ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Приближение алгебраических чисел

Приведем краткий обзор основных направлений исследований в теории трансцендентных чисел, результаты одного из которых составляют содержание книги.

Число а называется алгебраическим, если оно является корнем многочлена

с рациональными коэффициентами.

Легко доказывается, что корень любого многочлена с алгебраическими коэффициентами, есть алгебраическое число.

Комплексное число а (в частности, действительное), не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.

Следовательно, трансцендентное число не может быть корнем никакого неравного тождественно нулю многочлена с алгебраическими коэффициентами.

Уже в Древней Греции рассматривались иррациональные числа. Так, например, в книге «Начала» Евклида содержится доказательство иррациональности числа

Задачи, связанные с исследованием арифметических свойств различных чисел, возникли очень давно. Одним из примеров такой задачи может служить известная из глубокой древности проблема квадратуры круга. В ней требовалось с помощью циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий заданному кругу. Если положить радиус круга равным 1, то решение проблемы сводится к выяснению возможности построения с помощью циркуля и линейки отрезка длиной

Попытки решить проблему квадратуры круга в течение длительного времени привлекали внимание математиков к изучению свойств числа

В 1766 г. И. Ламбертом [50: 1] было получено первое доказательство иррациональности числа Воспользовавшись разложением в непрерывную дробь числа найденным Л. Эйлером, он установил разложения в непрерывную дробь функций с помощью которых доказал

иррациональность чисел при любом рациональном значении Так как то последний результат содержал утверждение об иррациональности числа . Заметим, что доказательство Ламберта было не совсем строгим. Полную строгость ему придал позднее А. Лежандр установивший иррациональность значений одного класса непрерывных дробей, в который входят дроби, рассмотренные Ламбертом.

Ряд известных математиков высказывал предположение о том, что должны существовать трансцендентные числа. Так, например, Л. Эйлер в 1744 г. в своей книге утверждал, не приводя доказательства, что числа где а и рациональные числа, а не есть рациональная степень а, должны быть трансцендентными числами.

Строгое доказательство существования трансцендентных чисел впервые было установлено Ж. Лиувиллем в 1844 г. [55: 1, 2]. Он доказал теорему, которая утверждает, что если а есть корень неприводимого многочлена с рациональными коэффициентами степени то существует постоянная такая, что при любых целых рациональных выполняется неравенство

Из этой теоремы следует, что алгебраические числа не могут «слишком хорошо» приближаться рациональными числами. Поскольку легко привести примеры иррациональных чисел, допускающих «сколь угодно хорошие» приближения рациональными числами, то теорема Лиувилля позволила ему впервые построить примеры трансцендентных чисел.

В 1874 г. Г. Кантор [37:1] дал другое теоретико-множественное доказательство существования трансцендентных чисел. Он показал, что множество всех алгебраических чисел счетно, а множество действительных чисел несчетно, откуда следовало, что существуют трансцендентные числа. Более того, почти все числа (в смысле меры Лебега) трансцендентны.

В 1909 г. А. Туэ [78: 1, 2] разработал метод, с помощью которого существенно усилил утверждений теоремы Лиувилля. Это дало ему возможность доказать теорему о конечности числа решений диофантова уравнения

левая часть которого — неприводимая бинарная форма с целыми коэффициентами, целое число. Ряд авторов уточняли и обобщали теоремы Туэ.

На исследованиях о приближении алгебраических чисел основан ряд частных методов доказательства трансцендентности

чисел. Так, например, К. Малер доказал, что если многочлен, принимающий натуральные значения при то при любом натуральном будет трансцендентным число

где группа знаков разложении числа в системе счисления с основанием В частности, при отсюда следует, ото трансцендентно число

Теорема Лиувилля положила начало развитию одного из важнейших направлений теории диофантовых приближений — теории приближения алгебраических чисел, тесно связанной с диофантовыми уравнениями и, особенно, с теорией трансцендентных чисел. Теорию приближения алгебраических чисел обычно рассматривают как раздел теории трансцендентных чисел.

В книгу включены только некоторые простейшие факты о приближении действительных и алгебраических чисел рациональными и алгебраическими числами, связанные с рассматриваемыми в ней вопросами.