В этом разделе мы рассмотрим спектральную теорию самосопряженного оператора $L$ в пространстве $L^{2}(R)$. Первой нашей целью будет получение разложения единицы для оператора $\mathbf{L}$. Оно определяет спектральное семейство для оператора $\mathbf{L}$, т. e.

семейство операторов проектирования в пространстве $L^{2}(\mathbb{R})$, таких что произвольный элемент пространства $L^{2}(\mathbb{R})$ имеет единственное разложение в сумму элементов подпространств, определяемых спектральным семейством. Мы обсудим вкратце связь с анализом Фурье и разложением произвольного элемента пространства $L^{2}(R)$ по обобщенному порождающему базису или обобщенным собственным функциям. Везде в этом разделе, если не оговорено противное, предполагается, что $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(v)|\left(1+v^{2}\right) d v<$ $<\infty$.

Метод, который мы используем для получения разложения единицы, начинается с резольвентного оператора ${ }_{\lambda} \mathbf{R}$ оператора $\mathbf{L}$. Некоторые элементы базиса не принадлежат пространству $L^{2}(\mathbb{R})$, а именно это те собственные функции, которые ассоциированы с непрерывным спектром оператора $\mathbf{L}$. Однако их можно включить в формализм гильбертова пространства путем введения однозначно определенной матричной функции спектрального разложения $\mathbf{F}(k)$ оператора L. Нахождение $\mathbf{F}(k)$ эквивалентно определению данных рассеяния $S_{ \pm}$для оператора L. Мы выведем важный результат, что $\mathbf{F}(k)$ однозначно определяется по $S_{ \pm}$, и наоборот. Этим на самом деле завершается прямая задача рассеяния, т. е. определение $S_{ \pm}\left(t_{0}\right)$ вместе с ее свойствами по начальным данным $Q\left(x, t_{0}\right)$.

Мы определим также скалярную спектральную функцию $\sigma(k)$, для которой введем гильбертово пространство $L_{2}^{2}(\sigma, R)$ комплексных функций со значениями в $C^{2}$, квадратично интегрируемых на $R$ по отношению к мере $\sigma$. Мы покажем, что существует изометрическое отображение пространства $L^{2}(\mathbb{R})$ на пространство $L_{2}^{2}(\sigma, R)$, и наоборот, при котором оператор $\mathbf{L}$ преобразуется в оператор $\tau$, осуществляющий умножение элементов пространства $L_{2}^{2}(\sigma, R)$ на $\lambda=k^{2}$.

Затем мы разовьем общую теорию возмущения операторов, и при ее помощи оператор $\mathbf{L}$ будет получен из фиксированного оператора $\mathbf{L}_{0}$ применением сплетающего оператора. В этом разделе это используется для того, чтобы дать теоретико-операторную интерпретацию матрицы рассеяния и ввести операторы преобразования, что послужит подготовкой к гл. 4.

Развитая здесь общая теория будет снова использоваться в разд. 3.5 для определения другого метода получения временно́й эволюции данных рассеяния.

Если число $\lambda$ не является собственным значением оператора $\mathbf{L}$, то оператор ${ }_{\lambda} \mathbf{R}=(\mathbf{L}-\lambda \mathbf{I})^{-1}$ существует и называется резольвентой оператора $\mathbf{L}$. Число $\lambda$ принадлежит резольвентному множеству или непрерывному спектру оператора $\mathbf{L}$ в зависимости от того, является ли оператор ${ }_{\lambda} \mathbf{R}$ ограниченным или неограниченным на своей области определения.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений ядро $A^{-1}$ оператора $\mathbf{A}^{-1}$, обратного к линейному дифференциальному оператору A, определенному на пространстве $L^{2}(\mathbb{R})$, называется функцией Грина. Так, если
\[
\mathbf{A} u=f,
\]

To
\[
\left(\mathbf{A}^{-1} f\right)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} A^{-1}(x, y) f(y) d y .
\]

Для того чтобы (3.4.1) и (3.4.2) были согласованы между собой, требуется, чтобы
\[
\mathbf{A} A^{-1}(x, y)=\delta(x-y),
\]

где $\delta$-дельта-функция (или распределение) Дирака. Для резольвентного оператора ${ }_{\lambda} \mathbf{R}$ оператора $\mathbf{L}$ эти формулы для $u \in$ $\in \mathbf{D}_{\mathbf{L}}$ приобретают вид
\[
\left({ }_{\lambda} \mathrm{R} u\right)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} R(x, y, \lambda) u(y) d y
\]

И
\[
(\mathbf{L}-\lambda \mathbf{I}) R(x, y, \lambda)=\delta(x-y),
\]

или
\[
\left(-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+Q(x)-\lambda\right) R(x, y, \lambda)=\delta(x-y) .
\]

Из (3.4.4) выводятся следующие граничные условия на $R$ :
\[
\lim _{|x| \rightarrow \infty} R(x, y, \lambda)=0 ; \quad \lim _{|y| \rightarrow \infty} R(x, y, \lambda)=0 .
\]

Если $\operatorname{Im} k>0, \lambda=k^{2}$, то из теорем существования и единственности (см. разд. 3.3) следует, что для фиксированного $y=y_{0}$
\[
R\left(x, y_{0}, k^{2}\right)=\left\{\begin{array}{lll}
f\left(y_{0}, k\right) \psi(x, k) & \text { при } & x \rightarrow+\infty, \\
g\left(y_{0}, k\right) \varphi(x, k) & \text { при } & x \rightarrow-\infty .
\end{array}\right.
\]

Из (3.4.7) и (3.4.8) и из соображений непрерывности получим
\[
R\left(x, y, k^{2}\right)=\left\{\begin{array}{ll}
h(k) \varphi(y, k) \psi(x, k), & x \geqslant y, \\
h(k) \psi(y, k) \varphi(x, k), & y \geqslant x .
\end{array}\right.
\]

Для того, чтобы определить функцию $h$, проинтегрируем (3.4.6) по интервалу $\mathrm{l} y-\varepsilon, y+\varepsilon[$ :
\[
-\left.\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial x} R(x, y, \lambda)\right|_{x=y-\varepsilon} ^{x=y+\varepsilon}=1,
\]

откуда при использовании (3.4.9) получается
\[
-h(k) W\left({ }_{k} \varphi,{ }_{k} \psi\right)=1,
\]

где $W$ – вронскиан, определенный в разд. 3.3. Из уравнений (3.3.47) мы находим, что $W\left({ }_{k} \varphi, k \psi\right)=2 i k a(k)$, так что в конце концов получается
\[
R\left(x, y, k^{2}\right)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{i}{2 k a(k)} \varphi(y, k) \Psi(x, k), & x \geqslant y, \\
\frac{i}{2 k a(k)} \Psi(y, k) \varphi(x, k), & y>x,
\end{array} \quad \operatorname{Im} k \geqslant 0 .\right.
\]

