Главное направление работ, связанных с этими методами, состоит в поиске интегрируемых уравнений, ассоциированных со специальными видами функций $\mathbf{P}(k)$ и $\mathbf{Q}(k)$ для уравнений (6.4.1) и (6.4.2). Метод обратной задачи рассеяния для интегрируемых уравнений затрагивается здесь по существу поверхностным образом, хотя солитонные решения и их аналоги были получены во многих случаях.

Методы нахождения интегрируемых уравнений
(а) Прямая подстановка

Предположим, что $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ рациональны по $k$; подставим выражения для них в (6.4.3) и потребуем, чтобы получающиеся матричные уравнения были совместны и независимы от $k$.
Iример.
\[
\mathbf{P}=\frac{u_{x}}{k-k_{1}}, \quad \mathbf{Q}=\frac{u_{t}}{k+k_{1}} .
\]

Тогда интетрируемое нелинейное уравнение, получающееся из (6.4.3), имеет вид
\[
2 k_{1} u_{x t}-\left[\begin{array}{ll}
u_{x}, & u_{t}
\end{array}\right]=0
\]
(Захаров [1980], Захаров и Шабат [1975, 1980], Захаров и Михайлов [1979]).
(б) Техника, развитая для специальных видов матриць $\mathbf{P}$
Большой класс интегрируемых уравнений получен в том случае, когда Р-уравнение сводится к задаче на собственные знацения
\[
\mathbf{L} Y=k Y \text {. }
\]
(61) (L, A)-napot

Предположим, что оператор $\mathbf{L}$ имеет вид
\[
\mathrm{L}=l_{0} \frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}}+\sum_{i=1}^{n} u_{i} \frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}},
\]

где $u_{i}=u_{i}(x, t)$ и $l_{0}$ — постоянная матрица. Относительно оператора $\mathbf{A}(\equiv-\mathbf{Q}$ ) предположим, что он имеет аналогичное представление
\[
\mathbf{A}=a_{0} \frac{\partial^{m}}{\partial x^{m}}+\sum_{i=1}^{m} v_{i} \frac{\partial^{m-1}}{\partial x^{m-1}}
\]

где $v_{i}=v_{i}(x, t)$ и $a_{0}$ — постоянная матрица. В соответствии с хорошо известной формулировкой Лакса, интегрируемые уравнения задаются соотношением
\[
\mathbf{L}_{t}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}] .
\]

Предположим, что существуют пределы $a_{i} \rightarrow l_{i}, v_{i} \rightarrow a_{i}|x| \rightarrow$ $\rightarrow \infty$, где $l_{i}$ и $a_{i}$ — постоянные матрицы. Если потребовать, чтобы стремление к пределу было «достаточно быстрым», то окажется, что соответствющие операторы $\mathbf{L}_{0}=\mathbf{L}(x \rightarrow \pm \infty), \mathbf{A}_{0}=$ $=\mathrm{A}(x \rightarrow \pm \infty)$ удовлетворяют соотношению
\[
\left[\mathbf{L}_{0}, \mathbf{A}_{0}\right]=0 .
\]

Фактически оператор $\mathbf{A}$ однозначно опредепяется операторами $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}_{0}$.

Пример. Пусть $\mathrm{L}=l_{0} \partial / \partial x+u_{1}, \mathbf{A}=a_{0} \partial / \partial x$. Предположим, что $u_{1}=\left[l_{0}, u\right]$, где $u=u(x, t)$. В силу $(6.4 .5)$ имеем $\left[t_{0}, a_{0}\right]=$ $=0$. Предетавлення для $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}_{0}$ тогда приводят к формулам
\[
\begin{aligned}
\mathbf{A} & =a_{0} \frac{\partial}{\partial x}+a_{1}, \quad a_{1}=\left[a_{0}, u\right], \\
u_{1_{t}} & =\left[u_{1}, a_{1}\right]+l_{0} a_{1_{x}}-a_{0} u_{1_{x}} .
\end{aligned}
\]

Это уравнение содержит, в частности, уравнения, описывающие свободное движение $n$-мерного твердого тела (Манаков (1977)).

