Главная > СОЛИТОНЫ и нелинейные волновые уравнения (Р Додд, Дх:Эйлбек, Дж.Гиббон, Х.Моррис)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

В этом разделе мы рассмотрим спектральную теорию самосопряженного оператора L в пространстве L2(R). Первой нашей целью будет получение разложения единицы для оператора L. Оно определяет спектральное семейство для оператора L, т. e.

семейство операторов проектирования в пространстве L2(R), таких что произвольный элемент пространства L2(R) имеет единственное разложение в сумму элементов подпространств, определяемых спектральным семейством. Мы обсудим вкратце связь с анализом Фурье и разложением произвольного элемента пространства L2(R) по обобщенному порождающему базису или обобщенным собственным функциям. Везде в этом разделе, если не оговорено противное, предполагается, что |Q(v)|(1+v2)dv< <.

Метод, который мы используем для получения разложения единицы, начинается с резольвентного оператора λR оператора L. Некоторые элементы базиса не принадлежат пространству L2(R), а именно это те собственные функции, которые ассоциированы с непрерывным спектром оператора L. Однако их можно включить в формализм гильбертова пространства путем введения однозначно определенной матричной функции спектрального разложения F(k) оператора L. Нахождение F(k) эквивалентно определению данных рассеяния S±для оператора L. Мы выведем важный результат, что F(k) однозначно определяется по S±, и наоборот. Этим на самом деле завершается прямая задача рассеяния, т. е. определение S±(t0) вместе с ее свойствами по начальным данным Q(x,t0).

Мы определим также скалярную спектральную функцию σ(k), для которой введем гильбертово пространство L22(σ,R) комплексных функций со значениями в C2, квадратично интегрируемых на R по отношению к мере σ. Мы покажем, что существует изометрическое отображение пространства L2(R) на пространство L22(σ,R), и наоборот, при котором оператор L преобразуется в оператор τ, осуществляющий умножение элементов пространства L22(σ,R) на λ=k2.

Затем мы разовьем общую теорию возмущения операторов, и при ее помощи оператор L будет получен из фиксированного оператора L0 применением сплетающего оператора. В этом разделе это используется для того, чтобы дать теоретико-операторную интерпретацию матрицы рассеяния и ввести операторы преобразования, что послужит подготовкой к гл. 4.

Развитая здесь общая теория будет снова использоваться в разд. 3.5 для определения другого метода получения временно́й эволюции данных рассеяния.

Если число λ не является собственным значением оператора L, то оператор λR=(LλI)1 существует и называется резольвентой оператора L. Число λ принадлежит резольвентному множеству или непрерывному спектру оператора L в зависимости от того, является ли оператор λR ограниченным или неограниченным на своей области определения.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений ядро A1 оператора A1, обратного к линейному дифференциальному оператору A, определенному на пространстве L2(R), называется функцией Грина. Так, если
Au=f,

To
(A1f)(x)=A1(x,y)f(y)dy.

Для того чтобы (3.4.1) и (3.4.2) были согласованы между собой, требуется, чтобы
AA1(x,y)=δ(xy),

где δ-дельта-функция (или распределение) Дирака. Для резольвентного оператора λR оператора L эти формулы для u DL приобретают вид
(λRu)(x)=R(x,y,λ)u(y)dy

И
(LλI)R(x,y,λ)=δ(xy),

или
(2x2+Q(x)λ)R(x,y,λ)=δ(xy).

Из (3.4.4) выводятся следующие граничные условия на R :
lim|x|R(x,y,λ)=0;lim|y|R(x,y,λ)=0.

Если Imk>0,λ=k2, то из теорем существования и единственности (см. разд. 3.3) следует, что для фиксированного y=y0
R(x,y0,k2)={f(y0,k)ψ(x,k) при x+,g(y0,k)φ(x,k) при x.

Из (3.4.7) и (3.4.8) и из соображений непрерывности получим
R(x,y,k2)={h(k)φ(y,k)ψ(x,k),xy,h(k)ψ(y,k)φ(x,k),yx.

