В этом разделе мы рассмотрим спектральную теорию самосопряженного оператора в пространстве . Первой нашей целью будет получение разложения единицы для оператора . Оно определяет спектральное семейство для оператора , т. e.
семейство операторов проектирования в пространстве , таких что произвольный элемент пространства имеет единственное разложение в сумму элементов подпространств, определяемых спектральным семейством. Мы обсудим вкратце связь с анализом Фурье и разложением произвольного элемента пространства по обобщенному порождающему базису или обобщенным собственным функциям. Везде в этом разделе, если не оговорено противное, предполагается, что .
Метод, который мы используем для получения разложения единицы, начинается с резольвентного оператора оператора . Некоторые элементы базиса не принадлежат пространству , а именно это те собственные функции, которые ассоциированы с непрерывным спектром оператора . Однако их можно включить в формализм гильбертова пространства путем введения однозначно определенной матричной функции спектрального разложения оператора L. Нахождение эквивалентно определению данных рассеяния для оператора L. Мы выведем важный результат, что однозначно определяется по , и наоборот. Этим на самом деле завершается прямая задача рассеяния, т. е. определение вместе с ее свойствами по начальным данным .
Мы определим также скалярную спектральную функцию , для которой введем гильбертово пространство комплексных функций со значениями в , квадратично интегрируемых на по отношению к мере . Мы покажем, что существует изометрическое отображение пространства на пространство , и наоборот, при котором оператор преобразуется в оператор , осуществляющий умножение элементов пространства на .
Затем мы разовьем общую теорию возмущения операторов, и при ее помощи оператор будет получен из фиксированного оператора применением сплетающего оператора. В этом разделе это используется для того, чтобы дать теоретико-операторную интерпретацию матрицы рассеяния и ввести операторы преобразования, что послужит подготовкой к гл. 4.
Развитая здесь общая теория будет снова использоваться в разд. 3.5 для определения другого метода получения временно́й эволюции данных рассеяния.
Если число не является собственным значением оператора , то оператор существует и называется резольвентой оператора . Число принадлежит резольвентному множеству или непрерывному спектру оператора в зависимости от того, является ли оператор ограниченным или неограниченным на своей области определения.
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений ядро оператора , обратного к линейному дифференциальному оператору A, определенному на пространстве , называется функцией Грина. Так, если
To
Для того чтобы (3.4.1) и (3.4.2) были согласованы между собой, требуется, чтобы
где -дельта-функция (или распределение) Дирака. Для резольвентного оператора оператора эти формулы для приобретают вид
И
или
Из (3.4.4) выводятся следующие граничные условия на :
Если , то из теорем существования и единственности (см. разд. 3.3) следует, что для фиксированного
Из (3.4.7) и (3.4.8) и из соображений непрерывности получим
Для того, чтобы определить функцию , проинтегрируем (3.4.6) по интервалу :
откуда при использовании (3.4.9) получается
где — вронскиан, определенный в разд. 3.3. Из уравнений (3.3.47) мы находим, что , так что в конце концов получается
Теперь мы покажем, что оператор ограничен на множестве где — спектр оператора , и что составляет непрерывный спектр оператора .
Лемма 3.8. Для каждого формулы
определяют в пространстве непрерывные линейные операторы, причем
Доказательство. Пусть . Тогда
и, следовательно, при . Поскольку
мы получаем
Интегрируя по вещественной оси и подставляя граничные условия, находим
и из неравенства Коши-шива получаем
Вторая часть леммы доказывается аналогичным способом Лемма 3.8 и формула для ядра резольвентного оператора (3.4.12) используются при доказательстве следующей теоремы.
Теорема 3.9. Множество комплексных чисел , , Im принадлежит резольвентному множеству оператора . Резольвентный оператор представ. ляет собой интегральный операпио
с ядром
которое определено при условии . Для каждого существует такое число , что
Каждое число принадлежит жепрерывному спектру опера mopa .
Доказательство. Пусть , тогда
и аналогичное выражение получается, если . Резольвентный оператор определен при условии . Следствие 3.1.1 дает
так что
Используя лемму 3.8, получаем неравенство
Введем финитные функции , равные нулю при всех остальных значениях . Тогда
из чего следует
Поскольку при , то существует достаточно большое , такое что для , Im ,
и
Отсюда следует, что при , и, таким образом, принадлежит спектру оператора .