В случае скалярных уравнений Лакса $u_{i}$ — вещественнозначные функции, а матрица $l_{0}$ превращается в скаляр, который изменением масштаба может быть сведен к единице. Этот случай был широко изучен в серии статей Гельфандом и Диким [19751978]. Помимо исследования гамильтоновой структуры ассоциированных эволюционных операторов они показали, что оператор $A$ полностью определяется резольвентой оператора $L,{ }_{k} R=(L-$ $-k I)^{-1}$.
(62) Техника обобщенных вронскианов
Создателями этой техники были Қалоджеро [1975] и Калоджеро и Дегасперис [1976], которые применили ее к матричному виду уравнения Шредингера
\[
\mathbf{L} Y=k^{2} Y, \quad \mathbf{L}=-\frac{\hat{\partial}}{\partial x^{2}}+u .
\]

Недавно этот метод был распространен также на другие системы. Эгот метод похож на развитый АКНС [1974] тем, что и в том и в другом случаях не требуется явный внд эволюцнонного оператора (Q). Матрица-функция $u \rightarrow 0$ «достаточно быстро», когда $|x| \rightarrow \infty$. Асимптотические свойства системы характеризуются матрицей рассеяния (см. гл. 3 и 4), которая может быть построена по данным рассеяния. Предположим для простоты, что дискретный спектр отсутствует. Тогда коэффициенты отражения $\mathbf{R}(k)$ и прохождения $\mathbf{T}(k)$ определяются линейными соотношениями, которые связывают решения Йоста для системы
\[
\mathbf{T}(k) \varphi(x, k)=\psi(x,-k)+\mathbf{R}(k) \psi(x, k) .
\]

Қалоджеро и Дегасперис показали, что вводя в рассмотрение целые функции $f$ и $g$ и постоянные матрицы $\mathbf{M}, \mathbf{N}$, можно получить из (6.4.6) два выражения, которые, подобно обычному соотношению с вронскианом, не зависят от $x$. Из этих соотношений можно вывести следующий факт. Если коэффициенты отражения удовлетворяют линейному уравнению
\[
\begin{array}{r}
f_{0}\left(-4 k^{2}\right) \mathbf{R}_{t}=f_{n}\left(-4 k^{2}\right)\left[\mathbf{M}_{n}, \mathbf{N}\right]+2 i k g_{n}\left(-4 k^{2}\right)\left\{\mathbf{N}_{n}, \mathbf{R}\right\}+ \\
+2 i k g_{0}\left(-4 k^{2}\right) \mathbf{R},
\end{array}
\]

то интегрируемое эволюционное уравнение имеет вид
\[
f_{0}(\mathbf{L}) u_{t}=f_{n}(\mathbf{L})\left[\mathbf{M}_{n}, u\right]-g_{n}(\mathbf{L}) G \mathbf{N}_{n}+2 g_{0}(\mathbf{L}),
\]

где $f_{i}, g_{i}$ — произвольные целье функцйи, $\mathbf{M}_{n}, \mathbf{N}_{n}$ — произвольные постоянные матрицы и
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{L Y}=\mathbf{Y}_{\boldsymbol{x}}-2\{u, \mathbf{Y}\}+\mathbf{G} \int_{\boldsymbol{x}}^{\infty} d y \mathbf{Y}(y), \\
\mathbf{G Y}=\left\{u_{x}, \mathbf{Y}\right\}+\left[u, \int_{\boldsymbol{x}}^{\infty} d y[u(y), \mathbf{Y}(y)]\right] .
\end{array}
\]

Скобки \{, \} и [, ] означают соответственно антикоммутатор и коммутатор.

