В предыдущих шести разделах мы рассматривали явление, которое встречается при некоторых нелинейных взаимодействиях. Свойства секанса гиперболического придавали уединенной волне характер, весьма отличающий ее от линейных гармонических волн. Эта разница определяется не только тем, что уединенная волна представляет собой неосциллирующее волновое движение, но также и тем, что ее скорость зависит от амплитуды. Совершенно иная ситуация наблюдается в случае линейных волн, для которых скорость всегда независима от амплитуды. Мы предполагаем, что читатель знаком с линейными волнами, но для полноты всетаки изложим здесь некоторые основные принципы.

Для линейной системы самой простой линейной волной является гармоническая:
\[
\varphi(x, t)=A \exp [i(k x-\omega t)] .
\]

Здесь $k$ – волновое число, связанное с длиной волны соотношением $k=2 \pi / \lambda$, а $A$ – амплитуда, не зависящая от $k$. Требование, чтобы $\varphi(x, t)$ удовлетворяла линейному волновому уравнению, приводит к функциональной зависимости между $k$ и
\[
\mathscr{L}(k, \omega)=0,
\]

которая называется дисперсионным соотношением. Это самая важная характеристика любой линейной системы, так как она отрӓжает форму линейного дифференциального уравнения, решением которого служит функция $\varphi(x, t)$. Так, например, линейное уравнение Клейна–Гордона
\[
\varphi_{x x}-\varphi_{t t}=m^{2} \varphi
\]

имеет дисперсионное соотношение
\[
\omega^{2}=m^{2}+k^{2} .
\]

Фазовая скорость определяется формулой
\[
c_{p}=\omega / k
\]

и описывает, как движется поверхность постоянной фазы. Гораздо важнее понятие групповой скорости, которая определяется формулой
\[
c_{\boldsymbol{g}}=d \omega / d k
\]

и дает численную меру скорости распространения пакета волн. У данной линейной системы может быть несколько групповых скоростей, соответствующих разным решениям или модам уравнения (1.7.2). Мы сейчас разбирали одномерный случай, когда волновое число $k$ представляло собой скаляр, но в многомерном пространстве волновое число – это вектор $\mathbf{k}$. При этом фазовая скорость остается скаляром, $c_{p}=\omega /|\mathbf{k}|$, в то время как групповая скорость становится вектором: $\mathbf{c}_{g}=d \omega / d \mathbf{k}$.

Слово дисперсия означает следующее: для чисто вещественного значения $\omega$ волны, относящиеся к различным волновым числам $k$, имеют разные фазовые и групповые скорости, и поэтому компоненты волн в процессе распространения расползаются и диспергируют. Для того, чтобы это происходило, $c_{p}$ и $c_{g}$ должны зависеть от $k$. Это требование выполняется, если в уравнении (1.7.3) $m
eq 0$, и не выполняется, если $m=0$. Мы все время предполагаем, что волны распространяются в неограниченной однородной среде. Если $\omega(k)$ – комплексная функция
\[
\omega=\omega_{R}+i \omega_{I},
\]

Гл. 1. Уединенные волны и солитоны
то гармонические волновые решения (1.7.1) при $\omega_{I}>0$ растут экспоненциально и неустойчивы, а при $\omega_{I}<0$ экспоненциально убывают. В последнем случае говорят, что уравнение имеет диссипативный характер, поскольку амплитуда волны убывает как $\exp \left(-\left|\omega_{I}\right| t\right)$ при $t \rightarrow \infty$. Несколько более сложная ситуация возникает в том случае, если линейное уравнение, моделирующее физическую систему, содержит параметр (например, число Рэлея), значение которого можно менять. Рассмотрим уравнение
\[
\mathscr{L}\left(\frac{\partial}{\partial t} ; \frac{\partial}{\partial x} ; u\right) \varphi=0 .
\]

Здесь $\mathscr{L}$ – линейный оператор, $u$ – параметр, и дисперсионное соотношение имеет вид $\mathscr{L}(-i \omega, i k, u)=0$. Если $\omega_{I}>0$ для одних значений $u$, а для других $\omega_{I}<0$, то можно рассмотреть соотношение между $u$ и $k$
\[
u=u(k),
\]

