Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Главное направление работ, связанных с этими методами, состоит в поиске интегрируемых уравнений, ассоциированных со специальными видами функций $\mathbf{P}(k)$ и $\mathbf{Q}(k)$ для уравнений (6.4.1) и (6.4.2). Метод обратной задачи рассеяния для интегрируемых уравнений затрагивается здесь по существу поверхностным образом, хотя солитонные решения и их аналоги были получены во многих случаях. Методы нахождения интегрируемых уравнений Предположим, что $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ рациональны по $k$; подставим выражения для них в (6.4.3) и потребуем, чтобы получающиеся матричные уравнения были совместны и независимы от $k$. Тогда интетрируемое нелинейное уравнение, получающееся из (6.4.3), имеет вид Предположим, что оператор $\mathbf{L}$ имеет вид где $u_{i}=u_{i}(x, t)$ и $l_{0}$ – постоянная матрица. Относительно оператора $\mathbf{A}(\equiv-\mathbf{Q}$ ) предположим, что он имеет аналогичное представление где $v_{i}=v_{i}(x, t)$ и $a_{0}$ – постоянная матрица. В соответствии с хорошо известной формулировкой Лакса, интегрируемые уравнения задаются соотношением Предположим, что существуют пределы $a_{i} \rightarrow l_{i}, v_{i} \rightarrow a_{i}|x| \rightarrow$ $\rightarrow \infty$, где $l_{i}$ и $a_{i}$ – постоянные матрицы. Если потребовать, чтобы стремление к пределу было «достаточно быстрым», то окажется, что соответствющие операторы $\mathbf{L}_{0}=\mathbf{L}(x \rightarrow \pm \infty), \mathbf{A}_{0}=$ $=\mathrm{A}(x \rightarrow \pm \infty)$ удовлетворяют соотношению Фактически оператор $\mathbf{A}$ однозначно опредепяется операторами $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}_{0}$. Пример. Пусть $\mathrm{L}=l_{0} \partial / \partial x+u_{1}, \mathbf{A}=a_{0} \partial / \partial x$. Предположим, что $u_{1}=\left[l_{0}, u\right]$, где $u=u(x, t)$. В силу $(6.4 .5)$ имеем $\left[t_{0}, a_{0}\right]=$ $=0$. Предетавлення для $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}_{0}$ тогда приводят к формулам Это уравнение содержит, в частности, уравнения, описывающие свободное движение $n$-мерного твердого тела (Манаков (1977)). В случае скалярных уравнений Лакса $u_{i}$ – вещественнозначные функции, а матрица $l_{0}$ превращается в скаляр, который изменением масштаба может быть сведен к единице. Этот случай был широко изучен в серии статей Гельфандом и Диким [19751978]. Помимо исследования гамильтоновой структуры ассоциированных эволюционных операторов они показали, что оператор $A$ полностью определяется резольвентой оператора $L,{ }_{k} R=(L-$ $-k I)^{-1}$. Недавно этот метод был распространен также на другие системы. Эгот метод похож на развитый АКНС [1974] тем, что и в том и в другом случаях не требуется явный внд эволюцнонного оператора (Q). Матрица-функция $u \rightarrow 0$ «достаточно быстро», когда $|x| \rightarrow \infty$. Асимптотические свойства системы характеризуются матрицей рассеяния (см. гл. 3 и 4), которая может быть построена по данным рассеяния. Предположим для простоты, что дискретный спектр отсутствует. Тогда коэффициенты отражения $\mathbf{R}(k)$ и прохождения $\mathbf{T}(k)$ определяются линейными соотношениями, которые связывают решения Йоста для системы Қалоджеро и Дегасперис показали, что вводя в рассмотрение целые функции $f$ и $g$ и постоянные матрицы $\mathbf{M}, \mathbf{N}$, можно получить из (6.4.6) два выражения, которые, подобно обычному соотношению с вронскианом, не зависят от $x$. Из этих соотношений можно вывести следующий факт. Если коэффициенты отражения удовлетворяют линейному уравнению то интегрируемое