Для последней модели с ее решениями-монополями в формуле (7.9.31) $\lambda =0$, так что точная форма потенциала не отражается на решения. В действительности мы не решали настоящее уравнение Клейна-Гордона. Поле Ф появилось почти таким же образом, как калибровочные поля $A_a$, поэтому естественно спросить, не существует ли формулировки, в которой оба эти поля в точности однотипны? Оказывается, что так оно и есть.

Рассмотрим чистую SU (2)-теорию Янга-Миллса в $R^4$ и остановимся на решения $x$, которые независимы от координаты $x_4$. Полевой тензор $G_{\mu v}(\mu ,v=1,\dots ,4)$ в трехмерном подпространстве с координатами $(x_1,x_2,x_3)$ имеет компоненты ${\mathbf{G}}_{ab}(a,b=$ $=1,2,3$ ), задаваемые формулами
$${\mathbf{G}}_{ab}={\mathbf{A}}_{b,a}-{\mathbf{A}}_{a,b}+{\mathbf{A}}_a\wedge {\mathbf{A}}_b$$

а в случае $\mu =4$ компоненты имеют вид
$${\mathbf{G}}_{as}={\mathbf{A}}_{a,4}-{\mathbf{A}}_{\mathbf{4},a}-{\mathbf{A}}_{\mathbf{4}}\wedge {\mathbf{A}}_a=-D_a{\mathbf{A}}_{\mathbf{4}},$$

тогда как ${\mathbf{A}}_{a,4}=0$. Свободные уравнения Янга-Миллса выражаются следующим образом:
$${\mathbf{G}}_{\mu v_{q}u}+{\mathbf{A}}_v\wedge {\mathrm{G}}_{\mu u}=0.$$

Они распадаются на два набора уравнений:
$$\begin{array}{c}{\mathbf{G}}_{nb,b}+{\mathbf{A}}_b\wedge {\mathbf{G}}_{ab}=-{\mathbf{A}}_{\mathbf{s}}\wedge D_a{\mathbf{A}}_{\mathbf{4}},\\ {\mathbf{G}}_{\mathit{a}a,a}+{\mathbf{A}}_a\wedge {\mathbf{G}}_{\mathbf{4}a}=0.\end{array}$$

Если мы положим
$$\mathbf{\Phi }=-{\mathbf{A}}_4,$$

то увидим, что эти уравнения представляют собой не что иное, как уравнения (7.9.28), (7.9.29) с $V=0$. Это означает, что на самом деле монополи являются решениями четырехмерных уравнений Янга-Миллса. Поэтому мы можем предположить, что у этих уравнений существуют более общие кинкоподобные решения. На самом деле так и есть, и можно построить точные $N$-кинковые решения этих уравнений, называемые либо инстантонами, либо псевдонастицами. Мы не собираемся обсуждать здесь вопрос о том, почему такие инстантонные решения столь важны в физике частиц, но можем лишь сказать, что они относятся к явлениям, анализ которых невозможен в рамках обычной теории возмущений. Завершим это короткое знакомство с «солитонами» физики частиц объяснением того, что топологические понятия, которые мы так широко применяли, могут помочь нам определить инстантонные решения для уравнений Янга-Миллса. Потребуем, чтобы для решений уравнений Янга-Миллса с конечной энергией выполнялось соотношение
$$\Vert G\Vert \to 0\text{ при }|x|\to \mathrm{\infty }.$$

Как и в случае вихрей, это требование не означает, что калибровочные поля $A_{\mu }$ должны быть асимптотически тривиальными, но только лишь то, что они должны асимптотически быть чистыми калибровочными преобразованиями вида
$$A_{\mu }=ig(x)g^{-1}(x{)}_{,\mu }+O\left(|x{|}^{-3-\epsilon }\right),|x|\to \mathrm{\infty }.$$

Этим определяется отображение $g:{\mathrm{S}}^3\to \mathrm{SU}(2)(\cong {\mathrm{S}}^3$ из (7.9.19)), которое имеет целый топологический заряд. Для этого заряда можно указать интегральную формулу, аналогичную формулам (7.5.35) и (7.9.30):
$$N=\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_{R^4}{d}^{4}x{\mathrm{G}}_{\mu u}\cdot \widetilde{{\mathrm{G}}_{\mu v}}$$

где тензор ${\tilde{\mathrm{G}}}_{\mu ,u}$ определяется формулой
$${\tilde{G}}_{\mu v}=\frac{1}{2}{e}_{\mu v\sigma \tau }{G}_{\sigma \tau }.$$

и называется дуальным полевым тензором. Этот результат позволяет записать функцнонал действия в виде
$${\mathcal{E}}_G=\frac{1}{8}{|{\mathrm{G}}_{\mu v}\pm {\tilde{\mathrm{G}}}_{\mu u}|}^2\mp \frac{1}{4}{\mathrm{G}}_{\mu u}{\tilde{\mathbf{G}}}_{\mu u}$$

и мы получим оценку
$$\int d^{4}x{\mathcal{E}}_G⩾\pm {\pi }^{2}N$$

Эта оценка является точной в том и только в том случае, когда
$${\mathrm{G}}_{\mu v}={\tilde{\mathrm{G}}}_{\mu v},\epsilon N>0,\epsilon =\pm 1.$$

Эти уравнения известны как автодуальные уравнения Янгамиллса.

