Уравнения Ландау — Лифшица определяют общий класс моделей, порождешых единственной функцией W. Изотропный ферромагнетик Гейзенберга определяется магіитной ллотностью
\[
W=A(
abla \mathrm{m})^{2}
\]

с соответствующим уравнением Ландау — Лифшица
\[
\mathbf{m}_{1}=-\gamma A \mathrm{~m} \wedge \Delta \mathrm{m}, \quad \mathbf{m}^{2}=M^{2} .
\]

Подходящим образом изменяя масштаб переменных, мы можем это уравнение свести к следующему каноническому виду:
\[
S, t=S \wedge \Delta S, \quad|S|^{2}=1 .
\]

Уравнение (7.7.31) имеет форму, рассмотренную в разд. 7.4. Қаждое решение определяет отображение $\tilde{\mathscr{S}}^{t}: S^{2} \rightarrow S^{2}$, имеюцее в координатах вид
\[
\left.\tilde{S}^{t}: \tilde{\mathbf{n}} \rightarrow \lim _{r \rightarrow \infty} S(\hat{r}, t), \quad \hat{(n}\right)^{2}=1,
\]

аналогичное отображению, определеному на $S^{\mathbf{1}}$ уравнением (7.4.20). Для такого отображения мы имеем топологически сохраняющийся заряд
\[
Q=\frac{1}{4 \pi} \int_{S^{2}} d \theta d \varphi \tilde{\mathbf{S}}^{t} \cdot\left[\tilde{\mathbf{S}}_{, \theta}^{t} \wedge \tilde{\mathbf{S}}_{,}^{t}\right]
\]

который не зависит от $t$.
Решения, которые согласуются с граничными условиями
\[
\mathbf{S}(\mathbf{x}, t) \rightarrow \mathbf{S}_{0}, \quad \mathbf{S}_{0} \text { постоянно, при }|\mathbf{x}| \rightarrow \infty,
\]

будут иметь нулевой заряд (7.7.33). Однако следует отметить, что такое граничное условие означает, что каждое решение $\mathbf{S}$ в действительности определяет отображениє из $S^{3}$ (компактифицированное $\mathbb{R}^{3}$ ) в $\mathcal{S}^{2}$. С этой точки зрения каждое решение (7.7.31) с граничным условием (7.7.34) можно связать с элементом группы $\pi_{3}\left(S^{2}\right)$. Поскольку $\pi_{3}\left(S^{2}\right)=Z$, можно определить целочисленный топологический заряд для таких решений, по характеру нелокальный. Мы хотим лищь обратить внимание на то обстоятельство, что может существовать более одного топологического заряда, связанного с данной задачей.

Особенно интересным множеством решений (7.7.31) является множество статичных, не зависящих от времени решений. Эти решения удовлетворяют уравнениям
\[
S \wedge \Delta S=0 .
\]

Поскольку $S$ имеет единичную длину, то получается, что
\[
\Delta S=\lambda(\mathrm{x}) \mathrm{S},
\]

где $\lambda(\mathbf{x})$ — некоторая скалярная функция. Легко показать, что
\[
\lambda(\mathbf{x})=-
abla \mathbf{S} \cdot
abla \mathbf{S},
\]

и уравнение (7.7.36) преобразуется к следующему виду:
\[
\Delta S+(
abla S \cdot
abla S) S=0 .
\]

Решения этого уравнения могут классифицироваться в соответствии с их топологическим зарядом, определенным в (7.7.33). Элементы гомотопической группы $\pi_{2}\left(S^{2}\right)$ характеризуют возможные сингулярные точки в ферроматнетике, в которых не определен вектор магнитного момента.

В случае плоских спинов в плоскости $(x, y)$ уравнения (7.7.30) принимают вид
\[
\mathrm{S}_{, x x}+\mathrm{S}_{, y y}+\left(\left|\mathrm{S}_{, x}\right|^{2}+\left|\mathrm{S}_{, y}\right|^{2}\right) \mathrm{S}=0, \quad \mathrm{~S} \in \mathrm{S}^{2} .
\]

Решением для этого плоского случая является функция $S$, отображающая $\mathbb{R}^{2}$ в $S^{2}$. Следуя теории, изложенной в разд. 7.3 , мы можем для таких решений определить топологический заряд формулой
\[
Q[S]=\frac{1}{8 \pi} \iint e_{\mu v} \varepsilon^{a b c} S_{+\mu}{ }^{a} S_{,
u}{ }^{b} S^{c} d^{2} x .
\]

Уравнения (7.7.39) получаются минимизацией функционала
\[
W[\mathrm{~S}]=\iint d^{2} x\left(\left|\mathrm{~S}_{, x}\right|^{2}+\left|\mathrm{S}_{, y}\right|^{2}\right),
\]

подчиненного ограничению $|S|^{2}=1$.
Следуя анализу вихрей из разд. 7.5, мы можем, применяя формулу (7.7.40), переписать $W[S]$ в виде
\[
W[\mathrm{~S}]=\iint d^{2} x\left((1 / 2) \sum_{\mu=1}^{2}\left|K_{ \pm}^{\mu}\right|^{2}\right) \mp 8 \pi Q[\mathrm{~S}],
\]