Теперь мы покажем, что оператор ${ }_{\lambda} \mathbf{R}$ ограничен на множестве $\{\lambda: \lambda
otin \sigma(\mathbf{L}), \lambda \in \mathbf{C}\}, \quad$ где $\sigma(\mathbf{L})$ – спектр оператора $\mathbf{L}$, и что $\{\lambda: \lambda \geqslant 0\}$ составляет непрерывный спектр оператора $\mathbf{L}$.
Лемма 3.8. Для каждого $\eta>0$ формулы
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A}_{0} u(x)=\exp (-\eta x) \int_{-\infty}^{x} \exp (\eta y) u(y) d y, \\
\mathbf{B}_{0} u(x)=\exp (\eta x) \int_{x}^{\infty} \exp (-\eta y) u(y) d y
\end{array}
\]

определяют в пространстве $L^{2}(\mathbb{R})$ непрерывные линейные операторы, причем
\[
\left\|\mathbf{A}_{0}\right\| \leqslant \eta^{-1}, \quad\left\|\mathbf{B}_{0}\right\| \leqslant \eta^{-1}
\]

Доказательство. Пусть $u \in L^{2}(\mathbb{R})$. Тогда
\[
\begin{array}{r}
\left|\left(\mathbf{A}_{0} u\right)(x)\right| \leqslant \exp (-\eta x)\left\{\int_{-\infty}^{x / 2} \exp (\eta y)|u(y)| d y+\int_{x / 2}^{x} \exp (\eta y)|u(y)| d y\right\} \leqslant \\
\leqslant \frac{\exp (-\eta x)}{(2 \eta)^{1 / 2}}\left\{e^{\eta x / 2}\left(\int_{-\infty}^{\infty}|u(y)|^{2} d y\right)^{1 / 2}+\right. \\
\left.+\left(e^{2 \eta x}-e^{-\eta x}\right)^{1 / 2}\left[\int_{x / 2}^{x}|u(y)|^{2} d y\right]^{1 / 2}\right\},
\end{array}
\]

и, следовательно, $\left|\mathbf{A}_{0} u(x)\right| \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$. Поскольку
\[
\frac{d\left[\left(A_{0} u\right)(x)\right]}{d x}=\cdots\left(\mathbf{A}_{0} u\right)(x)+f \cdot u(x),
\]

мы получаем
\[
\frac{d}{d x}\left|\left(\mathbf{A}_{0} u\right)(x)\right|^{2}=-2 \eta\left|\left(\mathbf{A}_{0} u\right)(x)\right|^{2}+\left(\mathbf{A}_{0} u\right)(x) u^{*}(x)+u(x)\left(A_{0} u\right)^{*}(x) .
\]

Интегрируя по вещественной оси и подставляя граничные условия, находим
\[
0=-2 \eta\left\|A_{0} u\right\|^{2}+\left\langle A_{0} u, u\right\rangle+\left\langle u, A_{0} u\right\rangle
\]

и из неравенства Коши-шива получаем
\[
\left\|A_{0} u\right\| \leqslant \frac{1}{\eta}\|u\|
\]

Вторая часть леммы доказывается аналогичным способом $\square$ Лемма 3.8 и формула для ядра резольвентного оператора (3.4.12) используются при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 3.9. Множество комплексных чисел $\left\{\lambda: \lambda=k^{2}\right.$, $a(k)
eq 0$, Im $k>0 \mid$ принадлежит резольвентному множеству оператора $\mathbf{L}$. Резольвентный оператор $\lambda_{\lambda} \mathbf{R}(\mathbf{L}-\lambda \mathbf{I})^{* 1}$ представ. ляет собой интегральный операпио
\[
{ }_{\lambda} \mathbf{R} v(x)=\int_{-\infty}^{\infty} R(x, y, \lambda) v(y) d y, \quad v \in \mathbf{D}_{\mathrm{t}}
\]

с ядром
\[
R(x, y, \lambda)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{i}{2 \lambda^{1 / 2} a\left(\lambda^{1 / 2}\right)} \varphi\left(y, \lambda^{1 / 2}\right) \Psi\left(x, \lambda^{1 / 2}\right), & x \geqslant y, \\
\frac{i}{2 \lambda^{1 / 2} a\left(\lambda^{1 / 2}\right)} \psi\left(y, \lambda^{1 / 2}\right) \varphi\left(x, \lambda^{1 / 2}\right), & y>x, \\
\left(R\left(x, y ; \lambda^{*}\right)\right)^{*}, & \operatorname{Im} \lambda^{1 / 2} \geqslant 0,
\end{array}\right.
\]

которое определено при условии $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(v)|(1+|v|) d v<\infty$. Для каждого $\delta>0$ существует такое число $C_{\delta}>0$, что
\[
\|\lambda R\| \leqslant \frac{C_{0}}{\left|\lambda^{1 / 2}\right|\left|a\left(\lambda^{1 / 2}\right)\right| \operatorname{Im} \lambda^{1 / 2}} \text { для } \operatorname{Im} \lambda^{1 / 2}>0, \quad|\lambda| \geqslant \delta .
\]

Каждое число $\lambda \geqslant 0$ принадлежит жепрерывному спектру опера mopa $\mathbf{l}$.

Доказательство. Пусть $u \in D_{\mathbf{L}}$, тогда
\[
\begin{array}{l}
{ }_{k} \mathbf{2} \mathrm{R} u(x)=\frac{i a(k)^{-1}}{2 k}\left\{\psi(x, k) \int_{-\infty}^{x} \varphi(y, k) u(y) d y+\right. \\
\left.+\varphi(x, k) \int_{x}^{\infty} \psi(y, k) u(y) d y\right\}, \quad \operatorname{Im} k>0,
\end{array}
\]

и аналогичное выражение получается, если $\operatorname{Im} k<0$. Резольвентный оператор определен при условии $\int_{-\infty}^{\infty} Q(v) \mid(1+|v|) d v>$ $>\infty$. Следствие 3.1.1 дает
\[
|\psi(x, k)| \leqslant C_{\diamond} \exp (\eta x), \quad|\varphi(x, k)| \leqslant C_{0} \exp (-\eta x),
\]

так что
\[
\begin{aligned}
\left|k^{2} \mathrm{R} u(x)\right| \leqslant \frac{|a(k)|^{-1}}{2|k|} C_{0}\{ & \exp (\eta x) \int_{-\infty}^{x} \exp (-\eta y) u(y) d y+ \\
& \left.+\exp (-\eta x) \int_{x}^{\infty} \exp (\eta y) u(y) d y\right\}, \quad \operatorname{Im} k>0 .
\end{aligned}
\]

Используя лемму 3.8, получаем неравенство
\[
\left\|_{k} \mathrm{R}\right\| \leqslant \frac{C_{\delta}}{|k||a(k)| \operatorname{Im} k}, \quad \operatorname{Im} k>0 .
\]

Введем финитные функции ${ }_{a} \varphi^{*}(x, k)=\varphi^{*}(x, k),|x| \leqslant 0$, равные нулю при всех остальных значениях $x$. Тогда
\[
{ }_{k} \mathrm{R}_{a} \varphi(x)=\frac{i}{2 k a(k)} \psi(x, k)\left\|_{a} \varphi\right\|^{2}, \quad|x| \geqslant a,
\]