Если мы ищем решение с единичным зарядом, то оно будет иметь асимптотическое поведение (7.9.87), где $g:S^a\to SU(2)$ с единичным зарядом. Тождественное отображение $I:{\mathrm{S}}^3\to$ $\to SU(2)\cong {\mathbf{S}}^3$ определяется формулой
$$I(x)=\frac{x_4+i\mathit{\alpha }\cdot \mathbf{x}}{r},r^2=x_4^2+|\mathbf{x}{|}^2,$$

и имеет единичный заряд. Это подсказывает, что решение нужно искать в внде
$$A_{\mu }=\text{ if }(r)I(x)(I^{-1}(x)),\mu ,$$

содержащем единственную функцию $f(r)$. Из (7.9.94) следует, что векторы ${\mathbf{A}}_{\mu }$ имеют вид
$$\begin{array}{l}{\mathbf{A}}_1=(x_4,-x_3,x_2)a(r)\\ {\mathbf{A}}_2=(x_3,x_4,-x_1)a(r)\\ {\mathbf{A}}_3=(-x_2,x_1,x_1)a(r)\\ {\mathbf{A}}_4=(-x_1,-x_2,-x_3)a(r),\end{array}$$

где
$$a(r)=2f(r)r^{-2}.$$

Подстановка этих выражений в (7.9.92) с $\epsilon =1$ дает уравнение
$$\frac{1}{4}{a}^{\prime }(r)=-a^2(r)$$

интегрирование которого приводит к результату
$$a(r)=\frac{2}{(r^2+c)},$$

где $c$ — произвольная постоянная. Окончательная форма для $A_{\mu }$ принимает тогда вид
$$A_{\mu }=\frac{i{r}^2}{r^2+c}I(x)(I^{-1}(x)),\dots$$

Это решение представляет собой знаменитое одноинстантонное решение Белавина, Полякова, Тяпкина и Шварца (БПТШ).

Исследуя и обобщая структуру векторных уравнений (7.9.95)(7.9.98), можно построить и более общие решения. Эти уравнения записываются в виде
$${\mathbf{A}}_{\mathrm{v}}=-{\eta }_{\mu v}{x}^{{\mu }^{\mu }}a(r),$$

где постоянные векторы ${\mathit{\eta }}_{\mu u}$ определены самими уравнениями (7.9.103) и носят название матриц $X$ уфта. Если ввести параметризацию
$${\mathbf{A}}_v=-{\tilde{\mathit{\eta }}}_{\mu v}{\partial }^{\mu }\ln \phi ,$$

где коэффициенты ${\tilde{\eta }}_{\mu v}$ определяются выражением

то формулы (7.9.95)-(7.9.98) заменяются следующими:
$$\begin{array}{l}{\mathbf{A}}_1=(\phi ,4,\phi ,8,-{\phi }_2){\phi }^{-1},\\ {\mathbf{A}}_2=(-\phi ,3,\phi ,4,\phi ,1){\phi }^{-1},\\ {\mathbf{A}}_3=({\phi }_2,-\phi ,1,{\phi }_{14}){\phi }^{-1},\\ {\mathbf{A}}_{\mathbf{4}}=(-{\phi }_1,-{\phi }_{,2},-{\phi }_{,3}){\phi }^{-1}.\end{array}$$

Прямая подстановка показывает, что (7.9.106)-(7.9.109) определяют решение в том случае, если ч удовлетворяет линейному волновому уравнению
$$\mathrm{\Phi }={\phi }_{111}+{\phi }_{,82}+{\phi }_{,8s}+{\phi }_{,44}=0.$$

Если мы хотим, чтобы решение зависело только от $r$, то уравнение для такого решения мы сможем свести к виду
$${\phi }^{\prime \prime }+\frac{3}{r}{\phi }^{\prime }=0.$$

Сингулярное решение этого уравнения имеет вид
$$\phi =c_0+c_1{r}^{-2}\text{, }$$

и можно показать, что решение, отвечающее такому выбору, является инстантоном с зарядом, равным 1 , калибровочно эквивалентным БПТШ-решению.

Более общее решение уравнения (7.9.110), получающееся из принципа суперпозиции для линейных уравнений, представляется в виде
$${}_k\mathrm{\Phi }=c_0+\sum _{j=1}^k\frac{c_j}{{\left|(x-x_j)\right|}^2},$$

где $x_i$ — произвольное множество точек в ${\mathbb{R}}^4$. Можно показать, что поле, отвечающее ${}_k$ Ф, имеет заряд, равный $k$, и является $k$-инстантонным решением.

В этой главе мы попытались дать представление о том, каким образом кинк-решения возникли и продолжают возникать в различных областях физики и техники. Особенно подробно мы остановились на уравнении СГ. Этот случай особенно важен, поскольку оно часто встречается в приложениях и поскольку, как было обнаружено в предыдуших разделах, оно обладает свойством полной интегрируемости. Однако следует помнить, что мы в основном рассматривали уравнение СГ с тривиальными граничными условиями и в координатах светового конуса. В обычных лабораторных координатах, на конечном интервале и с граничными условиями, подобными указанным в (7.8.99), изложенная выше теория мало что дает.

Особое ударение было сделано на существовании топологически сохраняемых величин, поскольку благодаря им можно, с одной стороны, распознавать потенциально интегрируемые уравнения, а с другой — конструировать точные кинк-решения.

Наши примеры были выбраны из широкого круга физических теорий, но это никоим образом не исчерпывает всех существующих возможностей. В последующих главах изучение некоторых из этих примеров будет продолжено и, кроме того, будут рассмотрены новые приложения уравнения СГ в метеорологии.