Глава 6. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ЗНАЧЕНИИ Е-ФУНКЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 1. Общая теорема об алгебраической независимости значений Е-функции и ее производной

Рассмотрим трансцендентную Е-функцию являющуюся решением линейного дифференциального уравнения

Если не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению первого порядка с коэффициентами из то по теореме 3 гл. 3 числа алгебраически независимы при любом

Если же удовлетворяет алгебраическому дифференциальному уравнению такого типа, то по теореме 1 гл. 4, при любом хотя бы одно из чисел или трансцендентно. Но одно из этих чисел может оказаться алгебраическим.

Например, функция является решением уравнения которое не имеет особых точек. Ее производная . В точке имеем, что а в точке аналогично,

В рассмотренном примере функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого порядка имеющему особую точку а точка есть нуль коэффициента при у в этом уравнении.

Весьма вероятной представляется следующая гипотеза: Если трансцендентная Е-функция является решением дифференциального уравнения второго порядка (1) и не удовлетворяет никакому линейному дифференциальному уравнению первого порядка с коэффициентами из то числа трансцендентны при любом

Следующее утверждение позволяет установить общую теорему о трансцендентности значений в алгебраических точках Е-функции являющейся решением дифференциального уравнения (1).

Лемма 1. Пусть трансцендентная аналитическая функция является решением линейного дифференциального уравнения второго порядка (1) и удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка

где неприводимый многочлен степени к по у и

Тогда в многочлен входит член

Доказательство. Пусть

— дифференциальный оператор, связанный с дифференциальным уравнением (1). Тогда и по следствию из леммы 4 гл. 5 существует функция такая, что выполняется тождество

Из тождества (5) следует, что либо либо в многочлены входят с отличными от нуля коэффициентами одни и те же члены с произведениями степеней .

Пусть

— старший член в лексикографическом расположении по степеням совокупности однородных членов наибольшей степени к в многочлене Если то утверждение леммы справедливо. Если же то из вида дифференциального оператора (4) следует, что старшим членом в совокупности однородных членов степени к в многочлене будет член

порядок которого выше, чем у члена (6). Значит,

Но было показано, что тогда многочлены содержат одинаковые члены с произведениями степеней у и Поэтому член (7) не может входить в Полученное противоречие показывает, что всегда а старший член многочлена имеет Лемма доказана.

Заметим, что лемма 1 останется справедливой, если в ее условии рассматривать дифференциальное уравнение (1) с коэффициентами из некоторого поля аналитических функций замкнутого по отношению к операции дифференцирования, а многочлен

Теорема 1. Пусть трансцендентная Е-функция является решением линейного дифференциального уравнения второго порядка (1) и удовлетворяет алгебраическому дифференциальному уравнению первого порядка (2), а где -коэффициент при старшем члене в многочлене который по лемме 1 имеет вид (3).

Тогда число трансцендентно.

Теорема 1 следует из теоремы 5 гл. 4 при и леммы 1.

Простейшим примером применения теоремы 1 снова являются функции

При условии теоремы 1 нерешенным остается вопрос об арифметических свойствах чисел в точках таких, что когда