определяемое условием $\omega_{I}=0$, соответствующим границе устойчивости. Для тех значений $u$, которые находятся с одной стороны от кривой (1.7.9), где $\omega_{I}>0$, волны неустойчивы, с другой же стороны, где $\omega_{I}<0$, волны устойчивы. Величина $\omega_{I}$ равна нулю только на кривой (1.7.9), и система называется в этом случае нейтрально устойчивой. Кривая (1.7.9) называется нейтральной кривой, поскольку она является границей между областью устойчивости и областью неустойчивости. Многие физические системы не имеют нейтральной кривой, но у некоторых важных систем такие кривые есть, и мы вернемся к этому понятию в гл. 9. В этой же главе мы рассмотрим, в частности, случай, когда в дисперсионном соотношении появляется пара комплексно сопряженных корней.

Изложенные выше идеи и определения можно проиллюстрировать следующим примером. Рассмотрим уравнение
\[
\varphi_{t}=\delta \varphi_{x x} .
\]

Если $\delta=-i$, то уравнение (1.7.10) имеет вид
\[
i \varphi_{t}=\varphi_{x x}
\]

и представляет собой линеаризованный вариант уравнения Шрёдингера, упомянутого нами в предыдущем разделе. Это чисто дисперсионное уравнение, так как $\omega=-k^{2} ; c_{p}=-k$ и $c_{g}=-2 k$. Однако если $\delta$ вещественно и положительно, (1.7.10) оказывается тепловым или диффузионным уравнением, которое чисто диссипативно, так как $\omega=-i \delta k^{2}$. Вещественная часть $\omega$ в данном случае равна нулю, поэтому никакой дисперсии не происходит и волны затухают как $\exp \left(-\delta k^{2} t\right)$ при $t \rightarrow \infty$. Уравнение (1.7.10)удобный пример, который мы используем при обсуждении задач с начальными условиями.

Если начальные условия заданы в виде $\varphi(x, 0)=f(x)$, мы хотим вычислить $\varphi(x, t)$ для всех $t$. Даже если начальные условия не имеют формы гармоники, как в (1.7.1), представим их в виде интеграла Фурье:
\[
\varphi(x, 0)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} A(k) e^{i k x} d x
\]

где
\[
A(k)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} A(k) e^{i[k x-\omega(k) t]} d k .
\]

Для линейной системы общего вида, как было указано выше, $\omega=\omega(k)$, и поэтому решение для всех $t \geqslant 0$ вычисляется по формуле
\[
\varphi(x, t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} A(k) e^{i[k x-\omega(k) t]} d k .
\]

Поскольку функция $A(k)$, по крайней мере в принципе, известна, т. е. может быть восстановлена по начальным данным $\varphi(x, 0)$ формулой (1.7.13), решение для всех $t$ может быть найдено по формуле (1.7.14). На практике ни один из приведенных выше интегралов не может быть выражен в элементарных функциях даже в тех случаях, когда о есть многочлен по $k$, за исключением некоторых специальных случаев. Однако интегральное представление (1.7.14) может быть использовано для получения аппроксимации с помощью метода перевала.

Уравнение $\varphi_{t}=\delta \varphi_{x x}$ как раз такое, что оно допускает аналитическое исследование, и потому будет использовано нами как пример. В этом случае функция $\varphi(x, t)$ определяется формулой
\[
\varphi(x, t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} d k\left[\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(\xi, 0) e^{-i k \xi} d \xi\right] \exp \left[i\left(k x+i \delta k^{2} t\right)\right] .
\]

В предположении, что можно поменять порядок интегрирования в (1.7.15), получаем
\[
\varphi(x, t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{i\left[(x-\xi) k-\delta k^{2} t\right]\right\} d k\right] \varphi(\xi, 0) d \xi .
\]

После замены $\eta=(x-\xi)$ интеграл (1.7.16) сводится к вычислению двух интегралов:
\[
\begin{array}{l}
I_{1}=\int_{-\infty}^{\infty} \cos (k \eta) e^{-\delta k^{2} t} d k, \\
I_{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \sin (k \eta) e^{-\delta k^{2} t} d k,
\end{array}
\]