Для того, чтобы определить функцию h, проинтегрируем (3.4.6) по интервалу lyε,y+ε[ :
limε0xR(x,y,λ)|x=yεx=y+ε=1,

откуда при использовании (3.4.9) получается
h(k)W(kφ,kψ)=1,

где W — вронскиан, определенный в разд. 3.3. Из уравнений (3.3.47) мы находим, что W(kφ,kψ)=2ika(k), так что в конце концов получается
R(x,y,k2)={i2ka(k)φ(y,k)Ψ(x,k),xy,i2ka(k)Ψ(y,k)φ(x,k),y>x,Imk0.

Теперь мы покажем, что оператор λR ограничен на множестве {λ:λotinσ(L),λC}, где σ(L) — спектр оператора L, и что {λ:λ0} составляет непрерывный спектр оператора L.
Лемма 3.8. Для каждого η>0 формулы
A0u(x)=exp(ηx)xexp(ηy)u(y)dy,B0u(x)=exp(ηx)xexp(ηy)u(y)dy

определяют в пространстве L2(R) непрерывные линейные операторы, причем
A0η1,B0η1

Доказательство. Пусть uL2(R). Тогда
|(A0u)(x)|exp(ηx){x/2exp(ηy)|u(y)|dy+x/2xexp(ηy)|u(y)|dy}exp(ηx)(2η)1/2{eηx/2(|u(y)|2dy)1/2++(e2ηxeηx)1/2[x/2x|u(y)|2dy]1/2},

и, следовательно, |A0u(x)|0 при x. Поскольку
d[(A0u)(x)]dx=(A0u)(x)+fu(x),

мы получаем
ddx|(A0u)(x)|2=2η|(A0u)(x)|2+(A0u)(x)u(x)+u(x)(A0u)(x).

Интегрируя по вещественной оси и подставляя граничные условия, находим
0=2ηA0u2+A0u,u+u,A0u

и из неравенства Коши-шива получаем
A0u1ηu

Вторая часть леммы доказывается аналогичным способом ◻ Лемма 3.8 и формула для ядра резольвентного оператора (3.4.12) используются при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 3.9. Множество комплексных чисел {λ:λ=k2, a(k)eq0, Im k>0 принадлежит резольвентному множеству оператора L. Резольвентный оператор λλR(LλI)1 представ. ляет собой интегральный операпио
λRv(x)=R(x,y,λ)v(y)dy,vDt

с ядром
R(x,y,λ)={i2λ1/2a(λ1/2)φ(y,λ1/2)Ψ(x,λ1/2),xy,i2λ1/2a(λ1/2)ψ(y,λ1/2)φ(x,λ1/2),y>x,(R(x,y;λ)),Imλ1/20,

которое определено при условии |Q(v)|(1+|v|)dv<. Для каждого δ>0 существует такое число Cδ>0, что
λRC0|λ1/2||a(λ1/2)|Imλ1/2 для Imλ1/2>0,|λ|δ.

Каждое число λ0 принадлежит жепрерывному спектру опера mopa l.

Доказательство. Пусть uDL, тогда
k2Ru(x)=ia(k)12k{ψ(x,k)xφ(y,k)u(y)dy++φ(x,k)xψ(y,k)u(y)dy},Imk>0,

и аналогичное выражение получается, если Imk<0. Резольвентный оператор определен при условии Q(v)(1+|v|)dv> >. Следствие 3.1.1 дает
|ψ(x,k)|Cexp(ηx),|φ(x,k)|C0exp(ηx),

так что
|k2Ru(x)||a(k)|12|k|C0{exp(ηx)xexp(ηy)u(y)dy++exp(ηx)xexp(ηy)u(y)dy},Imk>0.

Используя лемму 3.8, получаем неравенство
kRCδ|k||a(k)|Imk,Imk>0.

