Для последней модели с ее решениями-монополями в формуле (7.9.31) $\lambda=0$, так что точная форма потенциала не отражается на решения. В действительности мы не решали настоящее уравнение Клейна-Гордона. Поле Ф появилось почти таким же образом, как калибровочные поля $A_{a}$, поэтому естественно спросить, не существует ли формулировки, в которой оба эти поля в точности однотипны? Оказывается, что так оно и есть.

Рассмотрим чистую SU (2)-теорию Янга-Миллса в $R^{4}$ и остановимся на решения $x$, которые независимы от координаты $x_{4}$. Полевой тензор $G_{\mu v}(\mu, v=1, \ldots, 4)$ в трехмерном подпространстве с координатами $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ имеет компоненты $\mathbf{G}_{a b}(a, b=$ $=1,2,3$ ), задаваемые формулами
\[
\mathbf{G}_{a b}=\mathbf{A}_{b, a}-\mathbf{A}_{a, b}+\mathbf{A}_{a} \wedge \mathbf{A}_{b}
\]

а в случае $\mu=4$ компоненты имеют вид
\[
\mathbf{G}_{a s}=\mathbf{A}_{a, 4}-\mathbf{A}_{\mathbf{4}, a}-\mathbf{A}_{\mathbf{4}} \wedge \mathbf{A}_{a}=-D_{a} \mathbf{A}_{\mathbf{4}},
\]

тогда как $\mathbf{A}_{a, 4}=0$. Свободные уравнения Янга-Миллса выражаются следующим образом:
\[
\mathbf{G}_{\mu v_{q}
u}+\mathbf{A}_{v} \wedge \mathrm{G}_{\mu
u}=0 .
\]

Они распадаются на два набора уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{G}_{n b, b}+\mathbf{A}_{b} \wedge \mathbf{G}_{a b}=-\mathbf{A}_{\mathbf{s}} \wedge D_{a} \mathbf{A}_{\mathbf{4}}, \\
\mathbf{G}_{\boldsymbol{a} a, a}+\mathbf{A}_{a} \wedge \mathbf{G}_{\mathbf{4} a}=0 .
\end{array}
\]

Если мы положим
\[
\boldsymbol{\Phi}=-\mathbf{A}_{4},
\]

то увидим, что эти уравнения представляют собой не что иное, как уравнения (7.9.28), (7.9.29) с $V=0$. Это означает, что на самом деле монополи являются решениями четырехмерных уравнений Янга-Миллса. Поэтому мы можем предположить, что у этих уравнений существуют более общие кинкоподобные решения. На самом деле так и есть, и можно построить точные $N$-кинковые решения этих уравнений, называемые либо инстантонами, либо псевдонастицами. Мы не собираемся обсуждать здесь вопрос о том, почему такие инстантонные решения столь важны в физике частиц, но можем лишь сказать, что они относятся к явлениям, анализ которых невозможен в рамках обычной теории возмущений. Завершим это короткое знакомство с «солитонами» физики частиц объяснением того, что топологические понятия, которые мы так широко применяли, могут помочь нам определить инстантонные решения для уравнений Янга-Миллса. Потребуем, чтобы для решений уравнений Янга-Миллса с конечной энергией выполнялось соотношение
\[
\|G\| \rightarrow 0 \text { при }|x| \rightarrow \infty .
\]

Как и в случае вихрей, это требование не означает, что калибровочные поля $A_{\mu}$ должны быть асимптотически тривиальными, но только лишь то, что они должны асимптотически быть чистыми калибровочными преобразованиями вида
\[
A_{\mu}=i g(x) g^{-1}(x)_{, \mu}+O\left(|x|^{-3-\varepsilon}\right), \quad|x| \rightarrow \infty .
\]

Этим определяется отображение $g: \mathrm{S}^{3} \rightarrow \mathrm{SU}(2)\left(\cong \mathrm{S}^{3}\right.$ из (7.9.19)), которое имеет целый топологический заряд. Для этого заряда можно указать интегральную формулу, аналогичную формулам (7.5.35) и (7.9.30):
\[
N=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int_{R^{4}} d^{4} x \mathrm{G}_{\mu
u} \cdot \tilde{\mathrm{G}_{\mu v}}
\]

где тензор $\tilde{\mathrm{G}}_{\mu,
u}$ определяется формулой
\[
\widetilde{G}_{\mu v}=\frac{1}{2} e_{\mu v \sigma \tau} G_{\sigma \tau} .
\]

и называется дуальным полевым тензором. Этот результат позволяет записать функцнонал действия в виде
\[
\mathscr{E}_{G}=\frac{1}{8}\left|\mathrm{G}_{\mu v} \pm \tilde{\mathrm{G}}_{\mu
u}\right|^{2} \mp \frac{1}{4} \mathrm{G}_{\mu
u} \tilde{\mathbf{G}}_{\mu
u}
\]

и мы получим оценку
\[
\int d^{4} x \mathscr{E}_{G} \geqslant \pm \pi^{2} N
\]

Эта оценка является точной в том и только в том случае, когда
\[
\mathrm{G}_{\mu v}=\tilde{\mathrm{G}}_{\mu v}, \quad \varepsilon N>0, \quad \varepsilon= \pm 1 .
\]

Эти уравнения известны как автодуальные уравнения Янгамиллса.

