§ 3. Некоторые свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

Пусть линейно независимые над С решения уравнения (17). Обозначим Поле очевидно, не зависит от выбора фундаментальной системы решений уравнения (17).

Лемма 4. Если для любого нетривиального решения уравнения (17) функции алгебраически независимы над 2 и существует функция такая, что то

Доказательство. Пусть фундаментальная система решений уравнения (17). По условию функции алгебраически независимы над 2. Значит,

Из равенства

следует, что существует постоянная такая, что

Следовательно,

Докажем, что Предположим, что

Обозначим Так как функция есть решение уравнения (17), то поле замкнуто относительно дифференцирования. По предположению функция а значит, и функция алгебрапчна над полем 24. Имеем

Равенство (19) позволяет применить к функции и полю лемму 1 гл. 7, по которой Но тогда и Пусть

где , многочлены из кольца взаимно простые в совокупности. Обозначим

дифференциальный оператор, связанный с дифференциальным уравнением (17) и действующий в кольце Имеем

Подставляя в дифференциальное уравнение (17) вместо правые части равенств (20) и (21) и пользуясь алгебраической независимостью над функций находим, что в кольце справедливо равенство

из которого следует, что многочлен делит многочлен Кроме того, из равенств (20) имеем

откуда находим, что многочлен делит многочлен Многочлены в совокупности взаимно просты. Поэтому из того, что делит следует, что делит Но Следовательно,

Докажем, что Действительно, в противном случае рассмотрим главный идеал Из тождества (22) следует, что идеал замкнут относительно применения оператора а многочлен очевидно, имеет нетривиальный нуль. Применяя к идеалу лемму 3, находим, что существует нетривиальное решение уравнения (17) такое, что Но это противоречит условию леммы. Следовательно, и можно считать, что

Рассмотрим многочлен

где определено в равенстве (18). Так как решения линейно независимы над С, то из равенства (18) следует, что с поскольку то Имеем

Но это уравнение противоречит алгебраической независимости функций над Полученное противоречие позволяет утверждать, что а это завершает доказательство леммы.

Лемма 5. Пусть каждое из дифференциальных уравнений

удовлетворяет условиям леммы 4, — нетривиальные решения уравнений (23), а функции алгебраически зависимы над 2.

Тогда существуют нетривиальные решения уравнений (23) такие, что функция алгебраична над полем Доказательство. Допустим, что утверждение леммы не выполняется. Тогда для любых нетривиальных решений уравнений (23) функции алгебраически независимы над 2, в частности, функции алгебраически независимы над 2. Существует неприводимый многочлен такой, что

Обозначим

дифференциальный оператор, связанный с дифференциальными уравнениями (23) и действующий в кольце

Так как и выполняется уравнение (24), то по лемме 4 гл. 5 многочлен делится на неприводимый многочлен а частное от деления со т. е.

Обозначим совокупность членов имеющих наибольшую степень по переменным совокупность членов имеющих наибольшую степень по переменным Многочлен однороден по каждой из групп переменных Поскольку оператор переводит каждую совокупность всех однородных членов многочлена по и (а также и по в совокупность таких же членов многочлена или в 0, то из тождества (23) имеем, что

Пусть неприводимый делитель многочлена где взаимно простые многочлены. Пользуясь равенством (26), получим

откуда следует, что многочлен делится на многочлен

поэтому

Заметим, что многочлен однороден по каждой группе переменных

Рассмотрим главный идеал Многочлен неприводим и по условию леммы содержит все четыре переменные Поэтому, очевидно, он имеет нуль, нетривиальный по каждой группе переменных Значит, идеал имеет нуль, нетривиальный каждой из этих групп переменных. Из тождества (27) следует, что замкнут относительно применения оператора Применяя к идеалу однородному по двум группам переменных лемму 3, получим, что существуют нетривиальные решения дифференциальных уравнений такие, что

Дифференцируя тождество (27) по переменной получим

или

По условию леммы существуют функции такие, что Обозначим

и положим Так как то Имеем

Поскольку многочлен однороден по переменным то по теореме Эйлера об однородных функциях многочлен

делится на значит,

Из равенства (29) теперь имеем

Обозначив

аналогично находим

Равенства (30) и (31) означают, что с некоторой постоянной имеет место равенство

Обозначив

из равенства (32) получим, что

Так как то Следовательно, Многочлены имеют различные степени по совокупности переменных Поэтому .

По сделанному в начале доказательства предположению Поэтому из уравнений (28) и (33) следует, что многочлен А делится на неприводимый многочлен Но Следовательно,

Но тождество (34) противоречиво, так как многочлен однороден по переменным а многочлен А этим свойством не обладает. Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения леммы 5.