§ 5. Алгебраическая независимость значений Е-функций в сопряженных полях

Если в теореме 4 при всех ее остальных предположениях считать старшие члены минимальных уравнений произвольными, то получить оценки для мер значений не удается. Аналогично в той же ситуации в теореме 15 гл. 4 не удалось доказать алгебраическую независимость чисел Такого типа результаты были установлены только в теореме 11 гл. 11 и теореме 14 гл. 4 в случае, когда

Пользуясь теоремой 1 гл. 11, в случае поля можно доказать только, что хотя бы для одного из сопряженных полей числа алгебраически независимы.

Теорема 5. Пусть совокупность КЕ-функций

2), составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (2) (линейных дифференциальных уравнений Степень однородной трансцендентности (степень трансцендентности) множества этих функций над равна функции однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы) над Далее,

— совокупность старших членов однородных минимальных уравнений (минимальных уравнений) функций над

Тогда существует такое, что числа однородно алгебраически независимы (алгебраически независимы).

Доказательство. Допустим противное, что при любом числа алгебраически зависимы. Тогда по лемме 1 гл. 3 существуют многочлены

такие, что Положим Тогда

Пусть Рассмотрим совокупность произведений степеней

и базис Я векторного пространства порожденного этими функциями над построенный с помощью однородных минимальных уравнений функций (лемма 17 гл. 4). По лемме 19 гл. 4 совокупность функций базиса составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений вида (2), в которой число заменено на число которая не имеет особых точек, отличных от особых точек системы (2) и нулей многочленов Поскольку функции базиса линейно независимы над а функции входят в то по теореме 1 гл. 11

что противоречит равенствам (52). Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы.