Главная > Трансцендентные числа
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Приближение алгебраических чисел

Приведем краткий обзор основных направлений исследований в теории трансцендентных чисел, результаты одного из которых составляют содержание книги.

Число а называется алгебраическим, если оно является корнем многочлена

с рациональными коэффициентами.

Легко доказывается, что корень любого многочлена с алгебраическими коэффициентами, есть алгебраическое число.

Комплексное число а (в частности, действительное), не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.

Следовательно, трансцендентное число не может быть корнем никакого неравного тождественно нулю многочлена с алгебраическими коэффициентами.

Уже в Древней Греции рассматривались иррациональные числа. Так, например, в книге «Начала» Евклида содержится доказательство иррациональности числа

Задачи, связанные с исследованием арифметических свойств различных чисел, возникли очень давно. Одним из примеров такой задачи может служить известная из глубокой древности проблема квадратуры круга. В ней требовалось с помощью циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий заданному кругу. Если положить радиус круга равным 1, то решение проблемы сводится к выяснению возможности построения с помощью циркуля и линейки отрезка длиной

Попытки решить проблему квадратуры круга в течение длительного времени привлекали внимание математиков к изучению свойств числа

В 1766 г. И. Ламбертом [50: 1] было получено первое доказательство иррациональности числа Воспользовавшись разложением в непрерывную дробь числа найденным Л. Эйлером, он установил разложения в непрерывную дробь функций с помощью которых доказал

иррациональность чисел при любом рациональном значении Так как то последний результат содержал утверждение об иррациональности числа . Заметим, что доказательство Ламберта было не совсем строгим. Полную строгость ему придал позднее А. Лежандр установивший иррациональность значений одного класса непрерывных дробей, в который входят дроби, рассмотренные Ламбертом.

Ряд известных математиков высказывал предположение о том, что должны существовать трансцендентные числа. Так, например, Л. Эйлер в 1744 г. в своей книге утверждал, не приводя доказательства, что числа где а и рациональные числа, а не есть рациональная степень а, должны быть трансцендентными числами.

Строгое доказательство существования трансцендентных чисел впервые было установлено Ж. Лиувиллем в 1844 г. [55: 1, 2]. Он доказал теорему, которая утверждает, что если а есть корень неприводимого многочлена с рациональными коэффициентами степени то существует постоянная такая, что при любых целых рациональных выполняется неравенство

Из этой теоремы следует, что алгебраические числа не могут «слишком хорошо» приближаться рациональными числами. Поскольку легко привести примеры иррациональных чисел, допускающих «сколь угодно хорошие» приближения рациональными числами, то теорема Лиувилля позволила ему впервые построить примеры трансцендентных чисел.

В 1874 г. Г. Кантор [37:1] дал другое теоретико-множественное доказательство существования трансцендентных чисел. Он показал, что множество всех алгебраических чисел счетно, а множество действительных чисел несчетно, откуда следовало, что существуют трансцендентные числа. Более того, почти все числа (в смысле меры Лебега) трансцендентны.

В 1909 г. А. Туэ [78: 1, 2] разработал метод, с помощью которого существенно усилил утверждений теоремы Лиувилля. Это дало ему возможность доказать теорему о конечности числа решений диофантова уравнения

левая часть которого — неприводимая бинарная форма с целыми коэффициентами, целое число. Ряд авторов уточняли и обобщали теоремы Туэ.

На исследованиях о приближении алгебраических чисел основан ряд частных методов доказательства трансцендентности

чисел. Так, например, К. Малер доказал, что если многочлен, принимающий натуральные значения при то при любом натуральном будет трансцендентным число

где группа знаков разложении числа в системе счисления с основанием В частности, при отсюда следует, ото трансцендентно число

Теорема Лиувилля положила начало развитию одного из важнейших направлений теории диофантовых приближений — теории приближения алгебраических чисел, тесно связанной с диофантовыми уравнениями и, особенно, с теорией трансцендентных чисел. Теорию приближения алгебраических чисел обычно рассматривают как раздел теории трансцендентных чисел.

В книгу включены только некоторые простейшие факты о приближении действительных и алгебраических чисел рациональными и алгебраическими числами, связанные с рассматриваемыми в ней вопросами.

1
Оглавление
email@scask.ru