Введем финитные функции aφ(x,k)=φ(x,k),|x|0, равные нулю при всех остальных значениях x. Тогда
kRaφ(x)=i2ka(k)ψ(x,k)aφ2,|x|a,

из чего следует
k2Raφ2a|k2Raφ|2dx=a24|ka(k)|2a|ψ(x,k)|2dx,Imk0.

Поскольку ψ(x,k)=exp(ikx)(1+o(1)) при x, то существует достаточно большое a, такое что для a<x<, Im k0,keq0,
|ψ(x,k)|(1/2)exp(ηx),η=Imk

и
kkRaφaφexp(ηa)4|k||a(k)|2η.

Отсюда следует, что kR при Imk0, и, таким образом, λ0 принадлежит спектру оператора L.

Пусть R(LλI) — область значений оператора ( LλI). Теперь мы должны показать, что для λ0,R(LλI) плотно в L2(R), так что обратный оператор может быть определен. Условие, эквивалентное этому, состоит в том, что ортогональное дополнение R(LλI) — нулевой элемент. Но пространство решений уравнения LAu=λu совпадает с ортогональным дополнением, и поэтому из равенства LA=L следует, что оно нулевое. Таким образом, множество чисел λ0 составляет непрерывный спектр оператора L.

Таким образом, главные функции будут иметь следующий вид. Дискретному или точечному спектру {λj=ηj2,ηj>0}, который при условиях леммы 3.8 будет конечным и простым, соответствуют собственные функции {φjiηjφ,j=1,,M}. Функции {kφ:k2=λ0} — обобщенные собственные функции, связанные с непрерывным спектром. Они не принадлежат пространству L2(R) и поэтому не являются собственными функциями в строгом смысле.

Продолжим построение спектрального семейства оператора L. B качестве конкретного примера спектрального семейства рассмотрим эрмитов оператор A, действующий в конечномерном векторном пространстве над полем комплексных чисел. Пусть {Ei,i=1,,N} — разложение единичного оператора на операторы проектирования, которые инвариантны на собственных подпространствах оператора А с собственными значениями {λi, i=1,,N}. Тогда
EiEj=δij и i=1NEi=I.

Определим «ступенчатую функцию»:
λP=λj<λNEj.

Тогда, поскольку
A=j=1NλjEj

из (3.4.14) следует, что
A=λdλP.

Таким образом, (3.4.16) есть способ представления самосопряженного оператора А в диагональной форме, и λP} называется спектральным семейством оператора А. Для случая гильбертова пространства равенство (3.4.16) по-прежнему является корректным способом диагонализации самосопряженного оператора (Смирнов [1964], Като [1966], Наймарк [1964 ]), но в этом случае λP} больше не должна быть ступенчатой функцией. В книгах по функциональному анализу, когда говорится о разложении единицы, подразумевается именно спектральное семейство {λλP}. Однако мы будем использовать его для обобщения равенства (3.4.13) на случай гильбертова пространства. Спектральное семейство приводит к понятию спектральной функции распределения.
Рассмотрим контурный интеграл
IR,r=12πiΓR,rR(x,y,λ)dλ(λz),

где ΓR.r — контур, изображенный на рис. 3.2 .

Рис. 3.2. Контур для резольвентного оператора.
Контур состоит из дуги круга радиуса R, двух отрезков прямых, параллельных вещественной оси, и малой дуги окружности r. Радиусы R и r выбираются так, чтобы {z,λ1,,λ2} лежали внутри контура ΓR, r. Тогда поскольку функция R(x,y,λ) аналитична внутри контура ΓR, , то по теореме 3.9 из теоремы Коши следует, что
IR,r=R(x,y,z)+j=1MResλ=λj[R(x,y,λ)(λz)].

Кроме того, из (3.4.12) и лемм 3.5 и 3.6 мы имеем, что
|R(x,y,λ)|12|λ1/2|eη(xy)+o(1) при |λ|,η=Imλ1/2>0.