В классе уравнений, задаваемых формулами (6.4.10), специально изучались «уравнения бумерона»
\[
\begin{aligned}
\underline{V}_{t}(x, t)= & \underline{b} \cdot \underline{V}_{x}(x, t), \\
\underline{V}_{x_{t}}(x, t)= & \underline{V}_{x x}(x, t) b+a x V_{x}(x, t)- \\
& -2 \underline{V}_{x}(x, t) x(\underline{\underline{V}}(x, t) x b),
\end{aligned}
\]

где $a, b, c$— постоянные векторы. Эти уравнения имеют решения, которые, начинаясь от $x=+\infty$, затем «бумерангом» возвращаются обратно к $x=+\infty$.
(63) Обобценная $A K Н С-$ техника
Ньюэлл [1979] рассмотрел системы, для которых $\mathbf{P}=k \mathrm{R}+$ $+\mathbf{U}$, где $\mathbf{R}$ есть постоянная диагональная матрица с нулевым следом и $\mathbf{U} \rightarrow 0$ достаточно быстро, когда $|x| \rightarrow \infty$. Пользуясь гроцедурой гл. 6, легко получить соотношения
\[
\begin{aligned}
\mathbf{A}^{-1} \mathbf{A}_{t} & =\int_{-\infty}^{\infty} \Phi^{-1} \mathbf{U}_{t} \Phi d x \\
\mathbf{A}^{-1}[\mathbf{C}, \mathbf{A}] & =\int_{-\infty}^{\infty} \Phi^{-1}[\mathbf{C}, \mathbf{U}] \Phi d x
\end{aligned}
\]

где $\mathrm{C}$ — постоянная диагональная матрица, $\mathbf{A}$ — матрица рассеяния, связывающая решения Йоста $\Phi=\Psi \mathbf{A}$, определенные их асимптотическими свойствами при $x \rightarrow \pm \infty$. Если элементы в $\mathbf{R}$ различны, то из $\mathbf{P}$-уравнения следует, что существует оператор D, определенный равенством
\[
\mathbf{D H}_{0}=\mathbf{H}_{0 x}+\left[\mathbf{H}_{0}, \mathbf{U}\right]+\left[\int_{x}^{\infty}\left[\mathbf{H}_{0}, \mathbf{U}_{0}\right] d y, \mathbf{U}\right],
\]

где $\mathbf{H}_{0}=\mathbf{H}-\operatorname{diag} \mathbf{H}$,
\[
\mathbf{D}^{A} \mathbf{S}_{0}^{i j}=k\left[\mathbf{R}, S_{0}^{i j}\right], \quad\left(\mathbf{S}_{0}^{i j}\right)_{1 \mathrm{~m}}=\hat{\varphi}_{l l} \varphi_{m j}
\]

и $\hat{\mathbf{\Psi}}_{i l}, \varphi_{m j}$ суть соответствуюшие элементы в $\Phi^{-1}$ и $\operatorname{D}$. Определим $\tilde{H}_{j k}-H_{j k}\left(\alpha_{j}-\alpha_{k}\right)^{-1}$, где diag $\mathbf{R}=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$, так что DM $=$ $=$ DH. Тогда в силу (6.4.12) легко вндеть, что еслн А удовлетворяет линейному уравнению
\[
\left(\mathbf{A}^{-1} \mathbf{A}_{t}\right)_{0}=\Omega(k)\left(\mathbf{A}^{-1}[\mathbf{C}, \mathbf{A}]\right)_{0},
\]

где $\Omega(k)$ — произвольная целая функция, то соответствуюце интегрируемые уравнения задаются формулой
\[
\mathbf{U}_{t}=\Omega(\widetilde{\mathbf{D}})[\mathbf{C}, \mathrm{U}] .
\]

Ясно, что подход с обобщениым вронскианом и обобцениая AKНС-техника очепь похожи. Метод обобщенного вронскиапа дает оператор рекурсии $\mathbf{L}$, который цемедленно возикает в определяющем соотношении для интегрируемых нелинейых уравлений, но должен быть вычнслен в рамках АҚНС-метода. Насколько эта работа (и изобретательность, которой она требует!) сравнима с работой по вычислению итераций методом обобценного вронскиана — вопрос, который, по-видному, решается иддивидуальными предпочтениями, Заметим, что преобразование Бэклунда, которое возникает в методе обобщенного вронскиана, может быть также получено модификацней шодхода АКНС (cм. разд. 4.3. и 6.3).