Пусть — область значений оператора ( . Теперь мы должны показать, что для плотно в , так что обратный оператор может быть определен. Условие, эквивалентное этому, состоит в том, что ортогональное дополнение — нулевой элемент. Но пространство решений уравнения совпадает с ортогональным дополнением, и поэтому из равенства следует, что оно нулевое. Таким образом, множество чисел составляет непрерывный спектр оператора .
Таким образом, главные функции будут иметь следующий вид. Дискретному или точечному спектру , который при условиях леммы 3.8 будет конечным и простым, соответствуют собственные функции . Функции — обобщенные собственные функции, связанные с непрерывным спектром. Они не принадлежат пространству и поэтому не являются собственными функциями в строгом смысле.
Продолжим построение спектрального семейства оператора . B качестве конкретного примера спектрального семейства рассмотрим эрмитов оператор , действующий в конечномерном векторном пространстве над полем комплексных чисел. Пусть — разложение единичного оператора на операторы проектирования, которые инвариантны на собственных подпространствах оператора А с собственными значениями , . Тогда
Определим «ступенчатую функцию»:
Тогда, поскольку
из (3.4.14) следует, что
Таким образом, (3.4.16) есть способ представления самосопряженного оператора А в диагональной форме, и называется спектральным семейством оператора А. Для случая гильбертова пространства равенство (3.4.16) по-прежнему является корректным способом диагонализации самосопряженного оператора (Смирнов [1964], Като [1966], Наймарк [1964 ]), но в этом случае больше не должна быть ступенчатой функцией. В книгах по функциональному анализу, когда говорится о разложении единицы, подразумевается именно спектральное семейство . Однако мы будем использовать его для обобщения равенства (3.4.13) на случай гильбертова пространства. Спектральное семейство приводит к понятию спектральной функции распределения.
Рассмотрим контурный интеграл
где — контур, изображенный на рис. 3.2 .
Рис. 3.2. Контур для резольвентного оператора.
Контур состоит из дуги круга радиуса , двух отрезков прямых, параллельных вещественной оси, и малой дуги окружности . Радиусы и выбираются так, чтобы лежали внутри контура , r. Тогда поскольку функция аналитична внутри контура , , то по теореме 3.9 из теоремы Коши следует, что
Кроме того, из (3.4.12) и лемм 3.5 и 3.6 мы имеем, что
Следовательно, в пределе
и
где — контур , показанный на рис. 3.3
Рис. 3.3. Контур .
Наконец, мы используем тот факт, что функция финитна, как было установлено в разд. 3.3, и выведем, что
Если мы скомбинируем (3.4.21) и (3.4.22) с (3.4.18) в пределе при , то мы получим выражение для ядра резольвенты:
где . Следующий шаг состоит в том, чтобы выразить правую часть (3.4.23) через главные функции. Если Im , то ядро резольвенты определяется равенством
т ак что
и
Проще выразить через функции, определенные на плоскости :
При тех условиях, которые были наложены на функцию в теореме 3.9 , полюсы функции находятся во взаимнооднозначном соответствии с простыми нулями функции . Поэтому мы сразу можем выписать вычеты:
Если использовать нормировочные постоянные
ядро резольвенты можно выразить через главные функции:
Применив оператор ( ), мы получим разложение единицы, выраженное через главные функции оператора :
Появление двух обобщенных собственных функций и в разложении соответствует тому факту, что непрерывный спектр является двукратно вырожденным лебеговым спектром. Если рассматривать эти обобщенные собственные функции просто как обобщенные функции, можно показать, что они не являются ортонормированными в обобщенном смысле. Если расширить определение скалярного произведения , функции, то мы найдем, что
Для получения этих результатов существенно используются соотношение (3.3.46), асимптотическая форма решений Йоста при и формула
которая встречается в теории обобщенных функций.
