§ 5. Трансцендентность значений Е-функций, связанных произвольными алгебраическими уравнениями над C(z)

Пусть множество Будем говорить, что некоторое утверждение выполняется для почти всех чисел а из если оно имеет место для всех за исключением конечного подмножества (возможно и пустого).

Теорема 2. Пусть совокупность Е-функций

является решением системы линейных дифференциальных уравнений

Тогда для почти всех чисел каждое из чисел трансцендентно, если трансцендентна соответствующая из функций (41).

Для доказательства этой теоремы установим одно вспомогательное предложение.

Лемма 8. Если многочлены

в совокупности взаимно просты, -функция аналитическая в некоторой области, множество общих нулей всех функций

конечно (возможно и пусто).

Доказательство. Если хотя бы один из многочленов - не зависит от и отличен от нуля, то утверждение леммы справедливо. Пусть теперь все отличные от нуля из этих многочленов зависят от у. Рассмотрим два случая.

1) . Тогда многочлена отличны от нуля. Рассмотрим их как многочлены от у с коэффициентами из и пусть есть результант этих многочленов. Тогда существуют многочлены такие, что

Поскольку взаимно просты, то и доказываемое утверждение следует из последнего равенства, если в нем положить

2) Рассмотрим множество всех отличных от нуля многочленов из Ни Таких многочленов не меньше двух и они в совокупности взаимно просты. Каждый из многочленов этого множества представим в виде произведения степеней неприводимых многочленов из Пусть наибольшая совокупность всех попарно взаимно простых неприводимых сомножителей, входящих в разложения рассматриваемых многочленов. Тогда

Если при некотором значении а выполняется равенство

то это означает, что среди чисел по крайней мере два равны нулю, так как Ни взаимно простые многочлены. Но по доказанному в первом случае любые два фиксированных многочлена из могут обратиться в нуль не более, чем при конечном числе значений Следовательно, если и существует, то только конечное множество значений , при которых какие-либо два из многочленов одновременно обращаются в нуль. Отсюда следует, что равенства (42) одновременно возможны не более чем при конечном числе значений а. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 2. Каждая алгебраическая Е-функция есть многочлен. Поэтому можно считать, что все функции (41) трансцендентны. Действительно, в противном случае подсовокупность тех из них, которые являются трансцендентными, составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений, аналогичной системе и можно было бы ограничиться рассмотрением только этих функций.

Предположим, что

При (в частности при теорема 2 справедлива по второй основной теореме. Поэтому рассмотрим случай, когда удовлетворяет неравенству при Достаточно доказать утверждение теоремы для любой из функций (41), являющейся трансцендентной. Пусть для определенности это будет

Определим конечное множество Точки будем называть исключительными точками для функции Докажем, что в любой точке А и число трансцендентно.

Тогда теорема будет доказана. При этом возможны два случая.

1. при Определим множество состоящим из числа 0 и нулей многочлена соответствующего системе дифференциальных уравнений

Применяя лемму 19 гл. 3 ко всевозможным наборам по функций из функций

получим, что степень трансцендентности множества чисел при любом меньше, чем Тогда по третьей основной теореме число трансцендентно при любом

Тогда среди функций (43) можно выбрать функций алгебраически независимых над Пусть для определенности произвольный набор таких функций (нумерацию функций (43) можно изменить).

В рассматриваемом случае функции алгебраически зависимы над и поэтому связаны алгебраическим уравнением

где неприводимый многочлен от переменных, коэффициенты которого по лемме 5 можно считать числами из содержащий и хотя бы одну из функций так как трансцендентная функция.

Рассмотрим как многочлен от с коэффициентами из Число отличных от нуля таких коэффициентов не меньше двух и все они в совокупности взаимно просты. По лемме 8 множество точек являющихся

общими нулями всех этих коэффициентов, может быть только конечным.

Определим теперь множество следующим образом. Отнесем к нему число 0, все нули а также все точки всех множеств соответствующих всевозможным наборам по I алгебраически независимых над функций из функций (43).

Пусть Предположим, что Так как степень трансцендентности множества функций (41) равна I, то по третьей основной теореме среди чисел

имеется алгебраически независимых. Пусть это будут числа (после быть может перемены нумерации функций По лемме 19 гл. 3 соответствующие функции будут алгебраически независимы над и связаны с функцией алгебраическим уравнением (44), рассмотренным выше. Представим снова как многочлен от с коэффициентами из и положим в уравнении Тогда коэффициенты будут числами из А, а поскольку числа алгебраически независимы, то все эти коэффициенты будут равны нулю. Поэтому значит, Отсюда следует, что число трансцендентно для всех и Теорема доказана.

Следствие. При условиях теоремы 2 почти все алгебраические А — точки каждой из трансцендентных Е-функций (41) являются трансцендентными числами. В частности, почти все нули таких функций трансцендентны.

Аналогично тому, как из второй основной теоремы следовала теорема 3 гл. 3, из теоремы 2 следует

Теорема 3. Если Е-функция трансцендентна и является решением линейного дифференциального уравнения (38), то почти для всех значения функции и всех ее производных трансцендентны.

Из теоремы 3 получаем следствие, аналогичное следствию из теоремы 2, для функции и всех ее последовательных производных.

Теорема 4. Пусть каждая из Е-функций (41) является решением линейного дифференциального уравнения с коэффициентами из

как функция от z, трансцендентна.

Тогда почти для всех число

трансцендентно. В частности, почти все нули и алгебраические А — точки функции трансцендентны.

Теорема 4 является следствием теоремы 2 и следующей леммы.

Лемма 9. Если каждая из аналитических функций (41) является решением линейного дифференциального уравнения с коэффициентами из то любой многочлен

также является решением линейного дифференциального уравнения с коэффициентами из

Доказательство. Достаточно ограничиться случаем, когда содержит хотя бы одну из функций (41). Пусть функция есть решение линейного дифференциального уравнения порядка Положим и рассмотрим совокупность -функций

Представим каждое из дифференциальных уравнений, которому удовлетворяют функции (41), в виде системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка, аналогично тому, как это сделано в § 13 гл. 3 для уравнений (3.163) и (3.168). Совокупность всех таких систем составит систему из линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами из решением которой будет совокупность функций (46).

Пусть -степень многочлена (45) по переменным (41), Рассмотрим всевозможных произведений степеней функций (46), сумма степеней которых не превосходит По лемме 18 гл. 3 эта совокупность функций является решением системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами из а многочлен будет линейной формой от некоторых из этих функций.

Обозначим Исходя из линейной формы при помощи равенства (3.38) построим линейные формы от рассматриваемых произведений степеней функций (46). Рассуждая далее, как в лемме 6 гл. 3, получим, что первые I из этих линейных форм, где линейно зависимы и, следовательно, связаны линейным однородным уравнением с коэффициентами из Заменяя в этом уравнении формы на производные формы при помощи равенства получим линейное однородное дифференциальное уравнение с коэффициентами из решением которого является функция Это завершает доказательство леммы, а вместе с ней и доказательство теоремы 4.

Замечание. Теорема 4, очевидно, справедлива, если Е-функции (41) либо сами, либо вместе с некоторыми другими Е-функциями составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений вида (11).