Уравнения Ландау — Лифшица определяют общий класс моделей, порождешых единственной функцией W. Изотропный ферромагнетик Гейзенберга определяется магіитной ллотностью
$$W=A(abla\mathrm{m}{)}^2$$

с соответствующим уравнением Ландау — Лифшица
$${\mathbf{m}}_1=-\gamma A\mathrm{m}\wedge \mathrm{\Delta }\mathrm{m},{\mathbf{m}}^2=M^2.$$

Подходящим образом изменяя масштаб переменных, мы можем это уравнение свести к следующему каноническому виду:
$$S,t=S\wedge \mathrm{\Delta }S,|S{|}^2=1.$$

Уравнение (7.7.31) имеет форму, рассмотренную в разд. 7.4. Қаждое решение определяет отображение ${\tilde{\mathcal{S}}}^t:S^2\to S^2$, имеюцее в координатах вид
$${{\tilde{S}}^t:\tilde{\mathbf{n}}\to \underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}S(\hat{r},t),\widehat{(n})}^2=1,$$

аналогичное отображению, определеному на $S^{\mathbf{1}}$ уравнением (7.4.20). Для такого отображения мы имеем топологически сохраняющийся заряд
$$Q=\frac{1}{4\pi }{\int }_{S^2}d\theta d\phi {\tilde{\mathbf{S}}}^t\cdot [{\tilde{\mathbf{S}}}_{,\theta }^t\wedge {\tilde{\mathbf{S}}}_{,}^t]$$

который не зависит от $t$.
Решения, которые согласуются с граничными условиями
$$\mathbf{S}(\mathbf{x},t)\to {\mathbf{S}}_0,{\mathbf{S}}_0\text{ постоянно, при }|\mathbf{x}|\to \mathrm{\infty },$$

будут иметь нулевой заряд (7.7.33). Однако следует отметить, что такое граничное условие означает, что каждое решение $\mathbf{S}$ в действительности определяет отображениє из $S^3$ (компактифицированное ${\mathbb{R}}^3$ ) в ${\mathcal{S}}^2$. С этой точки зрения каждое решение (7.7.31) с граничным условием (7.7.34) можно связать с элементом группы ${\pi }_3\left(S^2\right)$. Поскольку ${\pi }_3\left(S^2\right)=Z$, можно определить целочисленный топологический заряд для таких решений, по характеру нелокальный. Мы хотим лищь обратить внимание на то обстоятельство, что может существовать более одного топологического заряда, связанного с данной задачей.

Особенно интересным множеством решений (7.7.31) является множество статичных, не зависящих от времени решений. Эти решения удовлетворяют уравнениям
$$S\wedge \mathrm{\Delta }S=0.$$

Поскольку $S$ имеет единичную длину, то получается, что
$$\mathrm{\Delta }S=\lambda (\mathrm{x})\mathrm{S},$$

где $\lambda (\mathbf{x})$ — некоторая скалярная функция. Легко показать, что
$$\lambda (\mathbf{x})=-abla\mathbf{S}\cdot abla\mathbf{S},$$

и уравнение (7.7.36) преобразуется к следующему виду:
$$\mathrm{\Delta }S+(ablaS\cdot ablaS)S=0.$$

Решения этого уравнения могут классифицироваться в соответствии с их топологическим зарядом, определенным в (7.7.33). Элементы гомотопической группы ${\pi }_2\left(S^2\right)$ характеризуют возможные сингулярные точки в ферроматнетике, в которых не определен вектор магнитного момента.

В случае плоских спинов в плоскости $(x,y)$ уравнения (7.7.30) принимают вид
$${\mathrm{S}}_{,xx}+{\mathrm{S}}_{,yy}+({\left|{\mathrm{S}}_{,x}\right|}^2+{\left|{\mathrm{S}}_{,y}\right|}^2)\mathrm{S}=0,\mathrm{S}\in {\mathrm{S}}^2.$$

Решением для этого плоского случая является функция $S$, отображающая ${\mathbb{R}}^2$ в $S^2$. Следуя теории, изложенной в разд. 7.3 , мы можем для таких решений определить топологический заряд формулой
$$Q[S]=\frac{1}{8\pi }\iint e_{\mu v}{\epsilon }^{abc}{S}_{+\mu }{}^a{S}_{,u}{}^b{S}^c{d}^{2}x.$$

Уравнения (7.7.39) получаются минимизацией функционала
$$W[\mathrm{S}]=\iint d^{2}x({\left|{\mathrm{S}}_{,x}\right|}^2+{\left|{\mathrm{S}}_{,y}\right|}^2),$$

подчиненного ограничению $|S{|}^2=1$.
Следуя анализу вихрей из разд. 7.5, мы можем, применяя формулу (7.7.40), переписать $W[S]$ в виде
$$W[\mathrm{S}]=\iint d^{2}x((1/2)\sum _{\mu =1}^2{\left|K_{\pm }^{\mu }\right|}^2)\mp 8\pi Q[\mathrm{S}],$$