Следовательно, в пределе
limRR(x,y,λ)dλ(λz)=0

и
limRIR,r=12πiΓrR(x,y,λ)dλ(λz),

где Γr — контур limR(ΓR,rCR), показанный на рис. 3.3

Рис. 3.3. Контур Γr.

Наконец, мы используем тот факт, что функция T+(0) финитна, как было установлено в разд. 3.3, и выведем, что
limr0+CrR(x,y,λ)dλ(λz)=0.

Если мы скомбинируем (3.4.21) и (3.4.22) с (3.4.18) в пределе при R,r+0, то мы получим выражение для ядра резольвенты:
R(x,y,λ)=J(x,y)j=1MResλ2=λj{R(x,y,λ)(λz)},J(x,y)=12πi0(R(x,y,λ+)R(x,y,λ))dλ(λz),

где λ±=λ±i0. Следующий шаг состоит в том, чтобы выразить правую часть (3.4.23) через главные функции. Если Im λ1/2<0, то ядро резольвенты определяется равенством
R(x,y,λ)=(R(x,y,λ)),Imλ1/2<0,

т ак что
J(x,y)=J1(x,y)+J1(x,y)

и
J1(x,y)14π0[ba(λ1/2)ψ(x,λ1/2)ψ(y,λ1/2)++ψ(x,λ1/2)ψ(y,λ1/2)]dλλ1/2(λz).

Проще выразить J через функции, определенные на плоскости k(k=λ1/2) :
J(x,y)=12π(ba(k)ψ(x,k)ψ(y,k)+ψ(x,k)ψ(y,k))dk(k2z).

При тех условиях, которые были наложены на функцию Q в теореме 3.9 , полюсы функции R(x,y) находятся во взаимнооднозначном соответствии с простыми нулями функции a. Поэтому мы сразу можем выписать вычеты:
Resλ=λj[R(x,y,λ)(λz)]=icjψj(x)ψj(y)(λjz)a˙j.

Если использовать нормировочные постоянные
D+j1icj1a˙j=ψj,ψj

ядро резольвенты можно выразить через главные функции:
R(x,y,z)=
=12π[ba(k)ψ(x,k)ψ(y,k)+ψ(x,k)ψ(y,k)]dk(k2z)++j=1MD+jψj(x)(λjz).

Применив оператор ( LzI ), мы получим разложение единицы, выраженное через главные функции оператора L :
δ(xy)=12π[ba(k)ψ(x,k)ψ(y,k)+ψ(x,k)ψ(y,k)]dk+
+j=1MD+jψj(x)ψj(y)

Появление двух обобщенных собственных функций kψ и kψ в разложении соответствует тому факту, что непрерывный спектр является двукратно вырожденным лебеговым спектром. Если рассматривать эти обобщенные собственные функции просто как обобщенные функции, можно показать, что они не являются ортонормированными в обобщенном смысле. Если расширить определение скалярного произведения ,,распространивегонаобобщенные функции, то мы найдем, что
kφ,k¯φ=2π(|a(k)|2δ(kk¯)+a(k)b(k)δ(k+k¯)),kψ,k¯ψ=2π(|a(k)|2δ(kk¯)a(k)b(k)δ(k+k¯)),kφ,k~ψ=2πa(k)δ(k+k¯),kφ,Ψj=0,kψ,ψj=0,ψj,Ψj=Dj1.

Для получения этих результатов существенно используются соотношение (3.3.46), асимптотическая форма решений Йоста при |x| и формула
limx[e±ikxk]=±iπδ(k)

которая встречается в теории обобщенных функций.
Если положить g1(x,k)ψ(x,k),g2(x,k)ψ(x,k), то (3.4.32) можно записать в таком виде:
δ(xy)=i=12gi(x,λ1/2)gi(y,λ1/2)dFij(λ)

где
dFij(λ)=Hij(λ)dλ

и
H(λ)={18πλ1/2(1ba(λ)I/2ba(λ)1/21),0λ<,14λ1/2(0110)j=1MDjδ(λλj),<λ<0.