Возможны дальнейшие обобщения этого метода. Так, в приведениом выше примере некоторые $x_{i}$ в $\mathbf{R}$ могут совпадать. Если мы выберем $\mathbf{R}=i$ diag $(-2,1,1)$ и
\[
\mathbf{U}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & Q & R \\
\alpha Q^{*} & 0 & 0 \\
\beta R^{*} & 0 & 0
\end{array}\right), \quad \mathbf{C}=9 i\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right),
\]

то получим уравнения, описывающие распространенне огибающей поляризованной волны в нелинейной ереде (Манаков [1974]):
\[
\begin{array}{l}
Q_{t}=i\left(Q_{x x}-2 \alpha Q^{2} Q^{*}-2 \beta R R^{*} Q\right) . \\
R_{t}=i\left(R_{x x}-2 \alpha Q Q^{*} R-2 \beta R^{2} R^{*}\right) .
\end{array}
\]

Интегрируемые нелипейные уравнения могут быть распространены на более высокие размерности, если включить в формализм дополнительные перемснные. Один из путей, ведущих к этому, состоит, например, в добавлении к оператору А из (L, A)-пары дополнительного линейного дифференциального оператора, действующего на дополнительные переменные. Если
\[
\mathbf{A}=\sum_{i=1}^{N} f_{i}(\mathbf{L}) \frac{\partial}{\partial y_{i}}+\mathbf{A}_{1},
\]

то интегрируемое уравнение принимает вид
\[
\mathbf{L}_{\boldsymbol{t}}+\left[\mathbf{L}, \mathbf{A}_{1}\right]+\sum_{i=1}^{N} f_{i}(\mathbf{L}) \frac{\partial \mathbf{L}}{\partial y_{\ell}}=0 .
\]

Аналогичная техника для обобщенного вронскиана/обобщенного метода $\mathrm{AKI} \mathrm{HC}$ заключается в замене оператора $\partial_{t}$ в эволюционном уравнении для данных рассеяния на оператор вида
\[
\partial=\partial_{t}+\sum_{i=1}^{N} f_{i}(k, y) \frac{\partial}{\partial y_{i}},
\]

где $f_{i}$ — целые функции по $k$. Уравнсниям, порожденным этими фупкциями, трудно, по-видимому, придать физический смысл. Другая возможность состоит во включении в L дополнительного оператора. Определим, например,
\[
\mathbf{L}_{1}=a \frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{L} .
\]

Затем уравнение, определяемое как интегрируемое, записызатся в виде $\mathbf{L}_{t}-a \mathbf{A}_{y}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}]$. В случае скалярного оператора
\[
\mathbf{L}=\partial_{x}^{3}-\frac{3}{4}\left(u_{x}+2 u \partial_{x}\right)+\frac{3}{2} w+v^{2} \partial x ; \quad \mathbf{A}=i b\left(\partial_{x}^{3}-u\right)
\]

после замены переменных $x \rightarrow i x, y \rightarrow t, t \rightarrow y$ приходим к уравнению Қадомцева-Петвиашвили [1971]:

если
\[
u_{x t}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left[-v^{2} u+\frac{1}{4} u_{x x}-r^{-} \frac{3}{4} u^{2}\right]+\frac{3}{4} \beta^{2} u_{y y},
\]
\[
\beta=-i \alpha \quad \text { и } \quad \alpha=i \beta^{-1}\left[\frac{2}{3}\right]^{1 / 2} .
\]

Другие системы такого типа возникают из триад [L, A, B], определяющие уравнения для которых имеют вид
\[
L Y=0, \quad Y_{t}+\mathbf{A} Y=0 .
\]

Тогда из равенства $\left(\mathbf{L}_{t}-\mathbf{L A}\right) Y=0$, и того, что $\mathbf{Z L} Y=0$ длят пекоторого оператора $\mathbf{Z}$, следует, что разложение $\mathbf{Z}=\mathbf{A}+$ $\perp$ в приводит к интегрируемому уравнению вида
\[
\mathbf{L}_{t}-[\mathbf{L}, \mathrm{A}]=\mathbf{B L}
\]
(Захаров [1980], Манаков [1976]).
Включение независимой переменной в задачу рассеяния приводит к дальнейшему расширению класса интегрируемых уравнений (Ньюэлл [1979], Калоджеро и Дегасперис [1978]). Наиболее интересный пример такого рода — уравнение Эрнста в общей
теории относительности. Решения этого уравнения определяют пустое аксиально симметричное пространство-время. Уравнение Эрнста имеет вид
\[
(\operatorname{Re} \mathscr{E})
abla^{2} \mathscr{E}=
abla^{2} \mathscr{E} \cdot
abla \mathscr{E},
\]

