§ 7. Переход к числовым линейно независимым линейным формам

Лемма Зигель). Пусть совокупность функций (47) аналитических в некоторой области, содержащей точку составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (31) и линейно независима над числа определены равенствами (48) и (49), а числа равенствами (83), (84) и (85). Далее, линейная форма такова, что и при выполняется условие (86),

Тогда матрица

коэффициентов линейных форм

илгеег раиг следовательно, можно выбрать линейно независимых форм.

Доказательство. Поскольку выполнены все условия леммы 9, то имеет место равенство (87). Так как то, если

многочлен имеет при нуль порядка из равенства (87) имеем, что

Рассмотрим линейные формы из (36) с переменными построенные с помощью равенств (35) из формы соотношения (42), которые выполняются тождественно по Применим к обеим частям равенства (42) оператор Воспользовавшись при этом равенствами (35), получим тождественные по соотношения

где есть некоторая линейная форма от переменных с коэффициентами из а все

Повторяя этот процесс раз, аналогично придем к тождественным по соотношениям:

где некоторые линейные формы от с коэффициентами из

По предположению выполняются условия

Положим в тождествах и обозначим Тогда, ввиду равенств (94), они примут вид

Из равенств (95) следует, что переменные представляются как линейные комбинации линейных форм

Ввиду условия (92) отсюда следует, что ранг матрицы (91) равен Лемма доказана.