Соответствующая эрмитова мера F(λ) называется (матричной) спектральной функцией распределения для оператора L, соответствующей разложению единицы, выраженному через собственные функции ψ(x,k) (см. примечание 1 к разд. 3.4). Ясно, что для ее определения нам понадобится определить множество данных рассеяния
S+={Dj,R+=ba,λj,j=1,,M}.

Если мы используем собственные функции g1(x,k)φ(x,k), g2(x)φ(x,k), то для λ0 матрица H2 (3.4.36) будет иметь вид
H(λ)=18πλ1/2(1ba(λ1/2)ba(λ1/2)1),λ0.

Компоненты матрицы H для λ<0 имеют такой же вид, как и в (3.4.36), только вместо D+j появятся Dj (разд. 3.3, формула (3.3.37)). В этом случае данные рассеяния будут представлены множеством S={Dj,R=ba,λj,j=1,,M}. В следующей главе мы покажем, что если компоненты матрицы H удовлетворяют некоторым ограничениям, то потенциал Q может быть единственным образом реконструирован либо по S+, либо по S.

Физически процесс рассеяния естественно разделяет собственные функции φ/a и ψ/a (см. примечание 2 к разд. 3.4). Для того, чтобы осуществить этот подход, перепишем (3.4.32) так:
δ(xy)=14π1|a|2φ(x,y)φ(y,k)+ψ(x,k)ψ(y,k)dk++j=1MD+jΨj(x)ψj(y).

Рассмотрим теперь разложение произвольного элемента u L2(R) по собственным функциям оператора L. Такое разложение можно получить, используя (3.4.38):
u(x)=14π1|a|2(u,kφφ(x,k)+u,kΨψ(x,k))dk++j=1MD+ju,ψjψj(x).

Если ввести обозначения
p(x,k)=ψ(x,k)a(k),m(x,k)=φ(x,k)a(k)

и предположить для простоты, что дискретный спектр отсутствует, (3.4.39) можно переписать в таком виде:
u(x)=(u1(k)m(x,k)+u2(k)p(x,k))dσ(k),

где u~=(u1,u2)T,dσ(k)=dk/4π и
u1(k)=u(x)mx(x,k)dx,u2(k)=u(x)p(x,k)dx.

Здесь σ(k)-..- спектральная функция распределения для оператора L (если отсутствует дискретный спектр) и можно показать, что uL(2)2(σ,R), где L(2)2(σ,k) — гильбертово пространство C2-значных функций, которые квадратично интегрируемы на R по отношению к мере σ. В дальнейшем мы будем писать Lx и Lσ для обозначения пространств L2(R) и L(2)2(σ,R) соответственно. Нормы и скалярные произведения в этих пространствах тоже будут различаться индексами x или б. Функционалы в (3.4.42) являются обобщениями обыкновенных преобразований Фурье, которые называются направляющими функционалами Крейна или L-преобразованиями Фурье. Заметим, что эти функционалы приводят к включению обобщенных собственных функций в гильбертово пространство в качестве ядер отображения T:uu, uLx. Из (3.4. 2.41) и (3.4.42) следует, что T является унитарной изометрией, TT равно единичному оператору в Lx и T T* равно единичному onератору в Lσ :
ux2=(u1(k)u1(k)+u2(k)u2(k))dσ(k)=uσ0.

B то же время оператор, получающийся из оператора L с помощью преобразования T, предельно прост:
uσ2=λu,ux=Lu,ux=TLTTu,uσ,

так что
L~ TLT =k2I

является просто умножением на квадрат независимой переменной. Таким образом, оператор L представляет собой тривиальный пример оператора в Lx, являющегося диагональным в спектральном представлении оператора L. B общем случае оператор A в пространстве Lx является диагональным в спектральном представлении оператора L, если для произвольного uLx(A~u)= =A~u~

Рассмотрим теперь частный случай двух операторов L,L0 в пространстве Lx, таких что L унитарно эквивалентен оператору L0. Это означает, что существует унитарный сплетающий оператор U, такой что
LU=UL0.