из чего следует
\[
\left\|k^{2} \mathbf{R}_{a} \varphi\right\|^{2} \geqslant \int_{a}^{\infty}\left|k^{2} \mathbf{R}_{a} \varphi\right|^{2} d x=\frac{\|a\|^{2}}{4|k a(k)|^{2}} \int_{a}^{\infty}|\psi(x, k)|^{2} d x, \quad \operatorname{Im} k \geqslant 0 .
\]

Поскольку $\psi(x, k)=\exp (i k x)(1+o(1))$ при $x \rightarrow \infty$, то существует достаточно большое $a$, такое что для $a<x<\infty$, Im $k \geqslant 0, k
eq 0$,
\[
|\psi(x, k)| \geqslant(1 / 2) \exp (-\eta x), \quad \eta=\operatorname{Im} k
\]

и
\[
\left\|k_{k} \mathbf{R}_{a} \varphi\right\| \geqslant \frac{\|a \varphi\| \exp (-\eta a)}{4|k||a(k)| \sqrt{2 \eta}} .
\]

Отсюда следует, что $\left\|{ }_{k} \mathbf{R}\right\| \rightarrow \infty$ при $\operatorname{Im} k \rightarrow 0$, и, таким образом, $\lambda \geqslant 0$ принадлежит спектру оператора $\mathbf{L}$.

Пусть $\mathbf{R}(\mathbf{L}-\lambda \mathbf{I})$ – область значений оператора ( $\mathbf{L}-\lambda \mathbf{I})$. Теперь мы должны показать, что для $\lambda \geqslant 0, \mathbf{R}(\mathbf{L}-\lambda \mathbf{I})$ плотно в $L^{2}(\mathbb{R})$, так что обратный оператор может быть определен. Условие, эквивалентное этому, состоит в том, что ортогональное дополнение $\mathbf{R}(\mathbf{L}-\lambda \mathbf{I})$ – нулевой элемент. Но пространство решений уравнения $\mathbf{L}^{\mathbf{A}} u=\lambda u$ совпадает с ортогональным дополнением, и поэтому из равенства $\mathbf{L}^{\mathbf{A}}=\mathbf{L}$ следует, что оно нулевое. Таким образом, множество чисел $\lambda \geqslant 0$ составляет непрерывный спектр оператора $\mathbf{L}$.

Таким образом, главные функции будут иметь следующий вид. Дискретному или точечному спектру $\left\{\lambda_{j}=-\eta_{j}^{2}, \eta_{j}>0\right\}$, который при условиях леммы 3.8 будет конечным и простым, соответствуют собственные функции $\left\{\varphi_{j} \equiv i \eta_{j} \varphi, j=1, \ldots, M\right\}$. Функции $\left\{_{k} \varphi: k^{2}=\lambda \geqslant 0\right\}$ – обобщенные собственные функции, связанные с непрерывным спектром. Они не принадлежат пространству $L^{2}(\mathbb{R})$ и поэтому не являются собственными функциями в строгом смысле.

Продолжим построение спектрального семейства оператора $\mathbf{L}$. B качестве конкретного примера спектрального семейства рассмотрим эрмитов оператор $\mathbf{A}$, действующий в конечномерном векторном пространстве над полем комплексных чисел. Пусть $\left\{\mathbf{E}_{i}, i=1, \ldots, N\right\}$ – разложение единичного оператора на операторы проектирования, которые инвариантны на собственных подпространствах оператора А с собственными значениями $\left\{\lambda_{i}\right.$, $i=1, \ldots, N\}$. Тогда
\[
\mathbf{E}_{i} \mathbf{E}_{j}=\delta_{i j} \quad \text { и } \quad \sum_{i=1}^{N} \mathbf{E}_{i}=\mathbf{I} .
\]

Определим «ступенчатую функцию»:
\[
{ }_{\lambda} \mathbf{P}=\sum_{\lambda_{j}<\lambda}^{N} \mathbf{E}_{j} .
\]

Тогда, поскольку
\[
\mathbf{A}=\sum_{j=1}^{N} \lambda_{j} \mathrm{E}_{j}
\]

из (3.4.14) следует, что
\[
\mathbf{A}=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d_{\lambda} \mathbf{P} .
\]

Таким образом, (3.4.16) есть способ представления самосопряженного оператора А в диагональной форме, и $\left.{ }_{\lambda} \mathbf{P}\right\}$ называется спектральным семейством оператора А. Для случая гильбертова пространства равенство (3.4.16) по-прежнему является корректным способом диагонализации самосопряженного оператора (Смирнов [1964], Като [1966], Наймарк [1964 ]), но в этом случае $\left.{ }_{\lambda} \mathbf{P}\right\}$ больше не должна быть ступенчатой функцией. В книгах по функциональному анализу, когда говорится о разложении единицы, подразумевается именно спектральное семейство $\left\{\lambda_{\lambda} \mathbf{P}\right\}$. Однако мы будем использовать его для обобщения равенства (3.4.13) на случай гильбертова пространства. Спектральное семейство приводит к понятию спектральной функции распределения.
Рассмотрим контурный интеграл
\[
I_{R, r}=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma_{R, r}} \frac{R(x, y, \lambda) d \lambda}{(\lambda-z)},
\]

где $\Gamma_{R . r}$ – контур, изображенный на рис. 3.2 .

Рис. 3.2. Контур для резольвентного оператора.
Контур состоит из дуги круга радиуса $R$, двух отрезков прямых, параллельных вещественной оси, и малой дуги окружности $r$. Радиусы $R$ и $r$ выбираются так, чтобы $\left\{z, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2}\right\}$ лежали внутри контура $\Gamma_{R}$, r. Тогда поскольку функция $R(x, y, \lambda)$ аналитична внутри контура $\Gamma_{R}$, , то по теореме 3.9 из теоремы Коши следует, что
\[
I_{R, r}=R(x, y, z)+\sum_{j=1}^{M} \operatorname{Res}_{\lambda=\lambda_{j}}\left[\frac{R(x, y, \lambda)}{(\lambda-z)}\right] .
\]

Кроме того, из (3.4.12) и лемм 3.5 и 3.6 мы имеем, что
\[
\begin{array}{c}
|R(x, y, \lambda)| \leqslant \frac{1}{2\left|\lambda^{1 / 2}\right|} e^{-\eta(x-y)}+o(1) \\
\text { при }|\lambda| \rightarrow \infty, \quad \eta=\operatorname{Im} \lambda^{1 / 2}>0 .
\end{array}
\]

Следовательно, в пределе
\[
\lim _{R \rightarrow \infty} \int \frac{R(x, y, \lambda) d \lambda}{(\lambda-z)}=0
\]

и
\[
\lim _{R \rightarrow \infty} I_{R, r}=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma_{r}} \frac{R(x, y, \lambda) d \lambda}{(\lambda-z)},
\]

где $\Gamma_{r}$ – контур $\lim _{R \rightarrow \infty}\left(\Gamma_{R, r}-C_{R}\right)$, показанный на рис. 3.3

Рис. 3.3. Контур $\Gamma_{\boldsymbol{r}}$.

