§ 2. Вспомогательные предложения

Основная идея метода, которым в этой главе доказывается алгебраическая независимость над рассматриваемых функций, содержится в следующей лемме.

Лемма 1. Пусть

степенные ряды с коэффициентами из алгебраического поля удовлетворяющие условиям:

1°. Ряды (16) алгебраически независимы над С.

2°. Для каждого найдется такое, что точные знаменатели чисел содержат некоторый простой идеал в степенях соответственно где

а знаменатели чисел

содержат

Тогда степенных рядов (16) и (17) алгебраически независимы над С.

Доказательство. Допустим, что ряды (16) и (17) алгебраически зависимы над С. Тогда можно считать, что ряды (16) и алгебраически независимы, а ряды (16) и уже алгебраически зависимы над С Значит, существует алгебраическое уравнение

где есть неприводимый многочлен от и переменных, содержащий с коэффициентами из С. По лемме 4 гл. 4 коэффициенты многочлена можно считать числами из нарушая общности доказательства, предположим, что многочлен содержит каждую из переменных так как в противном случае можно вместо функций рассматривать только те из них, которые входят в многочлен занумеровав последние так, чтобы выполнялось условие 2° леммы.

Тогда каждая из частных производных

являющихся многочленами от тех же и переменных, что и многочлен не равна тождественно нулю.

Действительно, если, например, было бы

то тогда многочлен должен был бы делиться на неприводимый многочлен как многочлен от и независимых переменных. Иначе, исключая из двух уравнений (20) и можно было бы получить алгебраическое уравнение, связывающее функции (16) и , над К, вопреки предположению. Но многочлен не может делиться на многочлен так как он не равен тождественно нулю по переменным (16) и и имеет степень по меньшую, чем степень многочлена

Пусть правые части равенств

представляет собой степенные ряды для их левых частей.

Обозначим наименьший из показателей наибольшее из значений индекса при котором

Положим

где есть натуральное число, которое выберем позднее.

По формуле Тейлора имеем

Отсюда, ввиду уравнения (20), получим

Обозначим наибольший из показателей в равенствах (22) и выберем число а следовательно таким, чтобы выполнялось условие 2° леммы.

Тогда из равенств (17) и (24) следует, что у рядов при каждом значении совпадают все первые члены, до членов с Поэтому, ввиду равенств (22), имеем также

Пользуясь равенствами (16), (17), (24), (26), условием (23) и неравенством приравняем в обеих частях равенства (25) коэффициенты при В результате получим равенство

где есть многочлен от величин (19) и с коэффициентами из

Так как многочлен представляет собой коэффициент при в правой части равенства (25), то для каждого его члена сумма произведений первых индексов всех величин (19) и входящих в этот член, на соответствующие степени, в которых они входят в него, всегда равна Но Значит, многочлен представляет собой линейную форму от величин и 1 с коэффициентами — многочленами от величин (19), которые имеют своими коэффициентами числа из . Простой идеал не входит в знаменатели чисел (19), а при входит в знаменатели чисел соответственно, в степенях которые удовлетворяют неравенствам (18). Поэтому в точный знаменатель числа простой идеал может входить только при в степени не выше чем Тогда из равенства (27) следует, что точный знаменатель числа может содержать простой идеал только при в степени не выше чем При этом в точный знаменатель числа простой идеал входит в степени где при выполняется неравенство Значит, числитель числа делится на

По условию 2° леммы, последнее утверждение имеет место для бесконечного множества значений причем простые идеалы соответствующие различным значениям I, различны. Но числитель числа не может делиться на бесконечное множество различных простых идеалов Поэтому равенство (27) противоречиво и лемма доказана.

Лемма 1 не представляет собой наиболее общего предложения об алгебраической независимости степенных рядов, которое можно получить рассматриваемым методом. Ее формулировка приспособлена для доказательства некоторых теорем главы 8. Для установления рассматриваемым методом алгебраической независимости степенных рядов различных типов условия соответствующих лемм, аналогичных лемме 1, могут изменяться. Так, например, в условии 2° можно допускать, что простой идеал входит в точные знаменатели некоторых из коэффициентов (19), но в не очень больших степенях.

Следующая лемма 2 является обобщением леммы 1. Но она также приспособлена для доказательства только некоторых теорем главы 8 и в случае необходимости может быть усилена.

Лемма 2. Пусть все коэффициенты степенных рядов (16) и (17) принадлежат алгебраическому полю К и удовлетворяют условию 1° леммы 1, а также следующему условию.

2°. Для каждого найдется такое, что точные знаменатели чисел содержат некоторый простой идеал из поля К в степенях, соответственно, где последние удовлетворяют неравенствам (18), а знаменатели чисел

не содержат

Далее, может входить в точные знаменатели чисел

в степенях, меньших чем а в точные знаменатели чисел

в степенях, меньших чем

Тогда степенных рядов алгебраически независимы над полем С.

Доказательство. Сначала повторим все рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 1 до равенства (27). Из условия 2° следует, что для каждого существует бесконечное множество чисел которым соответствуют различные простые идеалы удовлетворяющие всем требованиям условия 2°. Поэтому выберем число I так, чтобы оно удовлетворяло условию 2° и неравенствам Для дальнейшего заметим, что такой выбор I можно осуществлять бесконечным множеством способов, причем различным I будут соответствовать различные идеалы Тогда

При доказательстве леммы 1 было установлено, что А в равенстве (27) является многочленом от величин (19) и с коэффициентами из и обладает тем свойством, что для любого члена этого многочлена сумма произведении первых индексов всех величин (19) и входящих в этот член, на соответствующие степени, в которых они входят в него, всегда равна

Рассмотрим как многочлен от величин (29), (30) и с коэффициентами — многочленами от величин (28). Первый индекс каждой из величин (29), (30) и не меньше чем значит, не меньше чем 2 у.

Поэтому имеет степень по совокупности величин (29), (30) и не выше второй. Действительно, в противном случае сумма произведений первых индексов этих величин, входящих в члены степени, выше чем второй, на соответствующие степени, в которых они входят в эти члены, была бы не меньше, чем а это больше, чем так как

Аналогично убеждаемся в том, что величины (30) и могут входить только в члены первой степени по совокупности величин (29), (30) и многочлена ввиду того, что их первые индексы не меньше чем Действительно, если бы эти величины входили в члены второй степени то в последних сумма произведений первых индексов величин (30) и на соответствующие степени, в которых они входят в них, была бы не меньше чем а это снова больше чем

Из доказанного и условия 2° следует, что в точные знаменатели членов второй степени простой идеал может входить только в степени меньшей чем а в члены первой степени только при в степени не выше чем Это означает, что в точный знаменатель числа простой идеал может входить при в степени меньшей, чем а при в степени не выше чем

Далее, рассуждая, как в конце доказательства леммы 1, придем к противоречию и завершим доказательство леммы.

Заметим, что если в леммах 1 и 2 предполагать степенные ряды (16) и (17) имеющими рациональные коэффициенты, то в их формулировках простые идеалы можно заменить на простые числа . В дальнейшем в теоремах леммы 1 и 2 будут применяться только к функциям, степенные ряды которых имеют рациональные коэффициенты. Исключение составляет лишь теорема 9.