В этом случае оператор L может быть спектрально представлен в том же самом пространстве, что и оператор L0. Пусть T0:u u~0 — введенная ранее изометрия, определяющая L0-преобразования Фурье.
Тогда
L0v,ux=T0(L0v),T0uσ0==(T0U)L(T0U)(T0U)Uv,(T0U)Uuσ0

и
L0v,ux=LUv,Uux=(TL)T(Uv),T(Uu)σ,

так что
LσLσ0 и T=T0U.

Вполне возможно, что существует более одного сплетающего оператора, определяющего унитарную эквивалентность между операторами L и L0. Если V — другой такой оператор, то в соответствии с (3.4.46) он должен удовлетворять соотношению
[L0,N]=0, где N=UV

унитарный нормирующий оператор. Заметим, что оператор N обязан быть диагональным в спектральном представлении оператора L0, поскольку он коммутирует с оператором L и ограничен,

Для прямой задачи рассеяния, о которой шла речь в предыдущем разделе, L0L(Q=0). Матрица рассеяния может быть получена из этой теории, если ввести в качестве сплетающих операторов операторы Мёллера U±. В этом случае по-прежнему предполагая, что дискретный спектр отсутствует, L0-преобразования Фурье определяются при помощи скалярного произведения произвольных элементов пространства Lx с собственными функциями
m0(x,k)=eikx,p0(x,k)=eikx.

Тогда отображение
T0u0Tvu,vLx,u0Lσ0

определяет один из волновых операторов Мёллера. Читатель, вероятно, уже догадался, что собственные функции, помеченные знаком «+», определяются таким образом:
m+(x,k)=φ(x,k)a(k),p+(x,k)=ψ(x,k)a(k).

Тогда из соотношений (3.3.54) и (3.3.55) и обратных к ним имеем
ψ=bψ+aψ,ψ=aφbφ,

так что
p=1am+bap+,m=1ap++bam+,

и (3.4.50) с учетом (3.4.53) можно переписать в следующем виде:
Uu(x)=[u01(k)m(x,k)+u02(k)p(x,k)]dσ(k)=={[1a(k)u01(k)ba(k)u02(k)]p+(x,k)++[ba(k)u01(k)+1a(k)u02(k)]m+(x,k)}dσ(k)==U+w(x).

Здесь w — такой элемент пространства Lx, что его представление через оператор L0 формируется из коэффициентов p+и m+в (3.4.54). Из этого следует, что нормирующий оператор для этого случая, называемый оператором рассеяния,
S=U+U,

имеет следующее представление через оператор L0 :
S~=(1ababa1a).

Эro унитарная матрица S~, называемая матрицей рассеяния, введенная в разд. 3.3.

Вообще говоря, знания дискретного спектра оператора L и либо функции R+(k)=b(k)/a(k), либо функции R(k)= =b(k)/a(k),kR, достаточно для полного определения матрицы S~, если функция Q удовлетворяет условию |Q(v)|(1+ +v2)dv<. Для того, чтобы это доказать, введем функцию
h(k)=j=1M(kiηj)(k+iηj)a1(k),Imk0,

где {λj=ηi2,ηj>0:j=1,,M} — дискретный спектр оператора L и
a1(k)=1+o(1) при |k|,Imk0.

Тогда, поскольку функция h(k) аналитична при Imk>0 и непрерывна при Imk0, из общей формы теоремы Коши следует, что
logh(k)=12πiγ1logh(z)(zk)dzR12πilogh(x)dx(xk),Imk>0,
0=12πiγ1logh(z)dz(zk)R12πilogh(x)dx(xk),
Imk>0

Контуры γ1,γ2, показаны на рис. 3.4. Комбинируя два выражения, получаем формулу
a1(k)=j=1Mk+iηjkiηjexp12πilog|a(x)|2(kx)dx,Imk>0.