где
\[
K_{ \pm}^{\mu a}=\left[S_{, \mu}^{a} \pm \varepsilon_{\mu
u} \varepsilon^{a b c} S_{,
u}^{b} S^{c}\right] .
\]

Это означает, что
\[
W[S] \geqslant 8 \pi|Q[S]|
\]

и что фушкционал будет минимизирован в классе решений заряда $N$, когда
\[
K_{\varepsilon}^{\mu a}=0, \quad \varepsilon N<0 \quad(\varepsilon= \pm 1) .
\]

Эти уравнения представляют собой прямой аналог уравнений (7.5.46)-(7.5.49). Решения уравнения (7.7.39), удовлетворяюцие (7.7.45), также называются вихрями,
После введения параметризании
\[
S=(\sin \theta \cos \Phi, \sin \theta \sin \Phi, \cos \theta)
\]

уравнение (7.7.45) принимает вид
\[
\Phi_{, \mu}=-\varepsilon \operatorname{cosec} \theta \varepsilon_{\mu
u} \theta_{, v} .
\]

Это уравнение может быть приведепо к его простейшему виду, если отобразить сферу — образ отюбражения $S$-на комплексную плоскость. Если $S$ удовлетворяет граничному условию
\[
S \rightarrow(0,0,-1) \text { при }|x| \rightarrow \infty,
\]

то наиболее удобный выбор комплексной переменной дается формулой
\[
\omega=\operatorname{ctg}(\theta / 2) e^{-i \Phi}=\omega_{1}+i \omega_{2},
\]

и уравнение (7.7.47) сводится к линейному вида
\[
\omega_{1, \mu}=-\varepsilon \varepsilon_{\mu v} \omega_{2, v}
\]

и представляет собой попросту уравнения Коии — Римана.
Мы можем теперь выписать общее $N$-вихревое решение. Если мы определим
\[
\xi=x+i \varepsilon y
\]

и предположим, что существенные особенности отсутствуют, то общее решение (7.7.50) окажется равным
\[
\omega(\xi)=\omega_{0} \prod_{i}\left(\xi-\xi_{i}\right)^{n_{i}} \prod_{j}\left(\xi-\tilde{\xi}_{j}\right)^{-m_{j}} \quad\left(n_{i}, m_{j}>0\right) .
\]

Точно так же, как в разд. 7.5 , заряд, отвечающий $\omega(\xi)$, дается нулями функции $\omega(\xi)$, и смешанных вихревых-антивихревых состояний не существует. Если поля спинов, отвечающие $\omega(\xi)$, обозначить через $S[\omega]$, то
\[
Q[S[\omega]]=\sum_{i} n_{i} .
\]

Для получения одновихревого поля выберем $\omega_{1}=i \xi$ и найдем, что
\[
\Phi=\varphi-\pi / 2, \quad \theta=2 \operatorname{arcctg} \rho
\]

с соответствующим вектором спина
\[
\mathbf{S}=\left[\frac{2 \rho}{1-\rho^{2}} \sin \varphi,-\frac{2 \rho}{1+\rho^{2}} \cos \varphi, \frac{1-\rho^{2}}{1+\rho^{2}}\right] .
\]

На рис. 7.24 а изображена слиновая компонента $S_{3}$. Мы видим, что поле спинов представляет собой упорядоченное состояние.

Рис. 7.24. а) Спиновая компонента $S_{3}$, б) Проекция вскторного поля $\mathbf{S}$ на плоскость $(x, y)$.

Оно перпендикулярно спиновой плоскости, за исключением круговой области в окрсстности начала координат. Рис. 7.246 иллюстрирует поле направлений в плоскости $(x, y)$, и видно, что поле имеет типичную вихревую структуру, уже знакомую по разд. 7.5.

Хотя уравнение (7.7.39) не является эволюционным, оно может быть связано с некоторой обратной задачей рассеяния нестандартного вида.

Если ввести комплексную переменную
\[
\xi=x+i y
\]

то можно увидеть, что уравнение (7.7.39) вытекает из условий интегрируемости линейной задачи рассеяния
\[
\begin{array}{l}
\psi_{, \bar{\xi}}=(1-\gamma)\left(S \wedge S_{, \xi}\right) \cdot \frac{\sigma}{2 i} \psi, \\
\psi_{, \bar{\varepsilon}}=\left(1-\gamma^{-1}\right)\left(S \wedge S_{, \bar{\xi}}\right) \cdot \frac{\sigma}{2 i} \psi,
\end{array}
\]

где через $\boldsymbol{\sigma}$ обозначаются матрицы Паули, определенные формулами
\[
\sigma_{x}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{y}=\left(\begin{array}{rr}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{z}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)
\]

а $\gamma$ играет роль слектрального параметра. Техника решений, применяемая для аналиэа задач такого типа, выходит за рамки этой книги и является в настоящее время предметом многих исследованнй. Қраткий обзор этой техиики помещен в разд. 6.4. Мы еще вернемся к уравнениям (7.7.39) в коніге этого раздела, где будет показано, что эти уравиения эквивалентны в некотором смысле евклидовой форме уравнений СГ.