§ 10. Числовые линейные приближающие формы

В § 9 сконструировано линейно независимых линейных приближающих форм от совокупности рассматриваемых КЕ-функций, удовлетворяющих системе линейных дифференциальных уравнений (7). Теперь перейдем к арифметической части метода, основной задачей которой является построение совокупности линейно независимых числовых линейных приближающих форм от значений рассматриваемых функций. Эта задача решается с помощью леммы 10 путем перехода от функциональных приближающих форм к совокупности линейно независимых числовых форм, получающихся из достаточно большого числа (но все же не слишком большого) функциональных приближающих форм.

Если линейная форма сконструирована по лемме 14, а то по лемме 10 среди линейных форм

найдется линейно независимых форм.

У становим необходимые в дальнейшем оценки величин в точке

Лемма 15. Пусть совокупность КЕ-функций , составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (7) и линейно независима над Пусть линейная форма сконструирована по лемме 14 при каком-либо значении с заменой на при некотором а число получается из заменой в равенстве на

Тогда для линейных форм и их коэффициентов с ростом выполняются оценки

Доказательство. Если коэффициенты степенных рядов

удовлетворяют условиям то условимся обозначать Кроме того, введем обозначение

Тогда очевидно, что

Имеем

где некоторая постоянная, не зависящая от как и выше, обозначает наибольшую из степеней всех многочленов

Так как линейная форма

сконструирована по лемме 14, то по условиям (116) и (117)

Поэтому

Докажем по индукции два следующих соотношения:

При этом соотношение (133) остается справедливым, если коэффициенты многочленов заменить их сопряженными в поле К с любым номером.

По лемме 14 утверждения (133) и (134) справедливы при Предположим, что они выполняются при некотором значении и докажем, что тогда они выполняются и для значения

Пользуясь оценками (131) и предположением индукции, получим

Отсюда получаем, что соотношения (133) и (134) справедливы при любом

Пусть теперь к удовлетворяет неравенству Тогда из соотношения (134) легко следует оценка (130). Далее, из соотношений (132) и (133) находим, что

так как значит, при достаточно больших Полагая К и оценивая значение ряда в правой части последнего соотношения по порядку его первым членом, получим

Поэтому

Из оценок (133) и (135) следует утверждение (129).

Лемма 16. Пусть совокупность КЕ-функций является решением системы линейных дифференциальных уравнений (7) и линейно независима над

Тогда при любом и любом где определено равенством (83), существует совокупность линейно независимых линейных форм от чисел

таких,

причем оценка (137) сохранится, если все коэффициенты степенного ряда и число заменить на сопряженные числа из поля , сопряженного полю

Доказательство. Пусть любые числа, удовлетворяющие условиям леммы, а форма сконструирована по лемме 14 при выбранном с заменой на Рассмотрим формы лемме 10,

заменив в ней на , получим, что среди линейных форм

можно выбрать линейно независимых. По лемме 15 для этих форм выполняются оценки (129) и (130).

Пусть формы

линейно независимы. Выберем число а так, что условий леммы 14 и равенств (37) следует, что

Поэтому, если обозначить

так как коэффициенты многочленов являются числами из

Положим

Тогда линейные формы (142) будут линейно независимы. Ввиду оценок (129), (130) и (141) выполняются оценки (137) и (138). Лемма доказана.