где
\[

abla^{2} \mathscr{E}=x_{1}^{-1} \frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(x_{1} \frac{\partial \mathscr{E}}{\partial x_{1}}\right)+\frac{\partial^{2} \mathscr{E}}{\partial x^{2}} \quad \text { и } \quad \mathscr{E}=f+i g .
\]

Функция $g$ является «потенциалом кручения», который определен равенством $\left(-g_{x_{2}}, g_{x_{1}}\right)=-x_{1}^{-1} f\left(\omega_{x_{1}}, \omega_{x_{2}}\right)$, где $f$ и $\omega$ суть коэффициенты канонической формы Льюиса для метрики
\[
d s^{2}=f(d t+\omega d \varphi)^{2}-f^{-1}\left[e^{2
u}\left[d x_{1}^{2}+d x_{2}^{2}\right]+x_{1}^{2} d \varphi^{2}\right] .
\]

Задачу линейных деформаций для уравнения Эрнста изучали Нойгебауэр и Крамер [1980], Харрисон [1980] и Додд и Моррис [1982]. Она имеет вид
\[
\begin{array}{l}
Y_{z}=-\frac{1}{2} f^{-1}\left(\begin{array}{ll}
-i \gamma^{1 / 2} f_{z} & g_{z}\left(1-i \gamma^{1 / 2}\right) \\
-g_{z}\left(1+i \gamma^{1 / 2}\right) & i \gamma^{1 / 2} f_{z}
\end{array}\right) Y, \\
Y_{\bar{z}}=-\frac{1}{2} f^{-1}\left(\begin{array}{ll}
i \gamma^{-1 / 2} f_{\bar{z}} & g_{\bar{z}}\left(1+i \gamma^{-1 / 2}\right) \\
-g_{\bar{z}}\left(1-i \gamma^{-1 / 2}\right) & -i \gamma^{-1 / 2} f_{\bar{z}}
\end{array}\right) Y,
\end{array}
\]

где $\quad \gamma=(\bar{z}+i k) /(z-i k), \quad z=x_{1}+i x_{2}$. Решения уравнений (6.4.25) были найдены Захаровым и Белинским [1978] посредством анализа операторного пучка, связанного с (6.4.25) (Додд и Моррис [1982]), и они имеют вид
\[
\begin{array}{l}
Y_{z}-\frac{2 \eta}{(2 i \eta-(z+\bar{z}))} \cdot Y_{\eta}=-\frac{2(z+\bar{z}) \mathrm{C} Y}{(2 i \eta-(z+\bar{z}))}, \\
Y_{\bar{z}}+\frac{2 \eta}{(2 i \eta+(z+\bar{z}))} \cdot Y_{\eta}=\frac{2(z+\bar{z}) \mathrm{C} Y}{(2 i \eta+(z+\bar{z}))},
\end{array}
\]

где $\mathrm{C}=\frac{1}{2} h_{z} \omega h^{-1}$ и $h$ есть матрица
\[
\left(\begin{array}{l}
f \omega f \\
f \omega^{2} f-x_{1}^{2} f^{-1}
\end{array}\right) \text {. }
\]

Қак заключительный пример, указываюций на богатство и многообразие класса интегрируемых нелинейных уравнений, сейчас будет приведено промежуточное уравнение, описывающее стратифицированную жидкость конечной глубины (промежуточное уравнение в том смысле, что предельный случай мелкой воды есть КдФ-уравнение, а предельный случай глубокой воды — уравнение Бенджамина-Оно):
\[
Q_{t}+2 Q Q_{x}+\mathrm{T}\left(Q_{x x}\right)=0,
\]

где
\[
\mathrm{T}(f) \equiv P \int_{-\infty}^{\infty}\left[-\frac{1}{2 \delta} \operatorname{cth}\left[\frac{\pi(x-y)}{2 \delta}\right]+\frac{1}{2 \sigma} \operatorname{sgn}(x-y)\right] f(y) d y .
\]

