Следующее уравнение, заслуживающее специального упоминания, – это кубическое нелинейное уравнение Шрёдингера (НЛШ):
\[
i \frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\beta \varphi\left|\varphi^{2}\right|=0 .
\]

Оно так называется потому, что совпадает по форме с квантовым уравнением Шрёдингера с потенциалом в виде $\beta\left|\varphi^{2}\right|$. Tеперь $\varphi$ – комплексная функция, и поэтому естественно ожидать, что решение в виде бегущей волны будет иметь осциллирующую модуляцию. Нетрудно показать, что решение уравнения (1.6.1) в виде бегущей волны, удовлетворяющее условию $\varphi \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$, имеет вид
\[
\varphi=a \sqrt{\frac{2}{\beta}} \exp \left\{i\left[\frac{1}{2} b x-\left(\frac{1}{4} b^{2}-a^{2}\right)\right]\right\} \operatorname{sech} a(x-b t),
\]
где $a$ и $b$ – произвольные константы. Осциллирующая часть имеет огибающую формы sech. Нелинейное уравнение Шредингера (НЛШ) играет исключительно важную роль в теории развития слабо меняющихся волновых шлейфов в устойчивых слабо нелинейных системах и встречается в целом ряде физических ситуаций, включая физику плазмы и нелинейную оптику.

Оказывается, что НЛШ обладает теми же свойствами, что и уравнения КдФ, мКдФ и sin-Гордон, т. е. огибающие их решений в виде бегущей волны являются солитонами. В гл. 8 содержится существенно больше деталей о решениях уравнения НЛШ и приводятся выводы некоторых физических моделей, в которых уравнение НЛШ играет важную роль.

Форма выражения (1.6.2) указывает на то, что мы можем, как и прежде, искать преобразование типа Коула-Хопфа, чтобы увидеть, можно ли вычислить двухсолитонное решение.

Определим функцию $f$ так, чтобы модуль квадрата $\varphi$ мог быть записан в виде
\[
|\varphi|^{2}=\frac{2}{3} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \log f
\]

и выберем $\varphi=g / f$ так, чтобы
\[
g g^{*}=\frac{2}{\beta}\left(f f_{x x}-f_{x}^{2}\right) .
\]

Подстановка этих выражений в (1.6.1) показывает, как и в предыдуцем примере, что члены выше второй степени уничтожаются, что приводит к уравнению
\[
f g_{x x}-2 f_{x} g_{x}+g f_{x x}+i\left(g_{t} f-g f_{t}\right)=0 .
\]

Однопараметрическое решение уравнения (1.6.5) имеет вид
\[
\begin{aligned}
g & =2 a(2 / \beta)^{1 / 2} \exp \theta \\
f & =1+\exp \left(\theta+\theta^{*}\right), \\
\theta_{R} & =a x-a b t \\
\theta_{I} & =\frac{1}{2} b x+\left(a^{2}-\frac{1}{4} b^{2}\right) t,
\end{aligned}
\]

что согласуется с (1.6.2). Подстановка двухпараметрического решения в уравнения, полученные путем использования простой итерационной процедуры, аналогичной описанной в разд. 1.4 для случая уравнения КдФ, показывает, что снова получаются обрывающиеся ряды и вычисляется точное двухпараметрическое решение. Это оставлено в качестве упражнения для читателя в конце главы.