Наконец, мы используем тот факт, что функция $T_{+}(0)$ финитна, как было установлено в разд. 3.3, и выведем, что
\[
\lim _{r \rightarrow 0_{+}} \int_{C_{r}} \frac{R(x, y, \lambda) d \lambda}{(\lambda-z)}=0 .
\]

Если мы скомбинируем (3.4.21) и (3.4.22) с (3.4.18) в пределе при $R \rightarrow \infty, r \rightarrow+0$, то мы получим выражение для ядра резольвенты:
\[
\begin{array}{l}
R(x, y, \lambda)=J(x, y)-\sum_{j=1}^{M} \operatorname{Res}_{\lambda^{2}=\lambda_{j}}\left\{\frac{R(x, y, \lambda)}{(\lambda-z)}\right\}, \\
J(x, y)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{0}^{\infty}\left(R\left(x, y, \lambda_{+}\right)-R\left(x, y, \lambda_{-}\right)\right) \frac{d \lambda}{(\lambda-z)},
\end{array}
\]

где $\lambda_{ \pm}=\lambda \pm i 0$. Следующий шаг состоит в том, чтобы выразить правую часть (3.4.23) через главные функции. Если Im $\lambda^{1 / 2}<0$, то ядро резольвенты определяется равенством
\[
R(x, y, \lambda)=\left(R\left(x, y, \lambda^{*}\right)\right)^{*}, \quad \operatorname{Im} \lambda^{1 / 2}<0,
\]

т ак что
\[
J(x, y)=J_{1}(x, y)+J_{1}^{*}(x, y)
\]

и
\[
\begin{aligned}
J_{1}(x, y) \equiv \frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{\infty}\left[\frac{b}{a}\right. & \left(\lambda^{1 / 2}\right) \psi\left(x, \lambda^{1 / 2}\right) \psi\left(y, \lambda^{1 / 2}\right)+ \\
& \left.\quad+\psi^{*}\left(x, \lambda^{1 / 2}\right) \psi\left(y, \lambda^{1 / 2}\right)\right] \cdot \frac{d \lambda}{\lambda^{1 / 2}(\lambda-z)} .
\end{aligned}
\]

Проще выразить $J$ через функции, определенные на плоскости $k\left(k=\lambda^{1 / 2}\right)$ :
\[
J(x, y)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{b}{a}(k) \psi(x, k) \psi(y, k)+\psi^{*}(x, k) \psi(y, k)\right) \frac{d k}{\left(k^{2}-z\right)} .
\]

При тех условиях, которые были наложены на функцию $Q$ в теореме 3.9 , полюсы функции $R(x, y)$ находятся во взаимнооднозначном соответствии с простыми нулями функции $a$. Поэтому мы сразу можем выписать вычеты:
\[
\operatorname{Res}_{\lambda=\lambda_{j}}\left[\frac{R(x, y, \lambda)}{(\lambda-z)}\right]=\frac{i c_{j} \psi_{j}(x) \psi_{j}(y)}{\left(\lambda_{j}-z\right) \dot{a}_{j}} .
\]

Если использовать нормировочные постоянные
\[
D_{+j}^{-1} \equiv i c_{j}^{-1} \dot{a}_{j}=\left\langle\psi_{j}, \psi_{j}\right\rangle
\]

ядро резольвенты можно выразить через главные функции:
\[
R(x, y, z)=
\]
\[
\begin{aligned}
=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{b}{a}(k) \psi(x, k) \psi(y, k)\right. & \left.+\psi^{*}(x, k) \psi(y, k)\right] \frac{d k}{\left(k^{2}-z\right)}+ \\
& +\sum_{j=1}^{M} D_{+j} \frac{\psi_{j}(x)}{\left(\lambda_{j}-z\right)} .
\end{aligned}
\]

Применив оператор ( $\mathbf{L}-z \mathbf{I}$ ), мы получим разложение единицы, выраженное через главные функции оператора $\mathbf{L}$ :
$\delta(x-y)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{b}{a}(k) \psi(x, k) \psi(y, k)+\psi^{*}(x, k) \psi(y, k)\right] d k+$
\[
+\sum_{j=1}^{M} D_{+j} \psi_{j}(x) \psi_{j}(y)
\]

Появление двух обобщенных собственных функций ${ }_{k} \psi$ и ${ }_{k} \psi^{*}$ в разложении соответствует тому факту, что непрерывный спектр является двукратно вырожденным лебеговым спектром. Если рассматривать эти обобщенные собственные функции просто как обобщенные функции, можно показать, что они не являются ортонормированными в обобщенном смысле. Если расширить определение скалярного произведения $\langle$,$\rangle , распространив его на обобщенные$ функции, то мы найдем, что
\[
\begin{array}{l}
\left\langle{ }_{k} \varphi, \bar{k} \varphi\right\rangle=2 \pi\left(|a(k)|^{2} \delta(k-\bar{k})+a(k) b(k) \delta(k+\bar{k})\right), \\
\left\langle{ }_{k} \psi, \quad \bar{k} \psi\right\rangle=2 \pi\left(|a(k)|^{2} \delta(k-\bar{k})-a(k) b(k) \delta(k+\bar{k})\right), \\
\left\langle{ }_{k} \varphi, \tilde{k} \psi\right\rangle=2 \pi a(k) \delta(k+\bar{k}), \\
\left\langle_{k} \varphi, \Psi_{j}\right\rangle=0, \\
\left\langle_{k} \psi, \psi_{j}\right\rangle=0, \\
\left\langle\psi_{j}, \Psi_{j}\right\rangle=D_{j}^{-1} .
\end{array}
\]

Для получения этих результатов существенно используются соотношение (3.3.46), асимптотическая форма решений Йоста при $|x| \rightarrow \infty$ и формула
\[
\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{e^{ \pm i k x}}{k}\right]= \pm i \pi \delta(k)
\]

которая встречается в теории обобщенных функций.
Если положить $g_{1}(x, k) \equiv \psi(x, k), g_{2}(x, k) \equiv \psi(x,-k)$, то (3.4.32) можно записать в таком виде:
\[
\delta(x-y)=\int_{-\infty}^{\infty} \sum_{i=1}^{2} g_{i}\left(x, \lambda^{1 / 2}\right) g_{i}^{*}\left(y, \lambda^{1 / 2}\right) d \mathbf{F}_{i j}(\lambda)
\]

где
\[
d \mathbf{F}_{i j}(\lambda)=\mathbf{H}_{i j}(\lambda) d \lambda
\]

и
\[
H(\lambda)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{8 \pi \lambda^{1 / 2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & \frac{b}{a}(\lambda)^{\mathrm{I} / 2} \\
\frac{b^{*}}{a^{*}}(\lambda)^{1 / 2} & 1
\end{array}\right), \quad 0 \leqslant \lambda<\infty, \\
\frac{1}{4 \lambda^{1 / 2}}\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right) \sum_{j=1}^{M} D_{j} \delta\left(\lambda-\lambda_{j}\right), & -\infty<\lambda<0 .
\end{array}\right.
\]