эволюционное уравнение имеет вид где $f_{i}, g_{i}$ – произвольные целье функцйи, $\mathbf{M}_{n}, \mathbf{N}_{n}$ – произвольные постоянные матрицы и Скобки \{, \} и [, ] означают соответственно антикоммутатор и коммутатор. В классе уравнений, задаваемых формулами (6.4.10), специально изучались «уравнения бумерона» где $a, b, c$– постоянные векторы. Эти уравнения имеют решения, которые, начинаясь от $x=+\infty$, затем «бумерангом» возвращаются обратно к $x=+\infty$. где $\mathrm{C}$ – постоянная диагональная матрица, $\mathbf{A}$ – матрица рассеяния, связывающая решения Йоста $\Phi=\Psi \mathbf{A}$, определенные их асимптотическими свойствами при $x \rightarrow \pm \infty$. Если элементы в $\mathbf{R}$ различны, то из $\mathbf{P}$-уравнения следует, что существует оператор D, определенный равенством где $\mathbf{H}_{0}=\mathbf{H}-\operatorname{diag} \mathbf{H}$, и $\hat{\mathbf{\Psi}}_{i l}, \varphi_{m j}$ суть соответствуюшие элементы в $\Phi^{-1}$ и $\operatorname{D}$. Определим $\tilde{H}_{j k}-H_{j k}\left(\alpha_{j}-\alpha_{k}\right)^{-1}$, где diag $\mathbf{R}=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$, так что DM $=$ $=$ DH. Тогда в силу (6.4.12) легко вндеть, что еслн А удовлетворяет линейному уравнению где $\Omega(k)$ – произвольная целая функция, то соответствуюце интегрируемые уравнения задаются формулой Ясно, что подход с обобщениым вронскианом и обобцениая AKНС-техника очепь похожи. Метод обобщенного вронскиапа дает оператор рекурсии $\mathbf{L}$, который цемедленно возикает в определяющем соотношении для интегрируемых нелинейых уравлений, но должен быть вычнслен в рамках АҚНС-метода. Насколько эта работа (и изобретательность, которой она требует!) сравнима с работой по вычислению итераций методом обобценного вронскиана – вопрос, который, по-видному, решается иддивидуальными предпочтениями, Заметим, что преобразование Бэклунда, которое возникает в методе обобщенного вронскиана, может быть также получено модификацней шодхода АКНС (cм. разд. 4.3. и 6.3). Возможны дальнейшие обобщения этого метода. Так, в приведениом выше примере некоторые $x_{i}$ в $\mathbf{R}$ могут совпадать. Если мы выберем $\mathbf{R}=i$ diag $(-2,1,1)$ и то получим уравнения, описывающие распространенне огибающей поляризованной волны в нелинейной ереде (Манаков [1974]): Интегрируемые нелипейные уравнения могут быть распространены на более высокие размерности, если включить в формализм дополнительные перемснные. Один из путей, ведущих к этому, состоит, например, в добавлении к оператору А из (L, A)-пары дополнительного линейного дифференциального оператора, действующего на дополнительные переменные. Если то интегрируемое уравнение принимает вид Аналогичная техника для обобщенного вронскиана/обобщенного метода $\mathrm{AKI} \mathrm{HC}$ заключается в замене оператора $\partial_{t}$ в эволюционном уравнении для данных рассеяния на оператор вида где $f_{i}$ – целые функции по $k$. Уравнсниям, порожденным этими фупкциями, трудно, по-видимому, придать физический смысл. Другая возможность состоит во включении в L дополнительного оператора. Определим, например, Затем уравнение, определяемое как интегрируемое, записызатся в виде $\mathbf{L}_{t}-a \mathbf{A}_{y}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}]$. В случае скалярного оператора после замены переменных $x \rightarrow i x, y \rightarrow t, t \rightarrow y$ приходим к уравнению Қадомцева-Петвиашвили [1971]: если Другие системы такого типа возникают из триад [L, A, B], определяющие уравнения для которых имеют вид Тогда из равенства $\left(\mathbf{L}_{t}-\mathbf{L A}\right) Y=0$, и того, что $\mathbf{Z L} Y=0$ длят пекоторого оператора $\mathbf{Z}$, следует, что разложение $\mathbf{Z}=\mathbf{A}+$ $\perp$ в приводит к интегрируемому уравнению вида где abla^{2} \mathscr{E}=x_{1}^{-1} \frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(x_{1} \frac{\partial \mathscr{E}}{\partial x_{1}}\right)+\frac{\partial^{2} \mathscr{E}}{\partial x^{2}} \quad \text { и } \quad \mathscr{E}=f+i g . Функция $g$ является «потенциалом кручения», который определен равенством $\left(-g_{x_{2}}, g_{x_{1}}\right)=-x_{1}^{-1} f\left(\omega_{x_{1}}, \omega_{x_{2}}\right)$, где $f$ и $\omega$ суть коэффициенты канонической формы Льюиса для метрики Задачу линейных деформаций для уравнения Эрнста изучали Нойгебауэр и Крамер [1980], Харрисон [1980] и Додд и Моррис [1982]. Она имеет вид где $\quad \gamma=(\bar{z}+i k) /(z-i k), \quad z=x_{1}+i x_{2}$. Решения уравнений (6.4.25) были найдены Захаровым и Белинским [1978] посредством анализа операторного пучка, связанного с (6.4.25) (Додд и Моррис [1982]), и они имеют вид где $\mathrm{C}=\frac{1}{2} h_{z} \omega h^{-1}$ и $h$ есть матрица Қак заключительный пример, указываюций на богатство и многообразие класса интегрируемых нелинейных уравнений, сейчас будет приведено промежуточное уравнение, описывающее стратифицированную жидкость конечной глубины (промежуточное уравнение в том смысле, что предельный случай мелкой воды есть КдФ-уравнение, а предельный случай глубокой воды – уравнение Бенджамина-Оно): где Вопросы, связанные с преобразованием Бэклунда, законами сохранения и методом обратной задачи рассеяния для этого уравнення, были рассмотрены в работе Кодамы и др. [1982]. Последнее замечание: оператор рекурсии (см. выше) не обязательно определяет все интегрируемые уравнения, ассоциированные с данным оператором $\mathbf{L}$ нз ( $\mathbf{L}, \mathbf{A}$ )-пары. Таким образом, папример, уравнення геперации простых гармоник (Қауп [1978]) имеют операторы P, Q, представляющиеся в виде (см. также гл. 8) Уравнения же такие: $R_{x}=Q R^{*}, Q_{\mathrm{t}}=-2 R^{2}$; так что они бездиенереионные и, очевидно, находятся вне АКНС-схемы. Очень важная тема, которую мы не включияи в этот короткий обзор, – проблема редукции. Она возникает всякий раз, когда элементы матриц $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ связаны некоторым образом. В общем случае требуется, чтобы матрицы $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ допускали какую-нибудь симметрию или инволюцию. Для подробного изучения этих вопросов мы отсылаем читателя к статьям Михайлова [1981] и Қалоджеро и Дегаспериса [1981]. Суцествует множество методов, позволяющих восстановить функции $u_{i}$ по даным рассеяния. и вычетам в полюсах функции $H(k)$. В результате нолучаем набор сингулярных интегральных уравнений для решений Йоста (как собственных, так и несобственных функций), решение которых определяет решение нелинейного уравнения Шрёдингера (техника применения преобразования Фурье в такой ситуации изложена в разд. 6.2). Недавно этот подход был применен Захаровым и Шабатом [1980], Захаровым и Белинским [1978] (см. также Захаров [1980]) в качестве техники решений для операторных пучков (т. е. для общих уравнений, которым удовлетворяют матричные функции $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$, введенные выше). Дальнейшие комментарии к этому методу будут приведены в пунктах (б) и (в) ниже. Захаров и Шабат [1974] развили формальную оперзторную технику для получения решений уравнений, порожденны (L, A)-парами. Она включает и тот случай, кратко обрисованый ранее, когда операторы содержат более двух независимых переменных. По