§ 3. Алгебраические функции нескольких переменных

Пусть обозначает кольцо рациональных функций от регулярных в бесконечности.

На втором этапе установим, что дальнейшее доказательство теоремы 7 можно вести при условии, что для однородного идеала элементы являются целыми алгебраическими над кольцом т. е. каждый элемент удовлетворяет алгебраическому уравнению вида

Обозначим бесконечное нормирование поля , т. е. функцию такую, что для Тогда для всех

Лемма 2. Пусть некоторые элементы кольца а идеал всех алгебраических уравнений между над однороден.

Тогда существуют линейные формы от с коэффициентами из С такие, что есть целое расширение колец.

Напомним, что если - кольца, то называется целым, если каждый элемент является корнем алгебраического уравнения с коэффициентами из и старшим коэффициентом 1. Если являются целыми расширениями колец, то расширение также будет целым.

Доказательство леммы 2. Установим утверяеденпе леммы индукцией по Если положим Тогда доказываемое утверждение, очевидно, выполняется.

Пусть теперь и для колец, порожденных элементами, утверждение справедливо. Существует однородный многочлен такой, что Можно считать, что является неприводимым, где есть наименьшее значение функции на коэффициентах многочлена Обозначим многочлен из для которого Так как многочлен однороден, то и

однороден и, значит, Пусть и таковы, что

Положим Очевидно, что и идеал алгебраических уравнений между над однороден. Докажем, что элемент является целым над кольцом Обозначим

Поскольку то

Следовательно, Положим Коэффициенты многочлена принадлежат кольцу а коэффициент при старшей степени х равен

Так как

то элемент является целым над кольцом значит, есть целое расширение колец.

По индуктивному предположению существуют линейные формы с коэффициентами из С от а значит, и от такие, что есть целое расширение колец. Из доказанного следует утверждение леммы.

По лемме 2 существуют числа такие, что для

кольцо является целым над Обозначим

любую невырожденную матрицу, первые строк которой определены равенствами (10) и рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Матрица коэффициентов которой определена равенством

где есть матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений (9).

Если вектор-столбец из функций то вектор-столбец состоит из функций удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений (11). Действительно,

Функции алгебраически зависимы над причем идеал состоящий из алгебраических уравнений между этими функциями над получается из идеала заменой в многочленах вектора переменных х на вектор Идеал очевидно, однороден, и если где вектор-столбец из элементов то

и кольцо есть целое расширение кольца

Если утверждение теоремы 7 справедливо для системы дифференциальных уравнений то очевидно, что оно будет выполняться и для системы (9). Поэтому в дальнейшем можно считать, что при условиях теоремы 7 идеал однороден, является целым расширением колец. Так как есть алгебраическое расширение, то элементы алгебраически независимы над полем Обозначим алгебраическое замыкание поля

Поле есть алгебраическое расширение поля Каждый элемент поля может быть разложен в ряд по убывающим степеням z с коэффициентами из поля Аналогично, элементы поля разлагаются в ряд по дробным убывающим степеням z, имеющим один и тот же знаменатель Коэффициенты разложений также принадлежат

Заметим, что указанные разложения являются разложениями (3), использованными В. А. Олейниковым. Он доказывал сходимость соответствующих рядов. В рассматриваемом же доказательстве будем оперировать с ними как с формальными рядами. Сформулируем необходимое утверждение в виде следующей леммы.

Лемма 3. Существует число и вложение поля в поле формальных степенных рядов от переменной с коэффициентами из тождественное на и такое, что

Доказательство леммы см. К. Шевалле [72 : 1] (гл. IV, §

В дальнейшем будем считать, что является подполем 2.

Определим на поле функцию положив для каждого а

Так определенную функцию будем называть нормированием поля 2. Она обладает следующими свойствами.

При этом считается, что с естественным выполнением операций с символом

4°. Для каждого

Так как есть кольцо рациональных функций от регулярных в бесконечности, то на нормирование V принимает неотрицательные значения. Если то целый алгебраический элемент над Это значит, что с некоторыми выполняется равенство

Но тогда

Это неравенство возможно, только если Итак, доказано, что V принимает неотрицательные значения на кольце