Замечания

В работах В. А. Олейникова [20:3-5] после изложения общих теорем его методом исследуются функции

Сначала рассматриваются утверждения об алгебраической независимости значений функций при а затем к ним сводятся общие случаи. Но доказательства теорем относительно функций (80) и (82) содержат пробел. В них используется одно утверждение о решениях линейных дифференциальных уравнений, которое до сих пор не доказано (но и не опровергнуто). Пользуясь свойствами конкретных дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют функции (80) и (82), нетрудно соответствующие доказательства Олейникова сделать корректными. Но доказательство его теоремы относительно функций (81) ошибочно.

В 1980 г. В. X. Салихов [22:4] обобщил теорему 2 на случай совокупности нескольких линейных дифференциальных уравнений простых порядков. Это позволило ему обобщить утверждение теоремы 4 на случай значений функций (6) в различных алгебраических точках линейно независимых над

полем где 5 — произвольный корень степени из единицы, отличный от 1. Доказательство теоремы 5 позволило В. X. Салихову уточнить последний результат.

В 1984 г. В. X. Салихов [22 :5] обобщил результат теоремы 3 на случай одного класса дифференциальных уравнений порядка и применил его для доказательства теоремы об алгебраической независимости значений в алгебраических точках функции

и ряда ее последовательных производных, где простое число.

Из последнего результата следует при недоказанное утверждение Олейникова относительно функций (81).

В статье В. А. Олейникова [20:6] доказывается утверждение теоремы 5 при Это доказательство опирается на результат работы относительно функций (80). Учитывая сделанное выше замечание, его можпо считать корректным.