Соответствующая эрмитова мера $\mathbf{F}(\lambda)$ называется (матричной) спектральной функцией распределения для оператора $\mathbf{L}$, соответствующей разложению единицы, выраженному через собственные функции $\psi(x, k)$ (см. примечание 1 к разд. 3.4). Ясно, что для ее определения нам понадобится определить множество данных рассеяния
\[
S_{+}=\left\{D_{j}, R_{+}=\frac{b}{a}, \quad \lambda_{j}, j=1, \ldots, M\right\} .
\]

Если мы используем собственные функции $g_{1}(x, k) \equiv \varphi(x, k)$, $g_{2}(x) \equiv \varphi(x,-k)$, то для $\lambda \geqslant 0$ матрица $\mathbf{H}^{2}$ (3.4.36) будет иметь вид
\[
H(\lambda)=\frac{1}{8 \pi \lambda^{1 / 2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & -\frac{b^{*}}{a}\left(\lambda^{1 / 2}\right) \\
-\frac{b}{a^{*}}\left(\lambda^{1 / 2}\right) & 1
\end{array}\right), \quad \lambda \geqslant 0 .
\]

Компоненты матрицы $\mathbf{H}$ для $\lambda<0$ имеют такой же вид, как и в (3.4.36), только вместо $\mathbf{D}_{+j}$ появятся $\mathbf{D}_{-j}$ (разд. 3.3, формула (3.3.37)). В этом случае данные рассеяния будут представлены множеством $S_{-}=\left\{\mathbf{D}_{-j}, R_{-}=-\frac{b^{*}}{a}, \lambda_{j}, j=1, \ldots, M\right\}$. В следующей главе мы покажем, что если компоненты матрицы H удовлетворяют некоторым ограничениям, то потенциал $Q$ может быть единственным образом реконструирован либо по $S_{+}$, либо по $S_{-}$.

Физически процесс рассеяния естественно разделяет собственные функции $\varphi / a$ и $\psi / a$ (см. примечание 2 к разд. 3.4). Для того, чтобы осуществить этот подход, перепишем (3.4.32) так:
\[
\begin{aligned}
\delta(x-y)=\frac{1}{4 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|a|^{2}} \varphi(x, y) \varphi^{*}(y, k) & +\psi(x, k) \psi^{*}(y, k) d k+ \\
& +\sum_{j=1}^{M} D_{+j} \Psi_{j}(x) \psi_{j}(y) .
\end{aligned}
\]

Рассмотрим теперь разложение произвольного элемента $u \in$ $\in L^{2}(\mathbb{R})$ по собственным функциям оператора $\mathrm{L}$. Такое разложение можно получить, используя (3.4.38):
\[
\begin{aligned}
u(x)=\frac{1}{4 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|a|^{2}}\left(\left\langle u,{ }_{k} \varphi\right\rangle \varphi(x, k)\right. & \left.+\left\langle u,{ }_{k} \Psi\right\rangle \psi(x, k)\right) d k+ \\
& +\sum_{j=1}^{M} D_{+j}\left\langle u, \psi_{j}\right\rangle \psi_{j}(x) .
\end{aligned}
\]

Если ввести обозначения
\[
p^{-}(x, k)=\frac{\psi(x, k)}{a(k)}, \quad m^{-}(x, k)=\frac{\varphi(x, k)}{a(k)}
\]

и предположить для простоты, что дискретный спектр отсутствует, (3.4.39) можно переписать в таком виде:
\[
u(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\left(u_{1}(k) m^{-}(x, k)+u_{2}(k) p^{-}(x, k)\right) d \sigma(k),
\]

где $\tilde{u}=\left(u_{1}, u_{2}\right)^{T}, d \sigma(k)=d k / 4 \pi$ и
\[
u_{1}(k)=\int_{-\infty}^{\infty} u(x) m^{-x}(x, k) d x, \quad u_{2}(k)=\int_{-\infty \infty}^{\infty} u(x) p^{-}(x, k) d x .
\]

Здесь $\sigma(k)$-..- спектральная функция распределения для оператора L (если отсутствует дискретный спектр) и можно показать, что $u \in L_{(2)}^{2}(\sigma, R)$, где $L_{(2)}^{2}(\sigma, k)$ – гильбертово пространство $\mathbf{C}^{2}$-значных функций, которые квадратично интегрируемы на $\mathbb{R}$ по отношению к мере $\sigma$. В дальнейшем мы будем писать $L_{x}$ и $L_{\sigma}$ для обозначения пространств $L^{2}(R)$ и $L_{(2)}^{2}(\sigma, R)$ соответственно. Нормы и скалярные произведения в этих пространствах тоже будут различаться индексами $x$ или б. Функционалы в (3.4.42) являются обобщениями обыкновенных преобразований Фурье, которые называются направляющими функционалами Крейна или $\mathbf{L}$-преобразованиями Фурье. Заметим, что эти функционалы приводят к включению обобщенных собственных функций в гильбертово пространство в качестве ядер отображения $\mathbf{T}: u \longmapsto u$, $u \in L_{\boldsymbol{x}}$. Из (3.4. $^{2}$.41) и (3.4.42) следует, что $\mathbf{T}$ является унитарной изометрией, $\mathbf{T} * \mathbf{T}$ равно единичному оператору в $L_{x}$ и $\mathbf{T}$ T* равно единичному onератору в $L_{\sigma}$ :
\[
\|u\|_{x}^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(u_{1}(k) u_{1}^{*}(k)+u_{2}(k) u_{2}^{*}(k)\right) d \sigma(k)=\|u\|_{\sigma}^{0} .
\]

B то же время оператор, получающийся из оператора $\mathbf{L}$ с помощью преобразования $\mathbf{T}$, предельно прост:
\[
\|u\|_{\sigma}^{2}=\langle\lambda u, u\rangle_{x}=\langle\mathbf{L} u, u\rangle_{x}=\left\langle\mathbf{T L T} \mathbf{T}^{*} u, u\right\rangle_{\sigma},
\]

так что
\[
\tilde{\mathbf{L}} \doteq \text { TLT }^{*}=k^{2} \mathbf{I}
\]

является просто умножением на квадрат независимой переменной. Таким образом, оператор $L$ представляет собой тривиальный пример оператора в $L_{x}$, являющегося диагональным в спектральном представлении оператора L. B общем случае оператор A в пространстве $L_{x}$ является диагональным в спектральном представлении оператора $\mathbf{L}$, если для произвольного $u \in L_{x}(\tilde{\mathbf{A}} u)=$ $=\tilde{\mathbf{A}} \tilde{\boldsymbol{u}}$ 。

Рассмотрим теперь частный случай двух операторов $\mathbf{L}, \mathbf{L}_{0}$ в пространстве $L_{x}$, таких что $\mathbf{L}$ унитарно эквивалентен оператору $\mathbf{L}_{0}$. Это означает, что существует унитарный сплетающий оператор U, такой что
\[
\mathbf{L U}=\mathbf{U L}_{\mathbf{0}} .
\]