где
$$K_{\pm }^{\mu a}=[S_{,\mu }^a\pm {\epsilon }_{\mu u}{\epsilon }^{abc}{S}_{,u}^b{S}^c].$$

Это означает, что
$$W[S]⩾8\pi |Q[S]|$$

и что фушкционал будет минимизирован в классе решений заряда $N$, когда
$$K_{\epsilon }^{\mu a}=0,\epsilon N<0(\epsilon =\pm 1).$$

Эти уравнения представляют собой прямой аналог уравнений (7.5.46)-(7.5.49). Решения уравнения (7.7.39), удовлетворяюцие (7.7.45), также называются вихрями,
После введения параметризании
$$S=(\sin \theta \cos \mathrm{\Phi },\sin \theta \sin \mathrm{\Phi },\cos \theta )$$

уравнение (7.7.45) принимает вид
$${\mathrm{\Phi }}_{,\mu }=-\epsilon \mathrm{cosec}\theta {\epsilon }_{\mu u}{\theta }_{,v}.$$

Это уравнение может быть приведепо к его простейшему виду, если отобразить сферу — образ отюбражения $S$-на комплексную плоскость. Если $S$ удовлетворяет граничному условию
$$S\to (0,0,-1)\text{ при }|x|\to \mathrm{\infty },$$

то наиболее удобный выбор комплексной переменной дается формулой
$$\omega =\mathrm{ctg}(\theta /2)e^{-i\mathrm{\Phi }}={\omega }_1+i{\omega }_2,$$

и уравнение (7.7.47) сводится к линейному вида
$${\omega }_{1,\mu }=-\epsilon {\epsilon }_{\mu v}{\omega }_{2,v}$$

и представляет собой попросту уравнения Коии — Римана.
Мы можем теперь выписать общее $N$-вихревое решение. Если мы определим
$$\xi =x+i\epsilon y$$

и предположим, что существенные особенности отсутствуют, то общее решение (7.7.50) окажется равным
$$\omega (\xi )={\omega }_0\prod _i{(\xi -{\xi }_i)}^{n_i}\prod _j{(\xi -{\tilde{\xi }}_j)}^{-m_j}(n_i,m_j>0).$$

Точно так же, как в разд. 7.5 , заряд, отвечающий $\omega (\xi )$, дается нулями функции $\omega (\xi )$, и смешанных вихревых-антивихревых состояний не существует. Если поля спинов, отвечающие $\omega (\xi )$, обозначить через $S[\omega ]$, то
$$Q[S[\omega ]]=\sum _i{n}_i.$$

Для получения одновихревого поля выберем ${\omega }_1=i\xi$ и найдем, что
$$\mathrm{\Phi }=\phi -\pi /2,\theta =2\mathrm{arcctg}\rho$$

с соответствующим вектором спина
$$\mathbf{S}=[\frac{2\rho }{1-{\rho }^2}\sin \phi ,-\frac{2\rho }{1+{\rho }^2}\cos \phi ,\frac{1-{\rho }^2}{1+{\rho }^2}].$$

На рис. 7.24 а изображена слиновая компонента $S_3$. Мы видим, что поле спинов представляет собой упорядоченное состояние.

Рис. 7.24. а) Спиновая компонента $S_3$, б) Проекция вскторного поля $\mathbf{S}$ на плоскость $(x,y)$.

Оно перпендикулярно спиновой плоскости, за исключением круговой области в окрсстности начала координат. Рис. 7.246 иллюстрирует поле направлений в плоскости $(x,y)$, и видно, что поле имеет типичную вихревую структуру, уже знакомую по разд. 7.5.

Хотя уравнение (7.7.39) не является эволюционным, оно может быть связано с некоторой обратной задачей рассеяния нестандартного вида.

Если ввести комплексную переменную
$$\xi =x+iy$$

то можно увидеть, что уравнение (7.7.39) вытекает из условий интегрируемости линейной задачи рассеяния
$$\begin{array}{l}{\psi }_{,\overline{\xi }}=(1-\gamma )(S\wedge S_{,\xi })\cdot \frac{\sigma }{2i}\psi ,\\ {\psi }_{,\overline{\epsilon }}=(1-{\gamma }^{-1})(S\wedge S_{,\overline{\xi }})\cdot \frac{\sigma }{2i}\psi ,\end{array}$$

где через $\mathit{\sigma }$ обозначаются матрицы Паули, определенные формулами
$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{rr}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

а $\gamma$ играет роль слектрального параметра. Техника решений, применяемая для аналиэа задач такого типа, выходит за рамки этой книги и является в настоящее время предметом многих исследованнй. Қраткий обзор этой техиики помещен в разд. 6.4. Мы еще вернемся к уравнениям (7.7.39) в коніге этого раздела, где будет показано, что эти уравиения эквивалентны в некотором смысле евклидовой форме уравнений СГ.