Это равенство можно продолжить на вещественную ось плоскости k, если мы заменим k на y+iε и перейдем к пределу по ε0, после чего интеграл станет интегралом в смысле главного значения. Соотношение (3.3.58) можно записать в виде
|a|2=1bbaa.

Следовательно, если определено R+или R, то |a|2 определяется из формулы (3.4.49) и a1 — из (3.4.61). Кроме того, из (3.4.62) следует, что
|a|2=1R+R|a|2

и из (3.3.79) и (3.4.29) следует, что
Dj1D+j1=a˙j2,

так что S+определяет S, и наоборот. Эти результаты, относящиеся к прямой задаче рассеяния, могут быть сведены в следующую теорему.

Рис. 3.4. Контуры γ1,γ2,C1 и C2.

Теорема 3.10. Eсли |Q(v)|(1+v2)dv<, то каждое из множеств S+,Sданных рассеяния определено единственным образом. Матрица рассеяния S~, которая унитарна и непрерывна, определяется единственным образом любым из упомянутых множеств данных рассеяния. Функции T±a1 определяются по формуле
a1(k)=j=1M(k+iηjkiηj)exp12πilog|a(x)|2(kx)dx,Imk>0,|a(x)|2=1|R+(x)|2=1|R(x)|2.

Это равенство можно продолжить на вещественную ось плоскости k, после чего интеграл становится интегралом в смысле главного значения.

Особый интерес для метода обратной задачи представляют сплетающие операторы, осуществляющие преобразования между собственными функциями операторов L и L0L(Q=0). В литературе они называются операторами преобразования (Агранович и Марченко [1963 ], Кэй и Мозес [1955, 1956]), хотя Фаддеев [1963] применил это название для сплетающих операторов, связанных с собственными функциями, определенными при помоци регулярных граничных условий. Представление для изоспектрального оператора Шрёдингера легко получается из свойств решений Йоста, установленных в разд. 3.3. Если определить l(x,k) φ(x,k)exp(ikx), то получим, что функция xl аналитична при Imk>0 и удовлетворяет условиям
|xl(k)|<Keηx|k|,k=ξ+iη,η>0,

так что xlL2(R) и
|xl(ξ+iη)|2dξ=O(e2ηx).

Таким образом, по теореме Титчмарша [1948] (теорема 96) существует преобразование Фурье
K+(x,y)=12π(ψ(x,k)eikx)eikydk,yx,K(x,y)=12π(φ(x,k)eikx)ejkydk,xy.

Если обратить (3.4.67), то получатся операторы преобразования
ψ(x,k)=Uψeikxeikx+xK+(x,y)eikydyφ(x,k)=Ueikxeikx+xK(x,y)eikydy,

определенные при Imk>0, функции xK+,xKпринадлежат пространству L2 при yx и yx соответственно. Заметим, что из (3.4.67) следует, что ядра — вещественные функции.

Существование и единственность операторов преобразования (3.4.68), так же, как и детальные свойства ядер, можно установить, если предположить, что решение Йоста ψ, например, имеет форму (3.4.68). Для доказательства существования можно воспользоваться методом, развитым Марченко и Аграновичем [1963], и получить интегральное уравнение Вольтерры для ядра K+,

а затем использовать метод последовательных приближений. Из (3.3.10) и (3.4.68) получаем
xK+(x,y)eikydy=xQ(v)sink(vx)keikvdv++xQ(v)dvxsink(vx)keikuK+(x,u)duJ1+J2.

Используя формулы
sink(vx)λeiku=12x20xeiksds,sink(vx)keiku=12xv+uvx+ueiksds

и изменив порядок интегрирования в интегралах J1 и J2, получим:
J1=12xQ(v)dvx2vxeiksds=={121/2eiksds}{(1/2)Q(x)dv}.J2=xQ(v)dv0K+(v,u)du12xv+uvx+ueiksds==xeiks[12x(1/2)Q(s)dss+vx(x+s)K+(v,u)du++12(1/2)Q(v)dv0s+vxK+(v,u)du].