Если положить , то (3.4.32) можно записать в таком виде:
где
и
Соответствующая эрмитова мера называется (матричной) спектральной функцией распределения для оператора , соответствующей разложению единицы, выраженному через собственные функции (см. примечание 1 к разд. 3.4). Ясно, что для ее определения нам понадобится определить множество данных рассеяния
Если мы используем собственные функции , , то для матрица (3.4.36) будет иметь вид
Компоненты матрицы для имеют такой же вид, как и в (3.4.36), только вместо появятся (разд. 3.3, формула (3.3.37)). В этом случае данные рассеяния будут представлены множеством . В следующей главе мы покажем, что если компоненты матрицы H удовлетворяют некоторым ограничениям, то потенциал может быть единственным образом реконструирован либо по , либо по .
Физически процесс рассеяния естественно разделяет собственные функции и (см. примечание 2 к разд. 3.4). Для того, чтобы осуществить этот подход, перепишем (3.4.32) так:
Рассмотрим теперь разложение произвольного элемента по собственным функциям оператора . Такое разложение можно получить, используя (3.4.38):
Если ввести обозначения
и предположить для простоты, что дискретный спектр отсутствует, (3.4.39) можно переписать в таком виде:
где и
Здесь -..- спектральная функция распределения для оператора L (если отсутствует дискретный спектр) и можно показать, что , где — гильбертово пространство -значных функций, которые квадратично интегрируемы на по отношению к мере . В дальнейшем мы будем писать и для обозначения пространств и соответственно. Нормы и скалярные произведения в этих пространствах тоже будут различаться индексами или б. Функционалы в (3.4.42) являются обобщениями обыкновенных преобразований Фурье, которые называются направляющими функционалами Крейна или -преобразованиями Фурье. Заметим, что эти функционалы приводят к включению обобщенных собственных функций в гильбертово пространство в качестве ядер отображения , . Из (3.4. .41) и (3.4.42) следует, что является унитарной изометрией, равно единичному оператору в и T* равно единичному onератору в :
B то же время оператор, получающийся из оператора с помощью преобразования , предельно прост:
так что
является просто умножением на квадрат независимой переменной. Таким образом, оператор представляет собой тривиальный пример оператора в , являющегося диагональным в спектральном представлении оператора L. B общем случае оператор A в пространстве является диагональным в спектральном представлении оператора , если для произвольного 。
Рассмотрим теперь частный случай двух операторов в пространстве , таких что унитарно эквивалентен оператору . Это означает, что существует унитарный сплетающий оператор U, такой что
В этом случае оператор может быть спектрально представлен в том же самом пространстве, что и оператор . Пусть — введенная ранее изометрия, определяющая -преобразования Фурье.
Тогда
и
так что
Вполне возможно, что существует более одного сплетающего оператора, определяющего унитарную эквивалентность между операторами и . Если — другой такой оператор, то в соответствии с (3.4.46) он должен удовлетворять соотношению
унитарный нормирующий оператор. Заметим, что оператор обязан быть диагональным в спектральном представлении оператора , поскольку он коммутирует с оператором и ограничен,
Для прямой задачи рассеяния, о которой шла речь в предыдущем разделе, . Матрица рассеяния может быть получена из этой теории, если ввести в качестве сплетающих операторов операторы Мёллера . В этом случае по-прежнему предполагая, что дискретный спектр отсутствует, -преобразования Фурье определяются при помощи скалярного произведения произвольных элементов пространства с собственными функциями
Тогда отображение
определяет один из волновых операторов Мёллера. Читатель, вероятно, уже догадался, что собственные функции, помеченные знаком «+», определяются таким образом:
Тогда из соотношений (3.3.54) и (3.3.55) и обратных к ним имеем
так что
и (3.4.50) с учетом (3.4.53) можно переписать в следующем виде:
Здесь — такой элемент пространства , что его представление через оператор формируется из коэффициентов и в (3.4.54). Из этого следует, что нормирующий оператор для этого случая, называемый оператором рассеяния,
имеет следующее представление через оператор :
Эro унитарная матрица , называемая матрицей рассеяния, введенная в разд. 3.3.