существу этот метод можно рассматривать как формальное спектральное преобразование обратной задачи рассеяния. где $\Psi_{0}$ – фундаментальное матричное решение задачи на собственные значения для $\mathrm{L}_{0}$ – «раздетого», или «голого», оператора. Ясно, что одетый оператор L для собственных функций $\Psi$, $\Phi$ задается равенством $\mathbf{L}=\left(\mathbf{I}+\mathbf{K}_{ \pm}\right)^{-1} \mathbf{L}_{\mathbf{0}}\left(\mathbf{I}+\mathbf{K}_{ \pm}\right)$, в предлоложении, что обратные операторы существуют. Так как ‘ и $\Phi$ суть фундаментальные решения, то существует матрица данных $\mathbf{A}$ (можно считать, что она представима в внде $\mathbf{A}=\mathbf{I}+\mathbf{R}$ ), которая связывает эти решения: $\Phi=\Psi(\mathbf{I}+\mathbf{R})$. Из этого вытекает, что можно предположить существованне оператора Фредгольма $\mathbf{F}$, такого что где В классе операторов F, определенных формулой (6.4.31), выбираются такие, которые коммутируют с голым дифференциальным оператором $\mathbf{M}_{0}$. Это легко показать, предполагая, что одетый оператор $\boldsymbol{M}$ однозначно определен и также является дифференциальным оператором. Дифференциальный оператор $\mathbf{M}_{0}$ определяет, в нашей старой терминологии, «эволюцию» преобразования Фурье данных рассеяния. Таким образом, одеванию оператора $\mathbf{M}_{0}=\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{A}_{0}$ в линейном уравнении с частными производными соответствует определение эволюции $\mathbf{F}$ во времени $t$. Одетье операторы $\mathbf{M}_{i}$ и $\mathbf{L}$ (может существовать несколько дифференциальных операторов, коммутирующих с F) однозначно определяются своими «голыми» операторами с помоцью коммутационных соотношений с $F$ и ядер оператора преобразования $\mathbf{M}_{i}\left(\mathbf{l}+\mathbf{K}_{ \pm}\right)=\left(\mathbf{I}+\mathbf{K}_{ \pm}\right) \mathbf{M}_{0 i}$. Кроме того, для $y>x$ из (6.4.31) получаем уравнение которое можно рассматривать как уравнение Вольтерры, определяющее $\mathbf{F}$ при заданном $\mathbf{K}_{+}$, или как уравнение Фредгольма, определяющее $\mathbf{K}_{+}$при заданном $\mathbf{F}$. Задача Коши для интегрируемого уравнения вида $\mathbf{L}_{\boldsymbol{i}}-a \mathbf{A}_{u}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}]$, где $\mathbf{M}_{\mathbf{1}}=\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{A}$ и $\mathbf{M}_{2}=\frac{\partial}{\partial t}+L$, может быть рещена по следующей схеме: Замечание. Шаги IV и V представляют собой обратное преобразование. Оператор $\mathbf{L}_{0}^{A}$ действует на второй аргумент (y) в $\mathbf{K}_{+}$. Захаров и Шабат [1980] и Захаров [1980] показали, что можно одеть «голые» операторы $\mathbf{P}_{\mathbf{0}}(k), \mathbf{Q}_{0}(k)$ для того, чтобы получить операторные пучки $\mathbf{P}(k, x, t)$ и $\mathbf{Q}(k, x, t)$. Аналогичпые иден можно ислользовать для получения преобразований Бэклунда. Если $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ удовлетворяют тому же самому уравнению, то мы можем предположить для простоты, что мы имеем дело с задачей Римана с нулями. В этом случае мы можем предположить далее, что имеем дело с некоторым классом специальных решений, для которых задача Римана имеет решение где $\mathbf{R}$ – сингулярная матричная функция, а $\Psi$ есть решение (6.4.3) для $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$. Тем самым предполагается специальная нормировка, допустимая для того класса уравіений, с которым мы работаем. Преобразование Бэклунда может быть телерь записано в виде где $\mathbf{H}=\mathbf{I}+\mathrm{R} /(k-\boldsymbol{\mu})$.
|
1 |
Оглавление
|