§ 4. Оценка мер алгебраической независимости

Из доказательства теоремы 1 и устанавливаемых ниже лемм 7, 8 и 9 следует теорема об оценке меры алгебраической независимости значений -функций.

Теорема 3. Пусть совокупность IE-функций , составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1) (линейных дифференциальных уравнений и однородно алгебраически независима (алгебраически независима) над

Тогда существуют постоянные и (постоянные у и такие, что выполняются неравенства

где

и в неоднородном случае неравенство

где

Теорема 3. Если при условии теоремы 3 совокупность произведений степеней

при любом образует неприводимую систему функций, то в ее утверждении

Лемма 7. Если функции произведений степеней (67) принадлежат классу

При этом последовательность входящая в определение функций класса (68), может быть выбрана одной для всех функций (67), т. е.

Доказательство. Рассмотрим какое-либо из произведений (67), у которого Произведение (67) можно рассматривать как произведение каких-то из функций причем некоторые сомножители могут повторяться. Расположим эти функции в любом порядке и обозначим коэффициенты их степенных рядов, соответственно, Тогда

где

Из определения класса имеем

При каждом расположим сомножители в порядке не возрастания второго индекса, т. е.

Тогда очевидно, что . Поэтому если положить

где последовательность (6), то при а ввиду равенств (4) и (7) получаем, что

Лемма доказана.

Лемма Нестеренко). Пусть

функции аналитические в точке составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1) и однородно алгебраически независимы над Пусть, далее, и размерность линейного пространства над порожденного функциями равна

Тогда

где зависит от системы дифференциальных уравнений (1), которой удовлетворяют рассматриваемые функции и от числа

Доказательство леммы 8 в книге не приводится. С ним можно ознакомиться по работе Ю. В. Нестеренко [16 : 5] (см. теорему 3).

Пусть КЕ-функции удовлетворяют системе линейных однородных дифференциальных уравнений (1). Рассмотрим совокупность произведений степеней этих функций (67). По лемме 18 гл. 3 функции (67) составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений вида (1), в которой число заменено на число а коэффициенты этой системы не имеют полюсов, отличных от полюсов системы (1).

Перенумеруем функций (67) в любом порядке и обозначим

Пользуясь леммой 7, легко проверить, что для функций (70) справедливо утверждение леммы 4 с заменой на Если предположить, что КЕ-функции однородно алгебраически независимы над (функции (70) образуют неприводимую систему функций), то для функций (70) справедливы утверждения лемм 2, 3, 5 и 6, также с заменой на Ввиду леммы 8 теперь утверждение леммы 2 можно уточнить.

Лемма 9. Если в условии леммы 2 заменить число на число а КЕ-функции на КЕ-функции (70) в предположении, что функции однородно алгебраически независимы над то в ее утверждении

где зависит от системы дифференциальных уравнений (1), которой удовлетворяют рассматриваемые функции и от числа

Доказательство. Пусть линейная форма от функций (70), сконструированная по лемме 4. По этой лемме Но тогда, ввиду леммы 8,

Отсюда имеем, что Если допустить, что то а по условию леммы 4 имеем, что Поэтому Значит, при выполняется равенство , откуда следует утверждение леммы. Доказательство теоремы 3. Ввиду равенства

где функции (70) при рассуждаем как при доказательстве теоремы 1, используя леммы 1—6, в которых число заменено на и функции на функции (70), а также леммы 7 и 9. При этом заметим, что в доказательстве леммы 5 параметр надо заменить на который зависит от Пользуясь доказательством леммы 18 гл. 3, убеждаемся в том, что можно положить Но из доказательства леммы 5 легко следует, что замена на не меняет ее утверждения, а только изменяет постоянные и 2 в неравенствах (38) и (39).

Из неравенства (64) и аналогов равенств (66), полученных с помощью леммы 7, имеем, что при

а значит, при

выполняется утверждение теоремы 3 с Утверждение теоремы 3 в случае, когда

доказывается как и в теореме 1.

Утверждение теоремы 3 следует из доказательства теоремы 3 ввиду равенства (24) для функций (70).

Теорема 4. Пусть и каждая из совокупностей IE-функций

составляет решение соответствующей системы линейных дифференциальных уравнений

а каждая из совокупностей IE-функций

является решением соответствующей системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Далее, функций (71) и (72) не связаны никаким алгебраическим уравнением с коэффициентами однородным по каждой из совокупностей функций (72), а 11 и отлично от нуля и особых точек всех систем

Тогда существуют постоянные такие, что выполняются неравенства

Доказательство теоремы 4 проводится аналогично доказательству теоремы 3, если рассмотреть совокупность произведений степеней

Теорема 4. Если при условии теоремы 4 совокупность произведений степеней (73) при любых значениях составляет неприводимую систему функций, в ее утверждении

Представляют интерес частные случаи теоремы 4, когда

Теоремы 1—3 можно переформулировать на случай Е-функции, удовлетворяющей линейному дифференциальному

уравнению, и ряда ее последовательных производных, а теорему 4 на случай нескольких таких функций.

Во всех теоремах 1—4 постоянная у — эффективна, постоянные не эффективны. Результат Ю. В. Нестеренко (лемма 8) дал возможность эффективизировать постоянные, входящие в оценки, в зависимости от степеней соответствующих мер, но полной эффективности он не дает.

В случаях теорем 1—4 все постоянные, входящие в оценки мер, эффективны. Но при этом заметим, что доказательства неприводимости для конкретных совокупностей функций обычно сложны и доступны лишь в случаях, когда рассматриваемые функции являются решениями дифференциальных уравнений не очень высоких порядков.

Оценки мер в доказанных теоремах имеют место при любых значениях числа рассматриваемых функций, степеней соответствующих мер и высоты Я. При достаточно больших значениях и степеней мер эти оценки становятся грубыми. Но число и степени мер могут расти вместе с до некоторого предела при сохранении достаточно точных оценок мер.

Из доказательств теорем 1 и 2 ясно, что может расти в зависимости от роста . Однако граница роста эффективно не указывается. В теоремах 1 и 2 такая эффективная граница устанавливается. Например, в теореме 1 при дается достаточно точная оценка для А Но при она становится грубой и тем грубее, чем больше

В теореме 3 аналогично достаточно точная оценка устанавливается при но неэффективная постоянная. Эта оценка становится грубой при . В случае теоремы 3 результат становится эффективным и точная оценка имеет место при

Аналогичные результаты имеют место и в случаях теорем 4 и 4.