Вопросы, связанные с преобразованием Бэклунда, законами сохранения и методом обратной задачи рассеяния для этого уравнення, были рассмотрены в работе Кодамы и др. [1982]. Последнее замечание: оператор рекурсии (см. выше) не обязательно определяет все интегрируемые уравнения, ассоциированные с данным оператором $\mathbf{L}$ нз ( $\mathbf{L}, \mathbf{A}$ )-пары. Таким образом, папример, уравнення геперации простых гармоник (Қауп [1978]) имеют операторы P, Q, представляющиеся в виде (см. также гл. 8)
\[
\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ll}
-i k & Q \\
Q^{*} & i k
\end{array}\right), \quad Q=\frac{1}{i k}\left(\begin{array}{ll}
R^{*} R & R^{2} \\
-R^{* 2} & -R R^{*}
\end{array}\right) .
\]

Уравнения же такие: $R_{x}=Q R^{*}, Q_{\mathrm{t}}=-2 R^{2}$; так что они бездиенереионные и, очевидно, находятся вне АКНС-схемы.

Очень важная тема, которую мы не включияи в этот короткий обзор, — проблема редукции. Она возникает всякий раз, когда элементы матриц $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ связаны некоторым образом. В общем случае требуется, чтобы матрицы $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ допускали какую-нибудь симметрию или инволюцию. Для подробного изучения этих вопросов мы отсылаем читателя к статьям Михайлова [1981] и Қалоджеро и Дегаспериса [1981].
Техника решений
(a) Метод обратной задачи рассеяния
Именіо этот метод систематически используется в настоящей книге. Он применим всегда, когда уравнения для $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ допускают L, A-пару. Для большинства систем этот метод применялся лишь формально. Это значит, что необходимые и достаточные условия (на данные рассеяния) существования и единственности решения (т.е. однозначной определимости коэффициентов $u_{i}$ в L) получены не были. Аґалогичные соображения можно, разумеется, высказать и по поводу задачи Коши для интегрируемых уравнений этих систем. Скалярная задача третьего порядка была исследована Қаупом [1980]. Общая скалярная задача третьего порядка, равно как и задача $n$-го порядка, была исследована Кодри [1980, 1982 ].

Суцествует множество методов, позволяющих восстановить функции $u_{i}$ по даным рассеяния.
(al) Решая уравнение Марченко
Решения нелинсйного интегрируемого уравнения описываются в терминах решений специального уравнения Фредгольма, называсмого уравнснием Маргенко (в русской литературе — фундаментальным уравнением); см. гл. 4 и 6 .
(a2) Pеная задачу Римана-Гияьберта
Захаров и Шабат [1972] решили обратную спектральную задачу рассеяния для нелинейного уравнения Шрёдиигера, восстанавливая кусочно-аналитическую функцию $H(k)$ по ее слелу (разности предельных значений) на вещественной оси
\[
\varphi(\xi)=H(\xi+i O)-H(\xi-i O), \quad \varphi(\xi)=R_{+}(\xi) e^{i \xi x_{\varphi}}(x, \xi)
\]

и вычетам в полюсах функции $H(k)$. В результате нолучаем набор сингулярных интегральных уравнений для решений Йоста (как собственных, так и несобственных функций), решение которых определяет решение нелинейного уравнения Шрёдингера (техника применения преобразования Фурье в такой ситуации изложена в разд. 6.2). Недавно этот подход был применен Захаровым и Шабатом [1980], Захаровым и Белинским [1978] (см. также Захаров [1980]) в качестве техники решений для операторных пучков (т. е. для общих уравнений, которым удовлетворяют матричные функции $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$, введенные выше). Дальнейшие комментарии к этому методу будут приведены в пунктах (б) и (в) ниже.
(б) Техника оператора одевания