Если мы ищем решение с единичным зарядом, то оно будет иметь асимптотическое поведение (7.9.87), где $g: S^{a} \rightarrow S U(2)$ с единичным зарядом. Тождественное отображение $I: \mathrm{S}^{3} \rightarrow$ $\rightarrow S U(2) \cong \mathbf{S}^{3}$ определяется формулой
\[
I(x)=\frac{x_{4}+i \boldsymbol{\alpha} \cdot \mathbf{x}}{r}, \quad r^{2}=x_{4}^{2}+|\mathbf{x}|^{2},
\]

и имеет единичный заряд. Это подсказывает, что решение нужно искать в внде
\[
A_{\mu}=\text { if }(r) I(x)\left(I^{-1}(x)\right), \mu,
\]

содержащем единственную функцию $f(r)$. Из (7.9.94) следует, что векторы $\mathbf{A}_{\mu}$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A}_{1}=\left(x_{4},-x_{3}, x_{2}\right) a(r) \\
\mathbf{A}_{2}=\left(x_{3}, x_{4},-x_{1}\right) a(r) \\
\mathbf{A}_{3}=\left(-x_{2}, x_{1}, x_{1}\right) a(r) \\
\mathbf{A}_{4}=\left(-x_{1},-x_{2},-x_{3}\right) a(r),
\end{array}
\]

где
\[
a(r)=2 f(r) r^{-2} .
\]

Подстановка этих выражений в (7.9.92) с $\varepsilon=1$ дает уравнение
\[
\frac{1}{4} a^{\prime}(r)=-a^{2}(r)
\]

интегрирование которого приводит к результату
\[
a(r)=\frac{2}{\left(r^{2}+c\right)},
\]

где $c$ – произвольная постоянная. Окончательная форма для $A_{\mu}$ принимает тогда вид
\[
A_{\mu}=\frac{i r^{2}}{r^{2}+c} I(x)\left(I^{-1}(x)\right), \ldots
\]

Это решение представляет собой знаменитое одноинстантонное решение Белавина, Полякова, Тяпкина и Шварца (БПТШ).

Исследуя и обобщая структуру векторных уравнений (7.9.95)(7.9.98), можно построить и более общие решения. Эти уравнения записываются в виде
\[
\mathbf{A}_{\mathrm{v}}=-\eta_{\mu v} x^{\mu^{\mu}} a(r),
\]

где постоянные векторы $\boldsymbol{\eta}_{\mu
u}$ определены самими уравнениями (7.9.103) и носят название матриц $X$ уфта. Если ввести параметризацию
\[
\mathbf{A}_{v}=-\tilde{\boldsymbol{\eta}}_{\mu v} \partial^{\mu} \ln \varphi,
\]

где коэффициенты $\tilde{\eta}_{\mu v}$ определяются выражением

то формулы (7.9.95)-(7.9.98) заменяются следующими:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A}_{1}=\left(\varphi, 4, \varphi, 8,-\varphi_{2}\right) \varphi^{-1}, \\
\mathbf{A}_{2}=(-\varphi, 3, \varphi, 4, \varphi, 1) \varphi^{-1}, \\
\mathbf{A}_{3}=\left(\varphi_{2},-\varphi, 1, \varphi_{14}\right) \varphi^{-1}, \\
\mathbf{A}_{\mathbf{4}}=\left(-\varphi_{1},-\varphi_{, 2},-\varphi_{, 3}\right) \varphi^{-1} .
\end{array}
\]

Прямая подстановка показывает, что (7.9.106)-(7.9.109) определяют решение в том случае, если ч удовлетворяет линейному волновому уравнению
\[
\Phi=\varphi_{111}+\varphi_{, 82}+\varphi_{, 8 s}+\varphi_{, 44}=0 .
\]

Если мы хотим, чтобы решение зависело только от $r$, то уравнение для такого решения мы сможем свести к виду
\[
\varphi^{\prime \prime}+\frac{3}{r} \varphi^{\prime}=0 .
\]

Сингулярное решение этого уравнения имеет вид
\[
\varphi=c_{0}+c_{1} r^{-2} \text {, }
\]

и можно показать, что решение, отвечающее такому выбору, является инстантоном с зарядом, равным 1 , калибровочно эквивалентным БПТШ-решению.

Более общее решение уравнения (7.9.110), получающееся из принципа суперпозиции для линейных уравнений, представляется в виде
\[
{ }_{k} \Phi=c_{0}+\sum_{j=1}^{k} \frac{c_{j}}{\left|\left(x-x_{j}\right)\right|^{2}},
\]

где $x_{i}$ – произвольное множество точек в $\mathbb{R}^{4}$. Можно показать, что поле, отвечающее ${ }_{k}$ Ф, имеет заряд, равный $k$, и является $k$-инстантонным решением.

В этой главе мы попытались дать представление о том, каким образом кинк-решения возникли и продолжают возникать в различных областях физики и техники. Особенно подробно мы остановились на уравнении СГ. Этот случай особенно важен, поскольку оно часто встречается в приложениях и поскольку, как было обнаружено в предыдуших разделах, оно обладает свойством полной интегрируемости. Однако следует помнить, что мы в основном рассматривали уравнение СГ с тривиальными граничными условиями и в координатах светового конуса. В обычных лабораторных координатах, на конечном интервале и с граничными условиями, подобными указанным в (7.8.99), изложенная выше теория мало что дает.

Особое ударение было сделано на существовании топологически сохраняемых величин, поскольку благодаря им можно, с одной стороны, распознавать потенциально интегрируемые уравнения, а с другой – конструировать точные кинк-решения.

Наши примеры были выбраны из широкого круга физических теорий, но это никоим образом не исчерпывает всех существующих возможностей. В последующих главах изучение некоторых из этих примеров будет продолжено и, кроме того, будут рассмотрены новые приложения уравнения СГ в метеорологии.