пределах от 0 до z и замены аргумента z на где

Простейшим примером -функции является геометрическая прогрессия. По известной теореме Эйзенштейна каждая регулярная в окрестности точки алгебраическая функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению с алгебраическими числовыми коэффициентами, является -функцией. Поэтому интеграл от 0 до z такой функции также будет -функцией. Другим примером -функции может служить гипергеометрический ряд Гаусса

при рациональных значениях параметров

При исследовании абелевых интегралов где алгебраическая функция, аналитическая в окрестности точки и имеющая алгебраические коэффициенты ряда Тейлора.

Зигель рекомендует рассматривать более общие приближающие формы от рассматриваемых функций, коэффициенты которых являются многочленами от

Не приводя доказательств, Зигель высказал ряд утверждений об иррациональности и непринадлежности алгебраическому полю ограниченной степени значений некоторых классов -функций в алгебраических точках, в частности, значений абелевых интегралов и гипергеометрических рядов (5).

Метод Зигеля и его обобщение, рассмотренное в книге, в применении к -функциям дают возможность получать арифметические результаты только в точках достаточно малых по модулю. Это обстоятельство связано с тем, что в числовых линейных приближающих формах от значений -функций, построенных с помощью этого метода, малость форм достигается не за счет множителя в общем члене ряда, как в случае Е-функций, а за счет где значение аргумента у рассматриваемых функций. Это же обстоятельство является причиной того, что для -функций, рассматриваемым в книге методом, не удается доказывать трансцендентность и алгебраическую независимость их значений.

В 1971 г. в статьях М. С. Нурмагомедова [18:1, 2] рассмотренный в книге метод впервые применен к исследованию арифметических свойств значений -функций в алгебраических точках, в первой из них к -функциям с коэффициентами степенных рядов из поля I, а во второй — из поля К. В этих статьях доказан ряд интересных теорем об оценках линейных форм и многочленов от значений произвольных -функций. Но их недостатком является то, что величина точки , в которой проводятся оценки, зависит от высоты рассматриваемых линейной формы или многочлена. Некоторые из этих теорем являются эффективными.

Свои общие теоремы М. С. Нурмагомедов применил к функциям

и

а в совместных работах с В. Г. Чирским [19 :1, 2] к функциям

и гипергеометрическим рядам (6).

Приведем формулировку лишь одного из результатов М. С. Нурмагомедова, являющегося приложением одной из его общих теорем.

Теорема. Пусть различные числа из I, числа числа а числа определены равенствами

дискриминант поля

Тогда: 1) при

справедливо неравенство

2) если то существует зависящее только от чисел и поля I, такое, что при

имеет место неравенство

Во втором утверждении этой теоремы впервые дается оценка снизу для многочлена от значений совокупности логарифмов в алгебраических точках.

В 1973 г. В. Г. Чирский [27:1] доказал две теоремы, аналогичные теоремам Нурмагомедова, в случае, когда рассматриваемые

-функции связаны алгебраическими уравнениями над а в работе [27:2] применил метод к эллиптическим интегралам.

В 1973 г. А. И. Галочкин [3:5, 6] продолжил исследования Нурмагомедова. Воспользовавшись указанием К. Зигеля в работе [73:3], о сокращении коэффициентов линейных приближающих форм, он получил для одного подкласса -функций оценки модулей многочленов от их значений в точках, величина которых не зависит от высоты многочлена. В частности, такие результаты были установлены и для функций (7). Там же была сформулирована теорема об эффективной оценке линейной формы от -функций из одного класса, доказательство которой опубликовано в работе [3 : 7].

В 1977 г. В. Г. Чирский [27:4, 8] снова рассмотрел эллиптические интегралы и установил иррациональность их значений в достаточно малых точках, а в статье значений гипергеометрических функций (8). В том же году Нагаев исследовал арифметические свойства значений эллиптических интегралов.

За последние годы заметно возрос интерес к изучению -функций. Статьи Е. М. Матвеева [12:1,2] посвящены оценкам линейных форм от значений -функций и их приложениям к диофантовым уравнениям. Отметим статьи М. С. Нурмагомедова [18:3], П. Филиппона [62:1], Е. Рейсата [65:1], Матала-Ахо и К. Ваананена [59 :1].

И. Фликер [41:1] и К. Ваананен [79:11] исследовали -адические -функции. В 1981 г. была опубликована глубокая работа Э. Бомбьери [35:1], в которой изучаются свойства -функций. В этой работе, в частности, Бомбьери доказал упомянутые выше утверждения Зигеля о значениях -функций. В 1979 г. Е. М. Никишин [17:1] опубликовал статьи, в которых методами, отличными от рассматриваемого в книге, оцениваются линейные формы от некоторых -функций.

