§ 2. Вспомогательные предложения

Пусть обозначает некоторое поле аналитических функций от z, содержащее поле С и замкнутое относительно операции дифференцирования. В частности, может совпадать с полем

Приведем без доказательств некоторые необходимые в дальнейшем сведения из теории алгебраических расширений полей, с которыми можно ознакомиться, например, по книге К. Шевалле

Пусть

алгебраические над функции, поле, полученное присоединением к функций (4). Существует алгебраическая над функция такая, что

Следовательно, существуют функции для которых

Функция называется примитивным элементом поля

Если

— минимальный многочлен над (неприводимый над и, следовательно, наименьшей возможной степени), а -алгебраическая над функция, удовлетворяющая уравнению то функции

называются сопряженными для функций (4) над полем . Существует конечное множество совокупностей функций, сопряженных с функциями (4) над . Это множество не зависит от выбора примитивного элемента поля Если то для любого набора функций сопряженных с функциями (4) над также выполняется равенство

Лемма 2. Пусть функции (4) алгебраичны над полем и составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений

Тогда, если

— совокупность функций, сопряженных с функциями (4) над , то функции (6) также составляют решение системы дифференциальных уравнений (5).

Доказательство. Пусть минимальный многочлен алгебраической функции над . Тогда

и поскольку сопряженная функция над для функции то

Дифференцируя уравнения (7) и (8), получим

Пользуясь тем, что функции (4) составляют решение системы дифференциальных уравнений (5), из равенства (9) находим

Функции (6) сопряжены с функциями (4) над 2. Поэтому из равенства следует, что

Так как минимальный многочлен для алгебраической функции над 2, то он не имеет кратных корней. Тогда из равенства (8) следует, что Сравнивая теперь равенства (10) и (12), находим

Лемма доказана.

Следствие. Пусть функция алгебраична над полем 2 и удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

Тогда, если -функция, сопряженная с над полем

2, то также удовлетворяет дифференциальному уравнению (13).

Доказательство. Функции

все принадлежат полю и по условию следствия составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений

Если то функции по лемме 2 составляют решение системы дифференциальных уравнений (14). Так как то из системы (14) следует, что функция есть решение дифференциального уравнения (13). Следствие доказано.

Рассмотрим кольцо многочленов от с коэффициентами из 2. Приведем без доказательств некоторые

сведения об идеалах кольца необходимые в дальнейшем.

Пусть идеал кольца т. е. подмножество замкнутое относительно операций сложения и умножения на элементы Согласно теореме Гильберта о базисах для каждого идеала существует конечная совокупность многочленов из такая, что есть множество всевозможных линейных комбинаций с коэффициентами из Этот факт обозначают равенством Совокупность многочленов называется базисом идеала Если базисные многочлены однородны, то идеал также называется однородным. Если базисные многочлены однородны по некоторой группе переменных, то идеал называется однородным по этой группе переменных. Если идеал имеет базис, состоящий из одного многочлена т. е. то называется главным идеалом. Все кольцо образует главный идеал (1).

Совокупность функций называется нулем идеала если для каждого многочлена имеет место равенство По теореме Гильберта о нулях каждый идеал отличный от всего кольца имеет нуль, компоненты которого могут быть выбраны алгебраическими функциями над Если и каждый нуль идеала является также нулем многочлена то существует такое, что В частности, каждый однородный идеал имеет тривиальный нуль (. Если других нулей, кроме тривиального, идеал не имеет, то существует такое, что

Рассмотрим дифференциальный оператор, связанный с системой дифференциальных уравнений (5),

действующий в кольце Если решение системы дифференциальных уравнений (5), то для каждого многочлена выполняется равенство

Предположим, что функции алгебраически зависимы над полем Тогда совокупность всех многочленов удовлетворяющих условию очевидно, образует идеал кольца Из равенства (15) следует, что идеал замкнут относительно применения оператора т. е. Верно и обратное утверждение.

Лемма 3. Пусть идеал кольца отличный от всего кольца и замкнутый относительно применения оператора

Тогда: 1°. Существует решение системы дифференциальных уравнений (5) такое, что для любого многочлена имеет место равенство

2°. Если система дифференциальных уравнений (5) однородна, а идеал также однороден и имеет нетривиальный нуль, то у системы (5) имеется нетривиальное решение удовлетворяющее уравнению (16) для каждого многочлена

3°. Если система дифференциальных уравнений (5) распадается на несколько подсистем уравнений, а идеал однороден по каждой из соответствующих подсистем переменных и имеет нуль, нетривиальный по каждой из них, то таким же может быть выбрано и указанное выше решение системы (5).

Доказательство. Так как то по теореме Гильберта о нулях существуют алгебраические над функции такие, что для любого многочлена выполняется равенство

Обозначим базис идеала Пусть и таково, что все коэффициенты системы дифференциальных уравнений (5), функции и все коэффициенты многочленов аналитичны в точке а. Рассмотрим решение системы (5) такое, что Функции аналитичны в точке Пусть один из многочленов Обозначим По выбору точки а функция аналитична в ней.

Пользуясь равенством (15), имеем

и

так как Следовательно, и, значит, для любого что доказывает утверждение 1°.

Утверждение 2° следует из того, что если нетривиальный нуль идеала то точку а можно подобрать так, что хотя бы одно из чисел будет отлично от нуля.

Утверждение 3° выполняется, поскольку при его условиях точку а можно подобрать таким образом, чтобы для каждой из подсистем переменных нашлось бы число отличное от нуля.