§ 5. Решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений

Рассмотрим функции, удовлетворяющие линейным неоднородным дифференциальным уравнениям второго порядка:

— решение уравнения

и

— решение уравнения

При рациональных значениях параметров они являются гипергеометрическими Е-функциями.

Относительно этих функций докажем следующие теоремы. Теорема 6. Если то числа алгебраически независимы.

Теорема 7. Если то числа илгеораически независимы.

При помощи нижеследующей леммы доказательство алгебраической независимости над рассматриваемых в теоремах 6 и 7 функций, сводится к аналогичной задаче для решений соответствующих линейных однородных дифференциальных уравнений, которая была рассмотрена в § 3 и 4.

Пусть — некоторое поле аналитических функций, замкнутое относительно операции дифференцирования.

Лемма 9. Пусть система из линейных (неоднородных или однородных) дифференциальных уравнений

имеет решение такое, что функции алгебраически независимы над полем но

где неприводимый многочлен. Далее, совокупность однородных членов многочлена старшей степени по

Тогда существует нетривиальное решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений

соответствующей системе (82), такое, что

Доказательство. Обозначим

— дифференциальный оператор, связанный с системой (84), дифференциальный оператор, связанный с системой (82),

Пусть сначала независимые переменные. Условия леммы 9 при применении оператора к многочлену (83) позволяют воспользоваться леммой 4 гл. 5, по которой существует функция такая, что

Обозначим совокупность однородных членов степени по входящих в Тогда из тождества (88)

получаем

Из равенств (86) и (87) следует, что при переходе от многочлена к многочленам и у последних совокупности однородных членов старшей степени образуются одинаково. Поэтому а тогда из тождества (89) имеем

Пусть теперь произвольное решение системы дифференциальных уравнений (84). Тогда из тождества (90) следует, что

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Его общее решение есть где с — постоянная, а какое-то частное решение, Тогда из равенств (91) получаем, что функция есть решение дифференциального уравнения (92) при любом решении системы (84). Пусть любые два фиксированных линейно независимых решения системы (84). Тогда где произвольные постоянные, также есть решение этой системы. Поэтому

где — однородный многочлен степени с коэффициентами из С. Ввиду этого можно выбрать и одновременно не равными нулю так, что Тогда обозначая соответствующее решение из равенства (93) получаем уравнение (85). Лемма доказана. Лемма 10. Пусть дифференциальное уравнение

(неоднородное или однородное) имеет решение не удовлетворяющее никакому алгебраическому дифференциальному уравнению порядка меньшего чем с коэффициентами из в случае неоднородности уравнения не является алгебраической функцией над но

где неприводимый многочлен, а

совокупностъ однородных членов многочлена старшей степени по

Тогда существует решение у линейного однородного дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (94), такое, что

В частности, таково, что его логарифмическая производная есть алгебраическая функция над

Доказательство. Если при в однородном случае является алгебраической функцией, то утверждение леммы очевидно. В противном случае оно есть следствие леммы 9.

Доказательство теоремы 6. Рассмотрим функцию удовлетворяющую дифференциальному уравнению

Так как - целая функция, то неалгебраическая функция. Если допустить, что удовлетворяет алгебраическому дифференциальному уравнению первого порядка, то по лемме 10 при получаем, что однородное дифференциальное уравнение, соответствующее уравнению (95), имеет решение логарифмическая производная которого является алгебраической функцией. Но это противоречит лемме 3. Следовательно, алгебраически независимы над Тогда по лемме 8 гл. 5 и функции алгебраически независимы над

Применяя теорему 3 гл. 3, получаем утверждение теоремы 6.

Доказательство теоремы 7. Рассматривая функцию убеждаемся, что она есть решение дифференциального уравнения

и при не является алгебраической функцией. Дальнейшее доказательство повторяет доказательство теоремы 6, но с использованием уравнения (96) и леммы 7.

Заметим, что теорема 7 справедлива и когда или Этот случай требует особого рассмотрения, как и в теореме 5. Опуская доказательство, укажем только, что оно проводится аналогично соответствующему случаю теоремы 5, с использованием теоремы 2 работы

В 1970 г. И. И. Белогривов [1:3] и В. А. Олейников [20:7], как частный случай более общих теорем, независимо и различными методами установили следующую окончательную и более общую теорему, чем теорема 6.

Теорема 8. Если не совпадают ни с одной парой чисел то числа алгебраически независимы.

Эта теорема является частным случаем теоремы 5, доказанной в гл. 10.

Замечания

Лемма 1 и теорема 1 доказаны в 1960 г. в статье Представляет интерес выяснить, справедливо ли обобщение леммы 1 на случай Е-функции, удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами из порядка и алгебраическому дифференциальному уравнению с коэффициентами из порядка но не удовлетворяющей алгебраическому дифференциальному уравнению того же типа порядка меньшего чем Попытка доказать это утверждение в статье [28 : 11] содержит ошибку.

Теорема 2, а также леммы 2 и 3 доказаны в статье К. Зигеля [73 : 3] и содержатся в его монографии [73 : 4]. Приведенное доказательство леммы 3 во второй части отличается от доказательства Зигеля. Теорема 3 следует из известных свойств функций Бесселя и теоремы Линдемана. В книге приводится вариант доказательства, близкий по идее к доказательству леммы 3.

К. Зигель в статье [73 :3] высказал без доказательства теорему более общую, чем теорема 4. Теорема 4 при содержится также в более общей теореме, опубликованной в 1959 г. в работе [28:10].

Теорема 5 доказана в 1962 г. в статье В. А. Олейникова [20:1]. Доказательство леммы 7 проводится в книге аналогично доказательству леммы 3.

Теорема 6 первоначально была доказана в 1954 г. [28 : 1, 9]. Доказательство было довольно длинным и сложным. Лемма 9 установлена в 1966 г. в статье Из этой леммы теоремы 6 и 7 следуют совсем просто. Доказательство леммы 10 содержится в книге ].

Заметим, что И. Якабе в 1959 г. [90:1] рассмотрел функции Куммера (60) и, пользуясь работой К. Зигеля, показал, что если то хотя бы одно из чисел трансцендентно.