Численный анализ как инструмент изучения дифференциальных уравнений в частных производных предлагает приводящее в замешательство многообразие численных приемов и методов. Для выбранного уравнения вопрос о \”нанлучшем» численном методе представляется исключительно сложным. Даже частичный ответ на этот вопрос зависит от многих факторов: например, конечной точности, требуемой для задаиной области независимых переменных, и таких ограничений, как затраты времени и памяти, а также длина машинного слова. В равной степени важны время и усилия, затрачиваемые на программирование. Большинство физиков-вычислителей и прикладных математиков обычно удовлетворены одним достаточно эффективным методом, и редко проводятся подробные сравнения его с другими методами. По этой причине мы не особенно настаиваем на преимуществах описанных ниже методов, кроме случаев, когда были проведены статистически значимые тесты. Требуется основательная работа и не только по теоретическому анализу точности и эффективности, но и по практической проверке с использованием близких к оптимальным программных реализаций. Дополнительным соображением, которое становится все более важным, является применимость выбранного алгоритма к новому поколению компьютеров с параллельными процессорами, получающими ныне широкое расиространение.

В этом коротком разделе мы успеем лишь бегло охарактеризовать некоторые основные численные схемы. Полное описание можно найти в книгах Рихтмайера и Мортона [1967], Митчелла и Гриффитса [1980], Эймза [1977], Готтлиба и Орзага [1977] и Мейза и Марковица [1978].

Большинство уравнений, представленных в нашей книге, можно записать либо в форме
\[
u_{t}=L(u) \text {, }
\]

либо в форме
\[
u_{t t}=L(u),
\]

где $L(u)$ – пекоторый общего вида нслинейный дифференииальный оператор отиоситольно иространствениой перемения $x$. Сначала мы рассмитрим одномерный спучай, откладывая миогомерный случай до поспеднего раздела. В том же духс ма будем обычно рассматривать и как скалярное ноле, хотя мнопис оли. саншые здесь методы обобщаются на случай векторного поля. нентную форму уравнения (10.2.1), но полезно расематынать методы, предназначенные для работы непосрсдственно (10.2.2).

Чтобы анализировать уравнения численио, нужно заменит грапицныс условия на бесконсчности усююнями па некоторой конечиой границс. Для минимизации влняния бесконечдо удаленной границы мы можем взлть границу на больюи растоянии от области, где $и$ меняется. На этой границе мы потызи, что либо $u$, либо ее производные равны нулю. Другой более услож\” ненной модифнкацией этого метода является использование так называемого граничного условия потока паружу: мы предиола. гаем, что любая часть решения, достигіюня грапицы, удовлетворяет некоторому линейному или нелинейному однонаравленному волновому уравненню, которое в каком-то смњсле апғроксимирует исходное волновос уравнение. Это позволяет изовавиться от трудностей, вызываемых отражением па конетных гранияах. Разумеется, другие грапицныс условия могут лучше подходить к моделированию некоторых физических спуаций, цаже ссли такие условия противоречат теоретическим нодходам, оиианиым в предыдущих главах.

Полезный частый случай уравнений (10.2.1), (10.2.2) нолучается, если взять $L(u)-a u_{x x}$. С такнм выбором и с $a-1$ уравнение (10.2.1) превращается в линейное уравшение теплопроводности, описанное в гл. 1. Если в (10.2.1) а $=i$, то мы получаем линейное уравнение Шрёдингера, а с $a=1$ в (10.2.2) мы получдем линейное волновое уравнение.

Для сведения исходной задачи к задаче, содержащей ,инь конечное число параметров, применяются две основнље техничсские схемы: подход апрокенмируюцих функций и копечноразностный подход.