§ 2. Уточнение основных лемм метода

Пусть

совокупность аналитических функций, составляющая решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1), произвольное решение этой системы, а

любая линейная форма от Как и в § 4 гл. 3 определим линейные формы

где и рассмотрим определитель, составленный из коэффициентов первых форм (11):

Покажем, что если функции (9) образуют неприводимую систему функций, а линейная форма при имеет большой порядок нуля в точке как в лемме 9 гл. 3, то число определяющее значения при которых находится эффективно.

Предположим, что в линейной форме хотя бы один из многочленов отличен от нуля. Может оказаться, что в

определителе некоторые столбцы будут иметь все элементы равные нулю. Нумерация функций (9) в распоряжении, поэтому будем считать, что в каждом столбце с номерами имеется хотя бы один элемент, отличный от нуля, а столбцы с номерами если состоит только из нулей. Тогда линейные формы примут вид

Рассмотрим определитель линейных форм Можно считать, что в этом определителе теперь в каждом столбце имеется хотя бы один элемент, отличный от нуля, так как в лротивном случае, несколько раз повторяя предыдущее рассуждение, придем к такой системе линейных форм, но с меньшим значением

Лемма 1. Пусть совокупность аналитических функций (9) составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1) и образует неприводимую систему функций, а линейная форма такова, что в ней хотя бы один из многочленов отличен от нуля.

Тогда определитель системы линейных форм не равен тождественно нулю по

Доказательство. Допустим, что Следовательно, линейные формы (13) будут линейно зависимы. Пусть их ранг равен Тогда По лемме 7 гл. 3 существует фундаментальная система решений системы дифференциальных уравнений (1)

такая, что все формы обращаются в нуль при подстановке в них первых решений (14). Итак,

В определителе в каждом столбце имеется хотя бы один элемент, отличный от нуля. Поэтому для каждого среди линейных форм найдется хотя бы одна форма с номером такая, что Но функции (9) образуют неприводимую систему функций. Поэтому из равенств (15) следует, что Поскольку последнее лмеет место при каждом то

Равенство (16) означает, что в матрице фундаментальной системы решений (14) в левом верхнем углу расположен

прямоугольный ящик строками и столбцами, все элементы которого равны нулю. Так как выполняются неравенства Поэтому по теореме Лапласа определитель, составленный из элементов матрицы решений (14) порядка равен тождественно нулю. Но для определителя фундаментальной системы решений системы линейных однородных дифференциальных уравнений это невозможно. Полученное противоречие доказывает утверждение леммы.

Напомним обозначения:

где определено в лемме 8 гл. 3,

Лемма 2. Пусть совокупность функций (9), аналитических некоторой области, содержащей точку составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1) и линейно независима над Далее,

— любая линейная форма от функций (9) такая, что

Тогда: 1) при любом линейные формы получающиеся из формы линейно независимы и определитель форм (11) имеет вид

2) если, кроме того, функции (9) образуют неприводимую систему функций, то

Доказательство. Первое утверждение представляет собой утверждение леммы 9 гл. 3. Докажем второе утверждение леммы 2.

Пусть для линейной формы числа имеют тот же смысл, что и в лемме 1. Рассмотрим линейные формы

при и их определитель По лемме Обозначим

Дальнейшее доказательство проходит повторением доказательства леммы 9 гл. 3, с заменой на В результате получим, что а тогда выполняются равенства (23) и (24).

Лемма 3. Пусть совокупность функций (9) аналитических в некоторой области, содержащей точку составляет решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1) и линейно независима над (составляет неприводимую систему функций), числа определены равенствами (17), число равенством (18) (равенством числа равенствами (19) и (20). Далее, линейная форма такова, что и выполняется условие (22), а Тогда матрица

коэффициентов линейных форм

имеет ранг следовательно, из можно выбрать линейно независимых.

Лемма 3 является переформулировкой леммы 10 гл. 3, которая справедлива в каждом из двух случаях леммы 2.

Лемма 4. Пусть неубывающая функция от Тогда существуют многочленов

со следующими свойствами:

2) линейная форма

такова, что

3) коэффициенты формы (28) удовлетворяют условию

Доказательство. Обозначим

где будут выбраны из Тогда

Представив рассматриваемые КЕ-функции в виде (3), положим

где

так как при Тогда из равенств (28) и (32) находим

После умножения обеих частей равенств (34) на последовательность (4), удовлетворяющая условиям (5), ввиду условия (29) и равенства (33) получаем линейных однородных уравнений для определения неопределенных коэффициентов

Так как в уравнениях то, ввиду равенств (7),

Применяя к системе уравнений (35) лемму 13 гл. 3 с ,

ввиду неравенства

получим не все равные нулю и, в соответствии с неравенством (3.109), такие, что

Из равенств (31) и неравенств (36) получаем оценки (27), а из равенств (33), (34) и неравенства (36) оценки (30). Лемма доказана.

Положим в лемме где где приближающая форма построена в лемме 4. Так как то коэффициенты всех линейных форм будут принадлежать По лемме 3 при любом числовые линейные приближающие формы будут иметь, ранг Следующая лемма, доказываемая аналогично лемме 15 гл. 3, позволяет оценить

Лемма 5. Пусть функции составляют решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1) и линейно независимы над . Пусть, далее, линейная форма сконструирована по лемме 4 при некотором значении

и выброшенном ниже , а число определено равенством (20)

Тогда существуют постоянные и такие, что для любого значения к, удовлетворяющего неравенству к выполняются неравенства

причем оценка (39) сохранится, если все коэффициенты степенного ряда и число заменить на сопряженные из поля сопряженного полю

Доказательство. Пользуясь обозначениями леммы 15 гл. 3, имеем

где числа определены в § 1.

Повторяя рассуждения леммы 15 гл. 3, и пользуясь равенством (3.37) по индукции получаем следующие утверждения:

причем соотношения (40) и (41) останутся справедливыми, если коэффициенты многочлена и степенного ряда заменить их сопряженными из любого поля

По условию выполняется неравенство (37). Предположим, что таковы, что

Тогда, пользуясь равенством (20), находим

Теперь из соотношения (40) и неравенства (43) следует, что

Далее, ввиду неравенств (43) и (30), имеем

где определено равенством (29). Отсюда получаем

Из соотношения (41) и неравенства (43) находим

Приравнивая в правой части неравенства (44) члены в показателе, положим

Так как по предположению то должно удовлетворять условию которое имеет место ввиду неравенств (37). Тогда

так как Это означает, что условие (42) выполнено.

Подставляя значение со (47) в оценки (44) и (46), получим утверждения леммы (38) и (39).

Лемма 6. Пусть совокупность КЕ-функций является решением системы линейных однородных дифференциальных уравнений (1) и линейно независима над (образует неприводимую систему функций), а

Тогда существуют постоянные такие, что при любом где определено равенством (18) (равенством (24)), существует совокупность линейно независимых линейных форм от чисел

таких, что

причем оценка (50) сохраняется, если в линейной форме (48) заменить все числа коэффициенты степенных рядов всех функций и число на сопряженные из любого поля сопряженного полю

Доказательство. Лемма доказывается с помощью леммы 5 (оценок (38) и аналогично тому, как с помощью леммы 15 гл. 3 была доказана лемма 16 гл. 3. При этом надо только заметить, что из равенств (17), (19) и (20) следуют оценки

и если выбрать так, что