Существует особый вид потенциалов, заслуживающих особого внимания в связи со своими замечательными свойствами. Рис. 2.8-2.10 демонстрирует несколько последовательных моментов в развитии волнового пакета, падающего на потенциал
\[
Q(x, m)=m(m+1) \operatorname{sech}^{2} x,
\]

для трех разных значений параметра $m$.

Рис. 2.8. — — — $-Q(x),-\operatorname{Re}(y),—|y| ; m<1$.
На рис. 2.8 и 2.10 , соответствующих значениям $m<1$ и $m>1$, мы видим типичное поведение упомянутого выше пакета, распадающегося на отраженную и проходящую части. На рис. 2.9 , соответствующем $m=1$, волновой пакет начинает распадаться на моды Фурье, как только он попадает в потенциальную яму, но когда он проходит дальше, отдельные волны снова собираются в пакет, и пакет полностью восстанавливается после прохождения через яму. Ясно, что в случае, изображенном на рис. 2.9 , когда $m=1$, происходит полное прохождение, т. е. никакие волны не отражаются. Таким свойством обладают все потенциалы вида $Q(x, m)$ с целыми значениями параметра $m$ : такие потенциалы по понятным причинам принято называть безотражательными. Для случая $m=1$ задача легко решается методом разложения, и это весьма полезно и поучительно, поэтому мы решим ее подробно. Уравнение Шрёдингера, которое мы должны решить, имеет вид
\[
\left[\frac{d^{2}}{d x^{2}}+\left(2 \operatorname{sech}^{2} x+k^{2}\right)\right] y(x, k)=0 .
\]

Определим операторы $L_{ \pm}$:
\[
L_{ \pm}=\left(\text {th } x \mp \frac{d}{d x}\right) .
\]

Тогда (2.4.2) можно выразить таким образом:
\[
L_{+} L_{-}\left({ }_{k} y\right)=\left(k^{2}+1\right)\left({ }_{k} y\right) .
\]

Рис. 2.10. $-\cdot-Q(x),-\operatorname{Re}(y),—|y| ; m>1$.
Легко показать, что функция ${ }_{h} Y$, определенная формулой
\[
{ }_{k} Y=L_{-}\left({ }_{k} y\right),
\]

является решением уравнения
\[
\left(\frac{d^{2}}{d x^{2}}+k^{2}\right) Y(x, k)=0 .
\]

Далее, для каждого решения ${ }_{k} Y$ уравнения (2.4.6) функция ${ }_{k} y$, определенная выражением
\[
{ }_{k} y=L_{+}\left({ }_{k} Y\right),
\]

является решением уравнения (2.4.2). Используя эту привлекательную алгебраическую структуру, мы можем теперь легко решить задачу для случая $m=1$. Для задачи рассеяния мы ищем решение уравнения (2.4.2), определяемое асимптотическими граничными условиями
\[
\varphi(x, k) \sim\left\{\begin{array}{ll}
e^{-i k x}, & x \rightarrow-\infty, \\
b(k) e^{i k x}+a(k) e^{-i k x}, & x \rightarrow+\infty,
\end{array}\right.
\]

где $b(k)$ и $a(k)$ — коэффициенты отражения и прохождения. Общее решение уравнения (2.4.6) имеет вид
\[
Y(x, k)=A e^{-i k x}+B e^{i k x},
\]

и, применяя операторы $L_{ \pm}$, можно получить общее решение уравнения (2.4.2):
\[
y(x, k)=A(\operatorname{th} x+i k) e^{-i k x}+B(\text { th } x-i k) e^{i k x} .
\]

При $x \rightarrow \pm \infty$, th $x \rightarrow \pm 1$. Следовательно,
\[
a(k)=\frac{i k+1}{i k-1}, \quad b(k)=0,
\]

что соответствует в точности волновой функции ${ }_{k} \varphi$, задаваемой формулой
\[
\varphi(x, k)=\frac{(\text { th } x+i k)}{(i k-1)} e^{-i k x} .
\]

Связанные состояния системы соответствуют отрицательным значениям энергии. Для таких состояний $k=i x$, где $x$ вещественно, и волновая функция может быть нормирована. Если положить $k=i x$ в (2.4.12), то волновая функция $\varphi(x, i x)$ примет вид
\[
\varphi(x, i x)=\frac{(x-\operatorname{th} x)}{(1+x)} e^{+x x} .
\]

