§ 4. Дифференциальный оператор G

Пусть V есть некоторое поле. Отображение поля V в себя будем называть дифференциальным оператором, если для любых двух элементов выполняются равенства

Третий этап доказательства теоремы 7 связан с определением некоторого дифференциального оператора и выяснением? его свойств.

Так как элементы алгебраически независимы над С, то на поле можно определить частные производные Действие этих частных производных естественным образом продолжается на поле Например, если а есть неприводимый многочлен с коэффициентами из С такой, что то частная производная определяется с помощью равенства

Положим теперь

Дифференциальный оператор действует в поле Лемма 4. Выполняются равенства и

Доказательство. Применяя оператор к равенству получим

откуда следует, что

Для элементов равенство (13) следует из определения оператора

Пусть теперь неприводимый многочлен с коэффициентами из С такой, что

Применим к уравнению (14) оператор В результате будем иметь

Из включения следует, что Поэтому

Из равенств (15) и (16), поскольку получаем равенство (13).

Лемма 5. Пусть дифференциальный оператор, действующий в поле и отображающий поле в себя.

Тогда существует число такое, что для всех а выполняется неравенство

Доказательство см. К. Шевалле [72 : 1] (гл. VI, § 4, лемма 4). Применив лемму 5 к частным производным получим, что существует число такое, что для всех а выполняется неравенство

Так как по условию теоремы а по доказанному выше нормирование У на кольце принимает неотрицательные значения, то из равенств (12) и (17) следует что для любого элемента справедливо неравенство

Определим теперь оператор на поле Пусть последовательность элементов такая, что неравенства (18) следует, что последовательность фундаментальна относительно метрики, определенной на нормированием Значит, в поле существует предел который обозначим Этот предел не зависит от выбора последовательности а так определенный на 9? оператор будет дифференциальным оператором.

Лемма 6. Дифференциальный оператор действующий в поле может быть продолжен на поле причем для каждого элемента выполняется неравенство

Доказательство. Осталось доказать только неравенство 19). Пусть и

Выберем столь большим, чтобы для элемента

выполнялось неравенство

Из этого неравенства следует, что

Поскольку значит,

Следовательно, для всех

Из неравенств (20) и (21) получаем, что для каждого выполняется неравенство (19).