В 1966 г. в статье [28:18] была поставлена задача о доказательстве иррациональности значений гипергеометрических функций с алгебраическими значениями параметров в алгебраических точках и анонсированы результаты такого типа для некоторых конкретных функций. В. Спринджук рассмотрел подобную проблему. Он исследовал целые функции с алгебраическими коэффициентами ряда Тейлора, удовлетворяющие линейным дифференциальным уравнениям первого порядка с коэффициентами из из более широкого класса, чем Е-функции, и установил некоторое утверждение об иррациональности значений таких функций. В связи с работой Спринджука отметим статью С. В. Котова [8:1]. В статье [13:1] С. М. Молчанов получил некоторое количественное обобщение результата Спринджука для совместных приближений значений функций.

В статьях В. Г. Чирского [27 :3, 5-7, 10] рассматривается класс функций с алгебраическими коэффициентами ряда Тейлора, содержащий классы Е-функций и -функций, у которых общее наименьшее кратное знаменателей коэффициентов ряда Тейлора может расти быстрее, чем у Е-функций. Для значений таких функций устанавливаются оценки многочленов с целыми коэффициентами в достаточно малых точках. В качестве примера указывается совокупность функций в различных алгебраических точках, состоящая как из Е-функций, так и из -функций.

В гл. 3 с помощью принципа Дирихле доказывается существование функциональных приближающих форм от совокупности Е-функций с необходимыми свойствами. С их помощью в случае поля I в гл. 11 устанавливаются оценки линейных форм и многочленов от значений рассматриваемых Е-функций. Полученные оценки имеют точный главный член в показателе при и остаточный член вида где Я не зависит от Такого же типа оценки получены в ряде работ о значениях -функций.

В методе Эрмита — Линдемана (см. гл. 2) функциональные приближающие формы от совокупности показательных функций строятся точно. Многочлены-коэффициенты таких форм определяются соответствующими формулами. Поэтому в количественных применениях этого метода получаются более точные оценки. В них остаточный член в показателе имеет вид Примеры оценок такого типа были приведены в гл. 11. Это оценки Я. Попкена (11.24) и К. Малера (11.25). Такого же типа оценка для функций с различными значениями параметра X была получена в работе Н. И. Фельдмана [24:4].

Оценки линейных форм от значений гипергеометрических функций в алгебраических точках были получены рядом авторов другими методами. В 1966—67 гг. Ч. Осгуд [61:1, 2], используя идеи Эрмита — Линдемана, доказал ряд теорем о диофантовых приближениях значений некоторых гипергеометрических функций и их производных с рациональными и алгебраическими значениями параметров в алгебраических точках.

Обобщая тот же метод, А. И. Галочкин [3:2, 3, 8—12] получил ряд оценок линейных форм от значений гипергеометричё-ских функций. В его работе [3:8] для некоторых таких функций остаточный член в оценках линейных форм был доведен до 123" Отметим работу А. И. Галочкина [3:4] о приближении значений показательной функции и решений некоторых трансцендентных уравнений.

В 1983 г. А. Н. Коробов [7:1] установил неулучшаемые оценки линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций. В 1984 г. А. И. Галочкин [3:13] получил подобные оценки в более общем случае.

Было бы интересно дополнить рассмотренный в книге метоя какими-то новыми идеями так, чтобы его можно было применять к более широким классам функций, а для -функций и их обобщений расширить множество значений аргумента, в которых можно устанавливать иррациональность значений таких функций и получать другие арифметические результаты.

Много глубоких результатов по оценке мер значений некоторых классов аналитических функций было получено с использованием и развитием метода Эрмита — Линдемана и методов, возникших при решении 7 проблемы Гильберта. Отметим работы Я. Попкена [63:1], К. Малера [56:1], А. О. Гельфонда [5:5- 7], Н. И. Фельдмана [24:1-5], А. Бейкера [32:1, 2, 4, 5]. Со многими из таких результатов можно познакомиться по книгам А. О. Гельфонда [5:8], Н. И. Фельдмана [24:8] и П. Цийсова [39:1].

Заметим, что в теории трансцендентных чисел к настоящему времени накоплено еще мало фактов и имеется мало методов исследований. Причиной этого является не отсутствие важных и интересных проблем. Как раз наоборот, таких задач и проблем: много, но они обычно слишком трудны и не поддаются решению известными методами.

Например, не удается обобщить классическую теорему Линдемана о линейной независимости значений показательной функции в различных алгебраических точках на случай, когда основание показательной функции есть алгебраическое число.

Известно, что числа и трансцендентны. Но неизвестно, будут они алгебраически независимыми или нет. Даже неизвестно, являются ли числа иррациональными.

Известно, что числа и трансцендентны. Но неизвестно, будут они алгебраически независимыми, или нет.

До сих пор ничего не известно об арифметической природе постоянной Эйлера и значений дзета-функции Римана при целых нечетных Неизвестно даже, будут ли эти числа иррациональными. В 1978 г. на Международном математическом конгрессе в Хельсинки было большой сенсацией сообщение о доказательстве Апери иррациональности числа С доказательством этого утверждения можно познакомиться, например, по публикациям Апери [31:1] и Ван дер Портена [64 :1].

В заключение хочется пожелать, чтобы в изложенный в книге метод были внесены какие-то новые идеи, позволяющие применять его к более широким классам функций и в некоторых множествах трансцендентных значений аргумента.