Захаров и Шабат [1974] развили формальную оперзторную технику для получения решений уравнений, порожденны (L, A)-парами. Она включает и тот случай, кратко обрисованый ранее, когда операторы содержат более двух независимых переменных. По существу этот метод можно рассматривать как формальное спектральное преобразование обратной задачи рассеяния.
Введем операторы преобразования
\[
\begin{array}{r}
\mathbf{K}_{ \pm} Y= \pm \int_{x}^{ \pm \infty} \mathbf{K}_{ \pm}(x, y) Y(y) d y, \quad \Psi=\left(\mathbf{I}+\mathbf{K}_{+}\right) \Psi_{0}, \\
\mathbb{\Phi}=\left(\mathbf{I}+\mathbf{K}_{-}\right) \Psi_{0},
\end{array}
\]

где $\Psi_{0}$ — фундаментальное матричное решение задачи на собственные значения для $\mathrm{L}_{0}$ — «раздетого», или «голого», оператора. Ясно, что одетый оператор L для собственных функций $\Psi$, $\Phi$ задается равенством $\mathbf{L}=\left(\mathbf{I}+\mathbf{K}_{ \pm}\right)^{-1} \mathbf{L}_{\mathbf{0}}\left(\mathbf{I}+\mathbf{K}_{ \pm}\right)$, в предлоложении, что обратные операторы существуют. Так как ‘ и $\Phi$ суть фундаментальные решения, то существует матрица данных $\mathbf{A}$ (можно считать, что она представима в внде $\mathbf{A}=\mathbf{I}+\mathbf{R}$ ), которая связывает эти решения: $\Phi=\Psi(\mathbf{I}+\mathbf{R})$. Из этого вытекает, что можно предположить существованне оператора Фредгольма $\mathbf{F}$, такого что
\[
\mathbf{I}+\mathbf{F}=\left(\mathbf{I}+\mathbf{K}_{+}\right)^{-1}\left(\mathbf{I}+\mathbf{K}_{-}\right),
\]

где
\[
\mathbf{F} \Psi_{0}=\Psi_{0} \mathbf{R} \quad \text { н } \quad \mathbf{F} Y=\int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{F}(x, y) Y(y) d y .
\]

В классе операторов F, определенных формулой (6.4.31), выбираются такие, которые коммутируют с голым дифференциальным оператором $\mathbf{M}_{0}$. Это легко показать, предполагая, что одетый оператор $\boldsymbol{M}$ однозначно определен и также является дифференциальным оператором.

Дифференциальный оператор $\mathbf{M}_{0}$ определяет, в нашей старой терминологии, «эволюцию» преобразования Фурье данных рассеяния. Таким образом, одеванию оператора $\mathbf{M}_{0}=\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{A}_{0}$ в линейном уравнении с частными производными соответствует определение эволюции $\mathbf{F}$ во времени $t$.

Одетье операторы $\mathbf{M}_{i}$ и $\mathbf{L}$ (может существовать несколько дифференциальных операторов, коммутирующих с F) однозначно определяются своими «голыми» операторами с помоцью коммутационных соотношений с $F$ и ядер оператора преобразования $\mathbf{M}_{i}\left(\mathbf{l}+\mathbf{K}_{ \pm}\right)=\left(\mathbf{I}+\mathbf{K}_{ \pm}\right) \mathbf{M}_{0 i}$. Кроме того, для $y>x$ из (6.4.31) получаем уравнение
\[
\mathbf{F}(x, y)+\mathbf{K}_{+}(x, y)+\int_{i}^{\infty} \mathbf{K}_{+}(x, s) \mathbf{F}(s, y) d s,
\]

