§ 2. Первая основная теорема

Пусть V — поле, коммутативное кольцо или поле, содержащее поле

Элементы называются алгебраически независимыми над полем V, если они не связаны алгебраическим уравнением с коэффициентами из У, т. е. если для любого многочлена выполняется условие

В противном случае называются алгебраически зависимыми над полем

Если в этих определениях считать многочлен однородным, то элементы будем называть однородно алгебраически независимыми над полем V и, соответственно, однородно алгебраически зависимыми над полем

В случае когда говорят коротко: числа из С называются алгебраически независимыми или алгебраически зависимыми (однородно алгебраически независимыми или однородно алгебраически зависимыми).

Последнее определение использовалось во введении и в главе 2.

Лемма 1. Если числа алгебраически зависимы (однородно алгебраически зависимы), то они алгебраически зависимы (однородно алгебраически зависимы) и над

Доказательство. Рассмотрим первый случай. Второй доказывается аналогично.

Существует многочлен такой, что Рассмотрим алгебраическое поле содержащее все коэффициенты многочлена Представим эти коэффициенты как многочлены из Тогда где

Пусть числа, сопряженные с 0. Из условия следует, что так как в противном случае многочлен обращаясь в нуль при с некоторым был бы равен нулю при что противоречит тому, что Тогда

есть симметрический многочлен от с коэффициентами из По лемме 1 гл. как есть сомножитель то что доказывает утверждение леммы.

В дальнейшем будем рассматривать и другой случай, ковда кольцо, содержащее поле и функции В этом случае говорят об алгебраической независимости или зависимости (однородной алгебраической независимости или зависимости) функций над полем рациональных функций.

В книге всюду будет рассматриваться некоторая совокупность аналитических функций составляющая решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка

или системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений

Обозначим многочлен, являющийся общим наименьшим знаменателем всех рациональных функций в системе (7) или (8), и следовательно такой, что все

Первая основная теорема. Пусть совокупность Е-функций

составляет решение системы из линейных однородных дифференциальных уравнений (7) и однородно алгебраически независима над

Тогда числа однородно алгебраически независимы.

Для доказательства первой основной теоремы установим ряд вспомогательных предложений.

Покажем, что при условиях первой основной теоремы в системе (7) все где К — алгебраическое поле, которому принадлежат все коэффициенты степенных рядов всех функций (9).

Лемма 2. Пусть К — алгебраическое поле, а совокупность функций

аналитических в некоторой области, содержащей точку связана алгебраическим уравнением

Тогда существует многочлен

такой, что

Доказательство. Будем считать в многочлене все числовые коэффициенты неопределенными. Приравняем нулю у степенного ряда по степеням z в левой части уравнения (11) коэффициенты при всех степенях Получим систему из счетного числа линейных однородных уравнений с коэффициентами из К относительно конечного числа неизвестных — рассматриваемых неопределенных коэффициентов. Выберем из этой системы максимальную линейно независимую подсистему. По условиям леммы она имеет нетривиальное решение. Тогда ввиду ее однородности искомые коэффициенты могут быть выбраны из В результате получим многочлен удовлетворяющий утверждению леммы.

Заметим, что при условиях леммы 2, если рассматривать как многочлены от с коэффициентами-многочленами

нами от z, то, вообще говоря, множества нулей коэффициентов многочленов могут оказаться различными.

Лемма 3. Пусть совокупность функций (9), аналитических в некоторой области, содержащей точку составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (7) и линейно независима над

Тогда система (7) определена однозначно,

а многочлен может быть выбран так, что

Доказательство. Сначала докажем, что при условиях леммы 3 система дифференциальных уравнений (7) определена однозначно.

Допустим, что функции (9) кроме системы (7) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

Подставим в обе эти системы Сравнивая правые части соответствующих уравнений этих систем, получим

Отсюда, ввиду линейной независимости функций (9) над имеем

Теперь, применяя лемму 2 (с заменой на к каждому из уравнений

получим, что вьгаолнено условие (13), из которого следует условие (12).

Следствие. При условиях первой основной теоремы коэффициенты системы (7) удовлетворяют условиям (12) и (13).