В этом случае оператор $\mathbf{L}$ может быть спектрально представлен в том же самом пространстве, что и оператор $\mathbf{L}_{0}$. Пусть $\mathbf{T}_{0}: u \rightarrow$ $\longmapsto \tilde{u}_{0}$ – введенная ранее изометрия, определяющая $\mathbf{L}_{0}$-преобразования Фурье.
Тогда
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\mathbf{L}_{0} v, u\right\rangle_{x}=\left\langle\mathbf{T}_{0}\left(\mathbf{L}_{0} v\right), \mathbf{T}_{0} u\right\rangle_{\sigma_{0}}= \\
=\left\langle\left(\mathbf{T}_{0} \mathbf{U}^{*}\right) \mathbf{L}\left(\mathbf{T}_{0} \mathbf{U}^{*}\right)^{*}\left(\mathbf{T}_{0} \mathbf{U}^{*}\right) \mathbf{U} v,\left(\mathbf{T}_{0} \mathbf{U}^{*}\right) \mathbf{U} u\right\rangle_{\sigma_{0}}
\end{array}
\]

и
\[
\left\langle\mathbf{L}_{0} v, u\right\rangle_{x}=\langle\mathbf{L} \mathbf{U} v, \mathbf{U} u\rangle_{x}=\left\langle\left(\mathbf{T L}^{*}\right) \mathbf{T}(\mathbf{U} v), \mathbf{T}(\mathbf{U} u)\right\rangle_{\sigma},
\]

так что
\[
\mathbf{L}_{\sigma} \equiv \mathbf{L}_{\sigma_{0}} \quad \text { и } \quad \mathbf{T}=\mathbf{T}_{0} \mathbf{U}^{*} .
\]

Вполне возможно, что существует более одного сплетающего оператора, определяющего унитарную эквивалентность между операторами $\mathbf{L}$ и $\mathbf{L}_{0}$. Если $\mathbf{V}$ – другой такой оператор, то в соответствии с (3.4.46) он должен удовлетворять соотношению
\[
\left[\mathbf{L}_{0}, \mathbf{N}\right]=0, \quad \text { где } \mathbf{N}=\mathbf{U}^{*} \mathbf{V}
\]

унитарный нормирующий оператор. Заметим, что оператор $\mathbf{N}$ обязан быть диагональным в спектральном представлении оператора $\mathbf{L}_{0}$, поскольку он коммутирует с оператором $\mathbf{L}$ и ограничен,

Для прямой задачи рассеяния, о которой шла речь в предыдущем разделе, $\mathbf{L}_{0} \equiv \mathbf{L}(Q=0)$. Матрица рассеяния может быть получена из этой теории, если ввести в качестве сплетающих операторов операторы Мёллера $\mathbf{U}_{ \pm}$. В этом случае по-прежнему предполагая, что дискретный спектр отсутствует, $\mathbf{L}_{0}$-преобразования Фурье определяются при помощи скалярного произведения произвольных элементов пространства $L_{x}$ с собственными функциями
\[
m_{0}(x, k)=e^{-i k x}, \quad p_{0}(x, k)=e^{i k x} .
\]

Тогда отображение
\[
\begin{array}{l}
\xrightarrow{\mathrm{T}_{0}} u_{0} \xrightarrow{\mathrm{T}^{*}} v \\
u, v \in L_{x}, u_{0} \in L_{\sigma_{0}}
\end{array}
\]

определяет один из волновых операторов Мёллера. Читатель, вероятно, уже догадался, что собственные функции, помеченные знаком «+», определяются таким образом:
\[
m^{+}(x, k)=\frac{\varphi^{*}(x, k)}{a^{*}(k)}, \quad p^{+}(x, k)=\frac{\psi^{*}(x, k)}{a^{*}(k)} .
\]

Тогда из соотношений (3.3.54) и (3.3.55) и обратных к ним имеем
\[
\begin{array}{l}
\psi^{*}=b^{*} \psi^{*}+a^{*} \psi, \\
\psi^{*}=a^{*} \varphi-b \varphi^{*},
\end{array}
\]

так что
\[
\begin{array}{l}
p^{-}=\frac{1}{a} m^{+}-\frac{b^{*}}{a} p^{+}, \\
m^{-}=\frac{1}{a} p^{+}+\frac{b}{a} m^{+},
\end{array}
\]

и (3.4.50) с учетом (3.4.53) можно переписать в следующем виде:
\[
\begin{aligned}
\mathbf{U}_{-} u(x) & =\int_{-\infty}^{\infty}\left[u_{01}(k) m^{-}(x, k)+u_{02}(k) p^{-}(x, k)\right] d \sigma(k)= \\
& =\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\left[\frac{1}{a(k)} u_{01}(k)-\frac{b^{*}}{a}(k) u_{02}(k)\right] p^{+}(x, k)+\right. \\
& \left.+\left[\frac{b}{a}(k) u_{01}(k)+\frac{1}{a(k)} u_{02}(k)\right] m^{+}(x, k)\right\} d \sigma(k)= \\
& =\mathbf{U}_{+} w(x) .
\end{aligned}
\]

Здесь $w$ – такой элемент пространства $L_{x}$, что его представление через оператор $\mathbf{L}_{0}$ формируется из коэффициентов $p^{+}$и $m^{+}$в (3.4.54). Из этого следует, что нормирующий оператор для этого случая, называемый оператором рассеяния,
\[
\mathbf{S}=\mathbf{U}_{+}^{*} \mathbf{U}_{-},
\]

имеет следующее представление через оператор $\mathbf{L}_{0}$ :
\[
\tilde{\mathrm{S}}=\left(\begin{array}{rr}
\frac{1}{a} & -\frac{b^{*}}{a} \\
\frac{b}{a} & \frac{1}{a}
\end{array}\right) .
\]

Эro унитарная матрица $\tilde{S}$, называемая матрицей рассеяния, введенная в разд. 3.3.

Вообще говоря, знания дискретного спектра оператора $\mathbf{L}$ и либо функции $R_{+}(k)=b(k) / a(k)$, либо функции $R_{-}(k)=$ $=-b^{*}(k) / a(k), k \in \mathbb{R}$, достаточно для полного определения матрицы $\tilde{S}$, если функция $Q$ удовлетворяет условию $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(v)|(1+$ $\left.+v^{2}\right) d v<\infty$. Для того, чтобы это доказать, введем функцию
\[
h(k)=\prod_{j=1}^{M} \frac{\left(k-i \eta_{j}\right)}{\left(k+i \eta_{j}\right)} a^{-1}(k), \quad \operatorname{Im} k \geqslant 0,
\]

где $\left\{\lambda_{j}=-\eta_{i}^{2}, \eta_{j}>0: j=1, \ldots, M\right\}$ – дискретный спектр оператора $\mathbf{L}$ и
\[
a^{-1}(k)=1+o(1) \text { при }|k| \rightarrow \infty, \quad \operatorname{Im} k \geqslant 0 .
\]

Тогда, поскольку функция $h(k)$ аналитична при $\operatorname{Im} k>0$ и непрерывна при $\operatorname{Im} k \geqslant 0$, из общей формы теоремы Коши следует, что
\[
\begin{array}{r}
\log h(k)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma_{1}} \frac{\log h(z)}{(z-k)} d z \underset{R \rightarrow \infty}{\rightarrow} \frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\log h(x) d x}{(x-k)}, \\
\operatorname{Im} k>0,
\end{array}
\]
\[
0=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma_{1}} \frac{\log h^{*}(z) d z}{(z-k)} \underset{R \rightarrow \infty}{\rightarrow} \frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\log h^{*}(x) d x}{(x-k)},
\]
\[
\operatorname{Im} k>0
\]