которое можно рассматривать как уравнение Вольтерры, определяющее $\mathbf{F}$ при заданном $\mathbf{K}_{+}$, или как уравнение Фредгольма, определяющее $\mathbf{K}_{+}$при заданном $\mathbf{F}$. Задача Коши для интегрируемого уравнения вида $\mathbf{L}_{\boldsymbol{i}}-a \mathbf{A}_{u}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}]$, где $\mathbf{M}_{\mathbf{1}}=\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{A}$ и $\mathbf{M}_{2}=\frac{\partial}{\partial t}+L$, может быть рещена по следующей схеме:
\[
u_{t}(0) \xrightarrow{\mathrm{I}} \mathrm{K}_{+}(0) \xrightarrow{\mathrm{II}} \mathrm{F}(0) \xrightarrow{\mathrm{II}} \mathrm{F}(t) \xrightarrow{\mathrm{IV}} \mathrm{K}_{+}(t) \xrightarrow{\mathrm{V}} u_{i}(t) .
\]
1. Определим $K_{+}(0)$, решая задачу Гурса
\[
a \mathbf{K}_{+u}(0)+\mathbf{L}(0) \mathbf{K}_{+}(0)-\mathbf{L}_{0}^{A} \mathbf{K}_{+}(0)=0 .
\]
II. Решим уравнение (6.4.32) для $\mathbf{F}(0)$.
III. Решим линейное эволюционное уравнение для $\mathbf{F}(t)$.
IV. Решим (6.4.32) с ядром $\mathbf{F}(t)$ для $\mathbf{K}_{+}(t)$.
V. Определим $\mathbf{L}(t)$ из уравнения
\[
a \mathbf{K}_{+u}(t)+\mathbf{L}(t) \mathbf{K}_{+}(t)-\mathbf{L}_{0}^{A} \mathbf{K}_{+}(t)=0 .
\]

Замечание. Шаги IV и V представляют собой обратное преобразование. Оператор $\mathbf{L}_{0}^{A}$ действует на второй аргумент (y) в $\mathbf{K}_{+}$.

Захаров и Шабат [1980] и Захаров [1980] показали, что можно одеть «голые» операторы $\mathbf{P}_{\mathbf{0}}(k), \mathbf{Q}_{0}(k)$ для того, чтобы получить операторные пучки $\mathbf{P}(k, x, t)$ и $\mathbf{Q}(k, x, t)$. Аналогичпые иден можно ислользовать для получения преобразований Бэклунда.
(в) Преобразования Бэклунда
В гл. 4 и 6 мы показали, как по заданным решениям уравнения Шрёдингера или системы АКНС-ЗШ можіо построить новые решения. Эта техника хороно работает в том случае, когда интегрируемое уравнение порождается оператором $\mathrm{L}$, т. е. когда $\mathrm{A}$ определен оператором L. В обием случае, однако, это не так, но можно воспользоваться методом, развитым в работах Захарова и Шабата [1980] и Захарова и Михайлова [1979]. Предположим, что мы имеем заданное решение ( $\mathbf{P}_{0}, \mathbf{Q}_{0}$ ) уравнения (6.4.3) и хотим построить новое решение $(\boldsymbol{P}, \mathbf{Q}$ ).

Если $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ удовлетворяют тому же самому уравнению, то мы можем предположить для простоты, что мы имеем дело с задачей Римана с нулями. В этом случае мы можем предположить далее, что имеем дело с некоторым классом специальных решений, для которых задача Римана имеет решение
\[
\Psi(k)=\left(\mathbf{I}+\frac{\mathbf{R}}{(k-\mu)}\right) \Psi_{0}(k),
\]

где $\mathbf{R}$ — сингулярная матричная функция, а $\Psi$ есть решение (6.4.3) для $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$. Тем самым предполагается специальная нормировка, допустимая для того класса уравіений, с которым мы работаем. Преобразование Бэклунда может быть телерь записано в виде
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{P}=\mathbf{H}_{x} \mathbf{H}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{H} \mathbf{P}_{0} \mathbf{H}^{-1}, \\
\mathbf{Q}=\mathbf{H}_{t} \mathbf{H}^{-\mathbf{1}}+\mathbf{H Q _ { 0 }} \mathbf{H}^{-1},
\end{array}
\]

где $\mathbf{H}=\mathbf{I}+\mathrm{R} /(k-\boldsymbol{\mu})$.
Қрасивый пример этого подхода содержится в работе Захарова и Белинского [1978].
(г) Техника Хироть
Примеры, демонстрирующие этот метод, приводились в вводной главе настоящей книги (Хирота [1976, 1980]). Недавно Джимбо и Мива [1981] показали, что техника Хироты имеет глубокий теоретический смысл. Зависимые переменные Хироты оказались в интерпретации этих авторов введенными ими $\tau$-функциями, появляющимися в анализе деформаций, которые сохраняют монодромию (см. следующнй раздел).