Асимптотическое поведение волновой функции $\varphi(x, i x)$ будет таким:
\[
\varphi(x, i x) \sim\left\{\begin{array}{ll}
e^{+x x} & \text { для } \quad x \rightarrow-\infty, \\
{\left[\frac{x-1}{x+1}\right] e^{+x x}} & \text { для } \quad x \rightarrow+\infty,
\end{array}\right.
\]

и она может быть нормирована лишь в том случае, если коэффициент прохождения $(x-1) /(x+1)$ равен нулю. Поэтому мы должны потребовать, чтобы $x=1$, и тогда существует только одно связанное состояние с энергией $E=-\hbar^{2} / 2 m$ и нормируемой волновой функцией
\[
\varphi(x, i)=\frac{1}{2}(1-\operatorname{th} x) e^{x}=\frac{1}{2} \operatorname{sech} x .
\]

Нормированная форма этой функции выглядит так: $\sqrt{2} \varphi(x, i)$. Вообще, если волновая функция $y$ нормирована к виду $Y=\sqrt{\bar{C}}$, так что $\int_{-\infty}^{\infty}|Y|^{2}(x) d x=1$, то $C$ называется нормирующей константой. Для потенциала $Q(x, N)$, где $N$ — целое число, можно показать аналогичным способом, что волновая функция дается формулой
\[
y(x, k)=\prod_{m=1}^{N}\left(m \text { th } x-\frac{d}{d x}\right) Y(x, k),
\]

где, как и выше, $Y(x, k)$ — решение уравнения (2.4.6). В этом случае
\[
a(k)=\prod_{m=1}^{N} \frac{i k+m}{i k-m}, \quad b(k)=0 .
\]

Для связанных состояний должно выполняться условие
\[
a(i k)=0,
\]

что приводит к $N$ связанным состояниям с энергиями $E_{m}$, которые даются формулой
\[
E_{m}=-\frac{\hbar^{2}}{2 M} m^{2}, \quad m=1, \ldots, N .
\]

Таким образом, потенциал $U(x)=-2 \operatorname{sech}^{2} x$ заслуживает особого внимания благодаря свойству безотражательности. Делая масштабные преобразования переменных, допускаемые уравнением Шрёдингера, можно из этого единственного примера безотражательного потенциала получить целое двухпараметрическое семейство потенциалов $Q(x, x, c)$ :
\[
Q(x, x, c)=2 x^{2} \operatorname{sech}^{2}(x x+c) .
\]

Рассмотрим уравнение Шрёдингера с потенциалом $Q(z, x, c)$ :
\[
\left[\frac{d^{2}}{d z^{2}}+\left(K^{2}+2 x^{2} \operatorname{sech}^{2}(x z+c)\right)\right] \omega(x, K)=0 .
\]

Введем переменные $x,{ }_{k} y$ и $k$ :
\[
x=x z+c, \quad y(x, k)=\omega\left(\frac{x-c}{x}, K\right), \quad k=K / x .
\]

Тогда ${ }_{k} y$ удовлетворяет уравнению Шрёдингера (2.4.2) и, как легко убедиться, потенциал $Q(x, x, c)$ — тоже безотражательный с коэффициентом прохождения $a(K)$, где
\[
a(K)=\frac{i \chi+K}{i \chi-K} .
\]

Существуют некоторые обобщения приведенного выше метода разложения, о которых следует упомянуть. Пусть дано уравнение Шрёдингера с потенциалом $q(x)$ и волновой функцией ${ }_{k} y$ :
\[
\left(\frac{d^{2}}{d x^{2}}+q(x)+k^{2}\right) y(x, k)=0 .
\]

Можно ли найти волновую функцию $u(x)$, такую что функция ${ }_{k} Y$, определенная равенством
\[
\left(\frac{d}{d x}-u(x)\right) y(x, k)=Y(x, k),
\]

удовлетворяет другому уравнению Шрёдингера,
\[
\left(\frac{d^{2}}{d x^{2}}+Q(x)+k^{2}\right) Y(x, k)=0,
\]

с одним и тем же $k^{2}$ в обоих случаях?
Подставляя (2.4.26) в (2.4.27), мы легко обнаружим, что для совместимости необходимо выполнение условий
\[
\begin{array}{c}
Q=q+2 \frac{d u}{d x}, \\
-q=\frac{d u}{d x}+u^{2}+C,
\end{array}
\]

где $C$ — константа интегрирования.
Если определить
\[
Z(x, \sigma)=\left(\frac{d}{d x}-\ln z(x, \sigma)\right),
\]