Контуры $\gamma_{1}, \gamma_{2}$, показаны на рис. 3.4. Комбинируя два выражения, получаем формулу
\[
a^{-1}(k)=\prod_{j=1}^{M} \frac{k+i \eta_{j}}{k-i \eta_{j}} \exp \frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\log |a(x)|^{-2}}{(k-x)} d x, \quad \operatorname{Im} k>0 .
\]

Это равенство можно продолжить на вещественную ось плоскости $k$, если мы заменим $k$ на $y+i \varepsilon$ и перейдем к пределу по $\varepsilon \rightarrow 0$, после чего интеграл станет интегралом в смысле главного значения. Соотношение (3.3.58) можно записать в виде
\[
|a|^{-2}=1-\frac{b b^{*}}{a a^{*}} .
\]

Следовательно, если определено $R_{+}$или $R_{-}$, то $|a|^{-2}$ определяется из формулы (3.4.49) и $a^{-1}$ – из (3.4.61). Кроме того, из (3.4.62) следует, что
\[
|a|^{-2}=1-R_{+} R_{-}^{*}|a|^{-2}
\]

и из (3.3.79) и (3.4.29) следует, что
\[
D_{-j}^{-1} D_{+j}^{-1}=-\dot{a}_{j}^{2},
\]

так что $S_{+}$определяет $S_{-}$, и наоборот. Эти результаты, относящиеся к прямой задаче рассеяния, могут быть сведены в следующую теорему.

Рис. 3.4. Контуры $\gamma_{1}, \gamma_{2}, C_{1}$ и $C_{2}$.

Теорема 3.10. Eсли $\int_{-\infty}^{\infty}|Q(v)|\left(1+v^{2}\right) d v<\infty$, то каждое из множеств $S_{+}, S_{-}$данных рассеяния определено единственным образом. Матрица рассеяния $\tilde{\mathbf{S}}$, которая унитарна и непрерывна, определяется единственным образом любым из упомянутых множеств данных рассеяния. Функции $T_{ \pm} \equiv a^{-1}$ определяются по формуле
\[
\begin{array}{c}
a^{-1}(k)=\prod_{j=1}^{M}\left(\frac{k+i \eta_{j}}{k-i \eta_{j}}\right) \exp \frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\log |a(x)|^{-2}}{(k-x)} d x, \quad \operatorname{Im} k>0, \\
|a(x)|^{-2}=1-\left|R_{+}(x)\right|^{2}=1-\left|R_{-}(x)\right|^{2} .
\end{array}
\]

Это равенство можно продолжить на вещественную ось плоскости $k$, после чего интеграл становится интегралом в смысле главного значения.

Особый интерес для метода обратной задачи представляют сплетающие операторы, осуществляющие преобразования между собственными функциями операторов $\mathbf{L}$ и $\mathbf{L}_{0} \equiv \mathbf{L}(Q=0)$. В литературе они называются операторами преобразования (Агранович и Марченко [1963 ], Кэй и Мозес [1955, 1956]), хотя Фаддеев [1963] применил это название для сплетающих операторов, связанных с собственными функциями, определенными при помоци регулярных граничных условий. Представление для изоспектрального оператора Шрёдингера легко получается из свойств решений Йоста, установленных в разд. 3.3. Если определить $l(x, k) \equiv$ $\equiv \varphi(x, k)-\exp (-i k x)$, то получим, что функция ${ }_{x} l$ аналитична при $\operatorname{Im} k>0$ и удовлетворяет условиям
\[
\left|{ }_{x} l(k)\right|<\frac{K e^{-\eta x}}{|k|}, \quad k=\xi+i \eta, \quad \eta>0,
\]

так что ${ }_{x} l \in L^{2}(\mathbb{R})$ и
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left|{ }_{x} l(\xi+i \eta)\right|^{2} d \xi=O\left(e^{-2 \eta x}\right) .
\]

Таким образом, по теореме Титчмарша [1948] (теорема 96) существует преобразование Фурье
\[
\begin{array}{l}
K_{+}(x, y)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\psi(x, k)-e^{i k x}\right) e^{-i k y} d k, \quad y \geqslant x, \\
K_{-}(x, y)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\varphi(x, k)-e^{-i k x}\right) e^{j k y} d k, \quad x \leqslant y .
\end{array}
\]

Если обратить (3.4.67), то получатся операторы преобразования
\[
\begin{array}{c}
\psi(x, k)=\mathbf{U}_{\psi} e^{i k x} \equiv e^{i k x}+\int_{x}^{\infty} K_{+}(x, y) e^{i k y} d y \\
\varphi(x, k)=\mathbf{U}_{\uparrow} e^{-i k x} \equiv e^{-i k x}+\int_{-\infty}^{x} K_{-}(x, y) e^{-i k y} d y,
\end{array}
\]

определенные при $\operatorname{Im} k>0$, функции ${ }_{x} K_{+},{ }_{x} K_{-}$принадлежат пространству $L^{2}$ при $y \geqslant x$ и $y \leqslant x$ соответственно. Заметим, что из (3.4.67) следует, что ядра – вещественные функции.

Существование и единственность операторов преобразования (3.4.68), так же, как и детальные свойства ядер, можно установить, если предположить, что решение Йоста $\psi$, например, имеет форму (3.4.68). Для доказательства существования можно воспользоваться методом, развитым Марченко и Аграновичем [1963], и получить интегральное уравнение Вольтерры для ядра $K_{+}$,

а затем использовать метод последовательных приближений. Из (3.3.10) и (3.4.68) получаем
\[
\begin{aligned}
\int_{x}^{\infty} K_{+}(x, y) e^{i k y} d y & =\int_{x}^{\infty} Q(v) \frac{\sin k(v-x)}{k} e^{i k v} d v+ \\
& +\int_{x}^{\infty} Q(v) d v \int_{x}^{\infty} \frac{\sin k(v-x)}{k} e^{i k u} K_{+}(x, u) d u \equiv J_{1}+J_{2} .
\end{aligned}
\]

Используя формулы
\[
\begin{array}{l}
\frac{\sin k(v-x)}{\lambda} e^{i k u}=\frac{1}{2} \int_{x}^{20-x} e^{i k s} d s, \\
\frac{\sin k(v-x)}{k} e^{i k u}=\frac{1}{2} \int_{x-v+u}^{v-x+u} e^{i k s} d s
\end{array}
\]