Вообще говоря, знания дискретного спектра оператора и либо функции , либо функции , достаточно для полного определения матрицы , если функция удовлетворяет условию . Для того, чтобы это доказать, введем функцию
где — дискретный спектр оператора и
Тогда, поскольку функция аналитична при и непрерывна при , из общей формы теоремы Коши следует, что
Контуры , показаны на рис. 3.4. Комбинируя два выражения, получаем формулу
Это равенство можно продолжить на вещественную ось плоскости , если мы заменим на и перейдем к пределу по , после чего интеграл станет интегралом в смысле главного значения. Соотношение (3.3.58) можно записать в виде
Следовательно, если определено или , то определяется из формулы (3.4.49) и — из (3.4.61). Кроме того, из (3.4.62) следует, что
и из (3.3.79) и (3.4.29) следует, что
так что определяет , и наоборот. Эти результаты, относящиеся к прямой задаче рассеяния, могут быть сведены в следующую теорему.
Рис. 3.4. Контуры и .
Теорема 3.10. Eсли , то каждое из множеств данных рассеяния определено единственным образом. Матрица рассеяния , которая унитарна и непрерывна, определяется единственным образом любым из упомянутых множеств данных рассеяния. Функции определяются по формуле
Это равенство можно продолжить на вещественную ось плоскости , после чего интеграл становится интегралом в смысле главного значения.
Особый интерес для метода обратной задачи представляют сплетающие операторы, осуществляющие преобразования между собственными функциями операторов и . В литературе они называются операторами преобразования (Агранович и Марченко [1963 ], Кэй и Мозес [1955, 1956]), хотя Фаддеев [1963] применил это название для сплетающих операторов, связанных с собственными функциями, определенными при помоци регулярных граничных условий. Представление для изоспектрального оператора Шрёдингера легко получается из свойств решений Йоста, установленных в разд. 3.3. Если определить , то получим, что функция аналитична при и удовлетворяет условиям
так что и
Таким образом, по теореме Титчмарша [1948] (теорема 96) существует преобразование Фурье
Если обратить (3.4.67), то получатся операторы преобразования
определенные при , функции принадлежат пространству при и соответственно. Заметим, что из (3.4.67) следует, что ядра — вещественные функции.
Существование и единственность операторов преобразования (3.4.68), так же, как и детальные свойства ядер, можно установить, если предположить, что решение Йоста , например, имеет форму (3.4.68). Для доказательства существования можно воспользоваться методом, развитым Марченко и Аграновичем [1963], и получить интегральное уравнение Вольтерры для ядра ,
а затем использовать метод последовательных приближений. Из (3.3.10) и (3.4.68) получаем
Используя формулы
и изменив порядок интегрирования в интегралах и , получим:
Поскольку мы предположили, что , то первое изменение порядка интегрирования, как легко доказать, вполне законно. Второе же изменение можно оправдать только после доказательства существования. Подставляя выражения для интегралов и принимая во внимание единственность интегрального представления Фурье, мы приходим к следующему интегральному уравнению для ядра :
Предположим, что решение имеет вид
где
и
Докажем теперь по индукции, что
где
Из (3.4.74) имеем
Из этого результата ясно, что
Теперь очевидно, что неограничена при .
Изменение порядка интегрирования во втором случае оправдывается теоремой Фубини, поскольку для
и, таким образом,
Теперь можно показать, что функция, определяемая правой частью (3.4.68), удовлетворяет уравнению Шрёдингера с корректными граничными условиями на . Функция — единственная функция теоремы 3.1.
Непрерывная дифференцируемость следует из (3.4.73). В самом деле, сразу получается
при условии, что функция дифференцируема. Из уравнения, которому удовлетворяет функция , дифференцированием граничных условий получается
Задача с начальными условиями (3.4.79) есть характеристическая задача или задача Гурса. Здесь мы сразу приходим к получению решения методом Римана (для доказательства существования и единственности решения задачи Гурса кроме метода Римана можно использовать метод Гарабедяна [1964]).
В работе Фаддеева [1964] и в других более новых работах по обратной задаче рассеяния или по спектральным преобразованиям используют представление
и аналогичное представление для функции . Связь с представлением Левина (3.4.68) выражается соотношением . Мы используем здесь представление Левина, поскольку это удобнее для изложения материала гл. 6.