где ${ }_{k} z$ — решение уравнения (2.4.25), то функция $Z(x, \sigma)$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d Z}{d x}+Z^{2}+\sigma^{2}=-q .
\]

Для того, чтобы выражение (2.4.30) было всюду корректно определено, необходимо, чтобы функция $z(x, \sigma)$ не имела нулей. По теореме Штурма — Лиувилля о колебаниях для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы $\sigma^{2}$ лежало слева и от непрерывного, и от дискретного спектра уравнения (2.4.25). Таким образом, если мы возьмем $\sigma=i K$, где $K$ больше или равно модулю наименьшего собственного значения, то функцию $u(x)$ удобно выбрать в таком виде:
\[
u(x)=\frac{d}{d x} \log (z(x, i K))
\]

где $z(x, i K)$ — любая волновая функция для потенциала $q(x)$, соответствующая значению $\sigma=i K$. Полагая $Q=-2 d W / d x$ и $q=$ $=-2 d w / d x$, мы сможем исключить функцию $u(x)$ из уравнений (2.4.28) и (2.4.29). При этом мы получим следующее соотношение:
\[
\frac{d W}{d x}=-\frac{d w}{d x}-K^{2}+(W-w)^{2} .
\]

Потенциалы $Q$ и $q$, связанные между собой таким образом, называются преобразованиями Бэклунда друг от друга.

В качестве примера применения этих результатов мы можем получить наш безотражательный потенциал $2 K^{2} \operatorname{sech}^{2}(K x+c)$ другим путем. Если $q=0$, то наиболее общий вид волновой функции уравнения (2.4.25), соответствующей $k=i K$, таков:
\[
z(x, i K)=(A \operatorname{ch} K x+B \operatorname{ch} K x),
\]

где $A$ и $B$ не равны нулю. Соответствующая функция $u(x)$ будет иметь вид
\[
u(x)=K^{2} \text { th }(K x+c),
\]

где $c=\operatorname{arth}(B / A)$.
Отсюда при помощи (2.4.28) получаем потенциал
\[
Q(x)=2 K^{2} \operatorname{sech}^{2}(K x+c) .
\]

Поскольку функция $u(x)$ известна, то можно точно выписать волновые функции, соответствующие потенциалу $2 K^{2} \operatorname{sech}^{2}(K x+$ $+c$ ). Выбирая любое значение $k^{2} \leqslant-K^{2}$, мы можем построить новую функцию $u_{a}(x)$ и получить новый потенциал и соответствующие волновые функции. Следовательно, можно построить целую серию решений различных уравнений Шрёдингера.

Иногда преобразование Бэклунда может быть всего лишь симметрией. Например, если выбрать $k=1$ и $c=0$ и взять волновую функцию
\[
z_{1}(x, i K)=\left(\frac{K-\text { th } x}{k+1}\right) e^{+K x}, \quad K^{2}>1,
\]

то окажется, что соответствующая функция $u(x)$ (обозначим ее $u_{1}(x)$ ) дается формулой
\[
u_{1}(x)=\frac{\operatorname{sech}^{2} x}{\operatorname{th} x-K}+K,
\]

что приводит, если принять во внимание (2.4.28), к потенциалу
\[
Q(x)=\frac{2\left(K^{2}-1\right) \operatorname{sech}^{2} x}{(\operatorname{th} x-K)^{2}}=2 \operatorname{sech}^{2}(x+c), \quad c=-\operatorname{arcth} K .
\]

Волновая функция ${ }_{k} \Phi$ с асимптотикой
\[
\Phi(x, k) \sim e^{-i k x}, \quad x \rightarrow-\infty,
\]

как легко видеть, имеет вид
\[
\Phi(x, k)=-\frac{1}{(K+i k)}\left[\frac{d}{d x}-K-\frac{\operatorname{sech}^{2} x}{(\operatorname{th} x-K)}\right] \varphi(x, k) .
\]

Если взять асимптотику при $x \rightarrow-\infty$, то станет ясно, что
\[
a(k)=\frac{k+i}{k-i}, \quad b(k)=0,
\]
т. е. асимптотические условия те же самые, что и для волновой функции ${ }_{k} \varphi$, соответствующей потенциалу $2 \operatorname{sech}^{2} x$. Теперь очевидно, что соответствие между потенциалами и парами функций $a(k), b(k)$ не является взаимно однозначным. Однако здесь существует различие. Волновая функция связанного состояния будет иметь вид
\[
\Phi(x, i)=\frac{1}{(1-K)}\left[\frac{d}{d x}-u_{1}\right] \varphi(x, i),
\]