и изменив порядок интегрирования в интегралах $J_{1}$ и $J_{2}$, получим:
\[
\begin{aligned}
J_{1}= & \frac{1}{2} \int_{x}^{\infty} Q(v) d v \int_{x}^{2 v-x} e^{i k s} d s= \\
= & \left\{\frac{1}{2} \int_{1 / 2}^{\infty} e^{i k s} d s\right\}\left\{\int_{(1 / 2)}^{\infty} Q(x) d v\right\} . \\
J_{2}= & \int_{x}^{\infty} Q(v) d v \int_{0}^{\infty} K_{+}(v, u) d u \frac{1}{2} \int_{x-v+u}^{v-x+u} e^{i k s} d s= \\
= & \int_{x}^{\infty} e^{i k s}\left[\frac{1}{2} \int_{x}^{(1 / 2)} Q(s) d s \int_{s+v-x}^{(x+s)} K_{+}(v, u) d u+\right. \\
& \left.+\frac{1}{2} \int_{(1 / 2)}^{\infty} Q(v) d v \int_{0}^{s+v-x} K_{+}(v, u) d u\right] .
\end{aligned}
\]

Поскольку мы предположили, что $P_{0}(x)<\infty$, то первое изменение порядка интегрирования, как легко доказать, вполне законно. Второе же изменение можно оправдать только после доказательства существования. Подставляя выражения для интегралов $J_{1}, J_{2}(3.4 .72)$ и принимая во внимание единственность интегрального представления Фурье, мы приходим к следующему интегральному уравнению для ядра $K_{+}(x, y)$ :
\[
\begin{array}{l}
K_{+}(x, y)=\frac{1}{2} \int_{(1 / 2)}^{\infty} Q(v) d v+ \\
+\frac{1}{2} \int_{x}^{(1 / 2)} Q(v) d v \int_{y+x-v)}^{y+v-x} K_{+}(v, u) d u+ \\
+\frac{1}{2} \int_{(1 / 2)}^{\infty} Q(v) d v \int_{(x+y)}^{g+v+x} K_{+}(v, u) d u,-\infty<x \leqslant y<\infty .
\end{array}
\]

Предположим, что решение имеет вид
\[
K_{+}(x, y)=\sum_{m=0}^{\infty} K_{m}(x, y),
\]

где
\[
K_{0}(x, y)=\frac{1}{2} \int_{(1 / 2)}^{\infty} Q(v) d v
\]

и
\[
\begin{aligned}
K_{m+1}(x, y) & =\frac{1}{2} \int^{(1 / 2)} Q(v) d v \int_{y+x-v}^{(x+y)} K_{m}(v, u) d u+ \\
& +\frac{1}{2} \int_{(1 / 2)}^{\infty+v-x} Q(v) d v \int_{0}^{y+v-x} K_{m}(v, u) d u, \quad m=0,1, \ldots
\end{aligned}
\]

Докажем теперь по индукции, что
\[
\left|K_{m}(x, y)\right| \leqslant R_{0}\left[\frac{1}{2}(x+y)\right] \frac{1}{m !} N^{m}(x), \quad m=0,1, \ldots,
\]

где
\[
N_{t}=\int_{t}^{\infty}(v-x)|Q(v)| d v \quad \text { и } \quad R_{i}(x)=\int_{x}^{\infty}|v|^{i} Q(v) d v .
\]

Из (3.4.74) имеем
\[
\begin{array}{l}
\left|K_{m+1}(x, y)\right| \leqslant \\
\leqslant \frac{1}{2 m !} R_{0}\left[\frac{1}{2}(x+y)\right]\left\{\int_{x}^{(1 / 2)}(N(v))^{m}|Q(v)|(v-x) d v\right\}+ \\
+\int_{(1 / 2)}^{\infty}\left\{(N(v))^{m}|Q(v)| \frac{1}{2}(y-x) d v\right\} \leqslant \\
\leqslant \frac{1}{2 m !} R_{0}\left[\frac{1}{2}(x+y)\right] \int_{x}^{\infty}(N(v))^{m}|Q(v)|(v-x) d v= \\
=\frac{1}{(2 m+1) \mid} R_{0}\left[\frac{1}{2}(x+y)\right]\left|V^{m+1}(x)\right| . \\
\end{array}
\]

Из этого результата ясно, что
\[
\left|K_{+}(x, y)\right| \leqslant \frac{1}{2} R_{0}\left(\frac{1}{2}(x+y)\right) \exp N(x) .
\]

Теперь очевидно, что $K_{+}$неограничена при $x \rightarrow-\infty$.
Изменение порядка интегрирования во втором случае оправдывается теоремой Фубини, поскольку для $x>a>-\infty$
\[
\begin{aligned}
\int_{x}^{\infty}\left|K_{+}(x, y)\right| d y & \leqslant \frac{1}{2} \exp N(x) \int_{x}^{\infty} d y \int_{(1 / 2)}^{\infty}|Q(s)| d s= \\
& =\exp N(x) \int_{x}^{\infty} \int_{y}^{\infty}|Q(x)| d s d y= \\
& =\exp N(x) \int_{x}^{\infty}(y-x)|Q(y)| d y=N(x) \exp N(x)
\end{aligned}
\]

и, таким образом,
\[
\begin{array}{c}
\int_{x}^{\infty} d y \int_{y}^{\infty}|Q(s)| d s \int_{s}^{\infty}\left|K_{+}(s, v)\right| d v \leqslant \int_{x}^{\infty} d y \int_{y}^{\infty}|Q(s)| N(s) \exp N(s)= \\
=\int_{x}^{\infty}(s-x)|Q(s)| N(s) \exp [N(s)) d s= \\
=\exp [N(x)]\{N(x)-1\}<\infty .
\end{array}
\]

Теперь можно показать, что функция, определяемая правой частью (3.4.68), удовлетворяет уравнению Шрёдингера с корректными граничными условиями на $\psi$. Функция $\psi$ – единственная функция теоремы 3.1.

Непрерывная дифференцируемость $K_{+}$следует из (3.4.73). В самом деле, сразу получается
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d x} K_{+}(x, x)=-\frac{1}{2} Q(x), \\
K_{+2 x}(x, y)-Q(x) K_{+}(x, y)-K_{+2 y}(x, y)=0, \quad y<x,
\end{array}
\]

при условии, что функция $Q$ дифференцируема. Из уравнения, которому удовлетворяет функция $K_{+}$, дифференцированием граничных условий получается
\[
\lim _{x+y \rightarrow \infty} K_{+x}(x, y)=0, \quad \lim _{x+y \rightarrow \infty} K_{+t}(x, y)=0 .
\]

Задача с начальными условиями (3.4.79) есть характеристическая задача или задача Гурса. Здесь мы сразу приходим к получению решения методом Римана (для доказательства существования и единственности решения задачи Гурса кроме метода Римана можно использовать метод Гарабедяна [1964]).

В работе Фаддеева [1964] и в других более новых работах по обратной задаче рассеяния или по спектральным преобразованиям используют представление
\[
\psi(x, k)=e^{i k x}\left(1+\int_{0}^{\infty} B_{+}(x, y) e^{2 i k y} d y\right)
\]

и аналогичное представление для функции $\varphi$. Связь с представлением Левина (3.4.68) выражается соотношением $K_{+}(x, y)=$ $=(1 / 2) B_{+}(x,(1 / 2)(x-y))$. Мы используем здесь представление Левина, поскольку это удобнее для изложения материала гл. 6.