§ 7. Завершение доказательства теоремы 7

Докажем утверждение 1° теоремы 7. В лемме 11 для каждого доказано существование матрицы со свойствами (24), (25) и (26).

Если где имеется в виду, что каждый элемент матрицы есть предел в последовательности соответствующих элементов матриц то т. е. где — матрица, элементы которой являются степенными рядами от с комплексными коэффициентами. Отсюда ввиду линейной независимости форм (34) имеем, что к

где степенные ряды от

Пусть — сумма первых членов ряда для (считая формально, что разложения всех начинаются с нулевой степени Тогда

Пользуясь неравенством (17), отсюда находим, что

и, устремляя к бесконечности, получаем

Элементы алгебраичны над полем значит, также алгебраичны над этим полем. Поскольку алгебраически независимы над С и

(это доказывается так же, как и равенство (36)), то получаем, что алгебраичны над полем

Обозначим буквой подполе полученное присоединением к элементов Тогда алгебраическое расширение конечной степени. Пусть также

и дифференциальный оператор, определенный в доказательстве леммы 1. Из (13) и равенств находим Полученные равенства, в силу алгебраической независимости элементов над означают, что линейные формы линейно выражаются через формы с коэффициентами из поля То есть существуют для которых

Из этих равенств и (9.15) следует, что для любого решения системы уравнений (9) совокупность функций составляет решение системы дифференциальных уравнений

Таким образом получается линейное отображение из -мерного пространства решений системы (9) в -мерное пространство решений системы (37). Ядро этого отображения имеет размерность, не меньшую чем Это означает, что существуют к линейно независимых над С решений

системы дифференциальных уравнений (9) таких, что

Положив получим решение системы (9) с компонентами, линейно зависимыми над Утверждение 1° теоремы 7 доказано. Теперь докажем утверждение 2°.

При фиксированном равенства (38) можно рассматривать как систему к линейных уравнений относительно к величин Так как решения линейно независимы над С, то ранг матрицы

равен к. Из равенств (38) теперь следует, что

и, значит, каждая из функций представляется в виде отношения двух определителей, элементами которых являются функции

Если коэффициенты системы дифференциальных уравнений (9) не имеют полюсов в области то функции аналитичны в окрестности каждой конечной точки, отличной от Из найденного представления для функций теперь следует, что они не имеют точек ветвления во всей конечной плоскости, кроме быть может точки В доказательстве утверждения 1° было установлено, что функции однозначны в окрестности точки алгебраическая функция не может иметь только одну точку ветвления в расширенной комплексной плоскости. Следовательно, точка также не являемся точкой ветвления функций и поэтому все являются рациональными функциями. Это доказывает утверждение 2°.

Отметим следствие из доказательства теоремы 7: Если при условии теоремы 7 среди функций составляющих решение системы (9), имеется к алгебраически независимых над функций, то в решении содержится не более к линейно независимых функций, в первом случае над полем а во втором случае над полем

Докажем теперь теорему 2. Положим и представим дифференциальное уравнение (4) в виде эквивалентной ему системы дифференциальных уравнений

Применим к этой системе теорему 7. Имеем

где — значение функции при Так как в чем легко убедиться, разложив определитель матрицы по элементам первого столбца, то корнями характеристического многочлена матрицы А являются числа

где у есть фиксированное значение корня степени из числа Поскольку есть простое число, то многочлен неприводим. Отсюда следует, что матрица А удовлетворяет условию теоремы 7. Поэтому теорема 2 следует из теоремы 7.