и константа нормировки $C$ для $\varphi(x, i)$ определяется соотношением
\[
\begin{aligned}
C^{-1}= & \int_{-\infty}^{\infty} \varphi^{2}(x, i) d x=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{d}{d x}-u_{1}\right) \varphi(x, i) \times \\
& \times\left(\frac{d}{d x}-u_{1}\right) \varphi(x, i) \frac{d x}{(1-K)^{2}} .
\end{aligned}
\]

Интегрируя по частям правую часть, получим
\[
\begin{aligned}
(K-1)^{2} C^{-1} & =\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x, i)\left(-\frac{d}{d x}-u_{1}\right)\left(\frac{d}{d x}-u_{1}\right) \varphi(x, i) d x= \\
& =\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x, i)\left(-\frac{d^{2}}{d x^{2}}+\frac{d u_{1}}{d x}+u_{1}^{2}\right) \varphi(x, i) d x,
\end{aligned}
\]

что, учитывая конкретный вид функции $u_{1}$, равняется
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x, i)\left(-\frac{d^{2}}{d x^{2}}-2 \operatorname{sech}^{2} x+K^{2}\right) \varphi(x, i) d x= \\
=\left(K^{2}-1\right) \int_{-\infty}^{\infty} \varphi^{2}(x, i) d x=\frac{1}{2}\left(K^{2}-1\right) .
\end{array}
\]

Следовательно, нормирующий множитель волновой функции связанного состояния изменился и вместо 2 стал равен $C(K)$ :
\[
C(K)=2\left[\frac{K+1}{K-1}\right]=2 e^{-2 c} .
\]

Таким образом, любая связь потенциала с асимптотическим поведением волновых функций должна включать не только функции $a(k)$ и $b(k)$, но и по крайней мере значение нормирующей константы. Заметим также, что способ построения нормирующей константы, приведенный выше, применим не только для частного случая потенциала $2 \operatorname{sech}^{2} x$, использованного для его иллюстрации. Ясно, что существует тесная взаимосвязь между преобразованиями Бэклунда и симметриями уравнения Шрёдингера, такими, как в (2.4.23). Если преобразование Бэклунда порождается более общим решением, чем $\varphi(x, i)$, то тем самым могут быть получены потенциалы, не принадлежащие семейству $Q(x, K, c)$, имеющие дополнительное связанное состояние.

Можно надеяться, что если известны функции $a(k)$ и $b(k)$ и, кроме того, нормирующая константа, то этого окажется достаточным для реконструкции потенциала $Q(x)$. Однако, как показывает наш последний пример, для того, чтобы это было возможно, нужны сильные ограничения на потенциал и связанные с ним волновые функции. Например, потенциалу
\[
Q(x, \alpha)=\frac{2}{(x+\alpha)^{2}}
\]

соответствует волновая функция
\[
\varphi(x, k)=\left[1-\frac{1}{2 k(x+\alpha)}\right] e^{-i k x} .
\]

Ясно, что это безотражательный потенциал с $b(k)=0$ и $a(k)=1$ для всех значений $k$ и $\alpha$. Здесь нет связанных состояний, которые можно было бы нормировать, и нет даже фазового сдвига, поскольку коэффициент прохождения $T(k)$ тождественно равен единице. Потенциал (2.4.48) сингулярен при $x=-\alpha$, и мы можем надеяться, что таких неприятностей не будет, если на потенциал будут наложены ограничения, такие как абсолютная интегрируемость. Другая неприятность, которую мы хотим отметить, состоит в том, что функция ( ${ }_{k} \varphi$ ) имеет полюс при $k=0$. Это нежелательное свойство, которого следует опасаться. Интересно заметить, что сингулярные потенциалы $Q(x, \alpha)$ могут быть получены предельным переходом, примененным к аналитическому продолжению семейства потенциалов $Q(x, \gamma, c)=2 \gamma^{2} \operatorname{sech}^{2}(\gamma x+c)$ следующим образом:
\[
Q(x, \alpha)=\lim _{\gamma \rightarrow 0} Q\left(x, \gamma, \gamma \alpha+\frac{i \pi}{2}\right) .
\]

Это подсказывает путь, которым они могут быть изучены.