Поскольку мы предположили, что P0(x)<, то первое изменение порядка интегрирования, как легко доказать, вполне законно. Второе же изменение можно оправдать только после доказательства существования. Подставляя выражения для интегралов J1,J2(3.4.72) и принимая во внимание единственность интегрального представления Фурье, мы приходим к следующему интегральному уравнению для ядра K+(x,y) :
K+(x,y)=12(1/2)Q(v)dv++12x(1/2)Q(v)dvy+xv)y+vxK+(v,u)du++12(1/2)Q(v)dv(x+y)g+v+xK+(v,u)du,<xy<.

Предположим, что решение имеет вид
K+(x,y)=m=0Km(x,y),

где
K0(x,y)=12(1/2)Q(v)dv

и
Km+1(x,y)=12(1/2)Q(v)dvy+xv(x+y)Km(v,u)du++12(1/2)+vxQ(v)dv0y+vxKm(v,u)du,m=0,1,

Докажем теперь по индукции, что
|Km(x,y)|R0[12(x+y)]1m!Nm(x),m=0,1,,

где
Nt=t(vx)|Q(v)|dv и Ri(x)=x|v|iQ(v)dv.

Из (3.4.74) имеем
|Km+1(x,y)|12m!R0[12(x+y)]{x(1/2)(N(v))m|Q(v)|(vx)dv}++(1/2){(N(v))m|Q(v)|12(yx)dv}12m!R0[12(x+y)]x(N(v))m|Q(v)|(vx)dv==1(2m+1)R0[12(x+y)]|Vm+1(x)|.

Из этого результата ясно, что
|K+(x,y)|12R0(12(x+y))expN(x).

Теперь очевидно, что K+неограничена при x.
Изменение порядка интегрирования во втором случае оправдывается теоремой Фубини, поскольку для x>a>
x|K+(x,y)|dy12expN(x)xdy(1/2)|Q(s)|ds==expN(x)xy|Q(x)|dsdy==expN(x)x(yx)|Q(y)|dy=N(x)expN(x)

и, таким образом,
xdyy|Q(s)|dss|K+(s,v)|dvxdyy|Q(s)|N(s)expN(s)==x(sx)|Q(s)|N(s)exp[N(s))ds==exp[N(x)]{N(x)1}<.

Теперь можно показать, что функция, определяемая правой частью (3.4.68), удовлетворяет уравнению Шрёдингера с корректными граничными условиями на ψ. Функция ψ — единственная функция теоремы 3.1.

Непрерывная дифференцируемость K+следует из (3.4.73). В самом деле, сразу получается
ddxK+(x,x)=12Q(x),K+2x(x,y)Q(x)K+(x,y)K+2y(x,y)=0,y<x,

при условии, что функция Q дифференцируема. Из уравнения, которому удовлетворяет функция K+, дифференцированием граничных условий получается
limx+yK+x(x,y)=0,limx+yK+t(x,y)=0.

Задача с начальными условиями (3.4.79) есть характеристическая задача или задача Гурса. Здесь мы сразу приходим к получению решения методом Римана (для доказательства существования и единственности решения задачи Гурса кроме метода Римана можно использовать метод Гарабедяна [1964]).

В работе Фаддеева [1964] и в других более новых работах по обратной задаче рассеяния или по спектральным преобразованиям используют представление
ψ(x,k)=eikx(1+0B+(x,y)e2ikydy)

и аналогичное представление для функции φ. Связь с представлением Левина (3.4.68) выражается соотношением K+(x,y)= =(1/2)B+(x,(1/2)(xy)). Мы используем здесь представление Левина, поскольку это удобнее для изложения материала гл. 6.

1
Оглавление
email@scask.ru