Подынтегральная функция в $I_{2}$ нечетна, и поэтому $I_{2}=0$. Интеграл $I_{1}$ может быть вычислен с помощью простого приема. Сначала положим $\lambda^{2}=\delta k^{2} t$ и $a=\eta / \sqrt{\delta t}$, так что
\[
I_{1}(a)=\frac{1}{\sqrt{\delta t}} \int_{-\infty}^{\infty} \cos (a \lambda) \mathrm{e}^{-\lambda^{2}} d \lambda .
\]

Дифференцируя обе части по $a$ и интегрируя по частям, получаем из (1.7.19) простые соотношения:
\[
\frac{d I_{1}}{d a}=-\frac{1}{2} a I_{1} ; \quad I_{1}(0)=\sqrt{\frac{\pi}{\delta t}},
\]

и, следовательно,
\[
I_{1}=\sqrt{\frac{\pi}{\delta t}} \exp \left(-\frac{1}{4} a^{2}\right) .
\]

Здесь мы использовали известную формулу
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\lambda^{2}} d \lambda=\sqrt{\pi}
\]

Окончательно получаем выражение для $\varphi(x, t)$ :
\[
\varphi(x, t)=(4 \pi \delta t)^{-1 / 2} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi(\xi, 0) \exp \left[-\frac{(x-\xi)^{2}}{4 \delta t}\right] d \xi .
\]

Для произвольных начальных данных функция $\varphi(x, t)$ по формуле (1.7.23) может быть вычислена только приближенно методом перевала (Джеффри и Джеффри [1946]), который особенно удобен в тех случаях, когда $\delta$ вещественно и мало. Описание этой техники можно найти в книге Уизема [1974]. Одним из классов начальных условий, при которых интеграл может быть вычислен, являются гауссовы функции $\varphi(x, 0)=A \exp \left(-\alpha x^{2}\right)$. В этом случае
\[
\varphi(x, t)=\frac{A}{(1+4 \pi \alpha \delta t)^{1 / 2}} \exp \left[\frac{-\alpha x^{2}}{1+4 \pi \delta t}\right] .
\]

Если $\delta$ вещественно и положительно, то $\varphi \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$, как и следовало ожидать от решения диссипативного уравнения. Соответствующий график дан на рис. 1.8.

Однако если $\delta=-i$, то $\varphi$ я вляется осциллирующей функцией. На рис. 1.9 видно, как гауссовы начальные условия начинают диспергировать. Эти рисунки демонстрируют фундаментальное различие между дисперсией и диссипацией.

Рис. 1.8. Затухание начальных данных, имеющих форму кривой Гаусса $(\delta=1)$.
В уединенной волне проявляются как дисперсионные, так и нелинейные эффекты. Между нелинейными уединенными волнами и линейными гармоническими волнами существует связующее звено. Это осциллирующие решения уравнения КдФ, которые нелинейны в том смысле, что их амплитуда зависит от скорости. Такой класс решений можно получить, если три интегрирования в (1.2.2) выполнять без наложения граничных условий, которые приводят к решению типа солитона. Если использовать эллиптические интегралы (Берд и Фридман [1971]), то окончательный результат выражается в терминах эллиптической функции Якоби:
\[
u=\frac{1}{4} a^{2} \operatorname{cn}^{2}\left[\frac{1}{2} \theta, K\right] .
\]

Модуль эллиптической функции $К$ зависит от значений функции $u$ и ее производных на бесконечности. В пределе, когда функция $u$

и ее производные стремятся к нулю на бесконечности, $K \rightarrow 1$ и
\[
\operatorname{cn}\left(\frac{1}{2} \theta ; K\right) \rightarrow \operatorname{sech} \frac{1}{2} \theta, K \rightarrow 1 .
\]

Для волн с малой амплитудой, когда может быть использована линеаризация уравнения КдФ, К будет стремиться к нулю, и в пределе
\[
\operatorname{cn}\left(\frac{1}{2} \theta ; K\right) \rightarrow \cos \frac{1}{2} \theta, \quad K \rightarrow 0 .
\]

Рис. 1.9. Расплывание начальных данных, имеющих форму кривой Гаусса $(\delta=-i)$.

Эти нелинейные осциллирующие решения называются кноидальными волнами, и они образуют мост между чисто линейными колебаниями и уединенными волнами.