§ 8. Линейные приближающие формы и разложение показательной функции в интерполяционный ряд Ньютона
Укажем на связь между методами, изложенными в § 5, 6 и 3. Пусть 
имеют тот же смысл, что и в § 5. Рассмотрим комплексный интеграл
где С — простой замкнутый контур, пробегаемый в положительном направлении и содержащий внутри себя точки 
помощью равенства
легко убедиться в том, что вычет подынтегральной функции при 
равен 
где 
многочлен от 
Тогда по теореме о вычетах
С другой стороны,
Выберем контур С так, чтобы он содержал внутри себя все круги 
Разлагая в ряд Лорана по степеням
функцию 
получим
Поэтому из равенства (157) имеек
Тогда из доказанной в § 6 единственности линейной формы 
следует, что
Тем самым получено выражение для 
в виде комплексного жнтеграла.
Равенства (156) и (158) показывают, что линейная приближающая форма (104) есть коэффициент 
разложения функции 
в интерполяционный ряд Ньютона с периодической последовательностью узлов интерполяции.
При 
реализуется случай, рассмотренный в § 3.
В § 4—7 теоремы об иррациональности, трансцендентности и алгебраической независимости значений показательной функции доказывались с помощью построенных там функциональных линейных приближающих форм и получаемых из них числовых линейных приближающих форм от рассматриваемых чисел. Многие другие задачи, рассматриваемые в теории трансцендентных чисел, также доказываются с помощью построения линейных форм с целыми или целыми алгебраическими коэффициентами от соответствующих чисел.
Для доказательства иррациональности числа а надо показать, что линейная форма от чисел а и 1
отлична от нуля при любых 
одновременно неравных нулю.
Для доказательства линейной независимости чисел 
над 
(или над алгебраическим полем 
надо установить, что линейная форма
не равна нулю при любых 
не всех равных нулю.
Для доказательства трансцендентности числа а рассматривают линейную форму
от степеней числа а с коэффициентами из 
Надо показать, что 
при всех 
и любых 
не всех равных нулю.
Аналогично для доказательства алгебраической независимости чисел 
надо рассматривать линейную форму с коэффициентами из 
от произведений степеней
при любых 
В методе, который излагается в последующих главах книги, основное значение имеет конструирование соответствующих линейных приближающих форм от рассматриваемых функций и их значений.
