Существует тесная связь между изучаемыми здесь интегрируемыми нелинейными эволюгионными уравнениями и обыкновепными диференциальными пелинейными уравцениями типа Пенлеве. Эти уравнсния характеризуются подвижными критическими точками (точками ветвления и существенными сингулярностями) (Айнс [1956]). Например, Лэм [1977] показал, что $\pi$-импульс в усилителе (гл. 7) по существу дается решениями автомодельной формы уравнения СГ, совпадающей со специальным случаем уравнения ГІенлеве третьего типа. Абловиц и Сигур [1977] показали, что автомодельнье решения, обусловлениые уравнениями Пенлеве второго типа, играют существенную роль в асимптотическом поведении решений уравнения КдФ. В самом деле, оказалось, что медленно меняющиеся автомодельные решения дают основной вклад в асимптотику решений (см. разд. 4.3 и 6.3). В серии статей Абловиц, Рамани и Сигур $[1978,1980]$ показали, что специальные случаи пяти трансцендентов Пенлеве возникают из автомодельных форм хорошо известных интегрнруемых эволюционных уравнений и поэтому после замены перемениых могут быть исследованы методом обратной задачи рассеяния. Одпако этот метод не позволяег получить более общие решения уравиений, поскольку он предполагает граничные условия быстрого убызания. Любопытно, что эта задача была исследована Гарнье [1912] и Шлезингером [1912]. Рассмотрим в качестве примера уравнение мКдФ $Q_{t}-6 Q^{2} Q_{x}+Q_{x x x}=0$. Это уравнение может быть решено методом обратной задачи рассеяния с операторами $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ вида
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}
-i \zeta & Q \\
Q & i \zeta
\end{array}\right), \\
\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ll}
-4 \zeta^{3}-2 i \zeta Q^{2} & 4 \zeta Q^{2}-2 i \zeta Q_{x}-Q_{x x}+2 Q^{3} \\
4 \zeta^{2} Q-2 i \zeta Q_{x}-Q_{x x}+2 Q^{3} & 4 \zeta^{3}+2 i \zeta Q^{2}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Автомодельная переменная дія этого уравнения – это $z=x /(3 i)^{1 / 3}$. Введем новую переменную $k=\zeta(3 t)^{1 / 3}$, затем, слегка изменяя задачу (включение члена $v / k$ в $\mathbf{Q}$ ), запишем новую задачу деформации в виде
\[
Y_{z}=\mathbf{P} Y, \quad Y_{k}=\mathbf{Q} Y,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}
-i k & U \\
U & i k
\end{array}\right), \\
\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{cc}
-4 i k^{2}-i\left(z+2 U^{2}\right) & 4 k U+\frac{v}{k}+2 i k U_{z} \\
4 k U+\frac{y}{k}-2 i U_{z} & 4 i k^{2}+i\left(z+2 U^{2}\right)
\end{array}\right),
\end{array}
\]

а интегрируемое уравнение, которое получается из учловий интегрируемости, является уравнением Пенлеве II-го тина:
\[
U_{z z}-z U-2 U^{3}+v=0 .
\]

Возникает вопрос, что сохраняется при деформации, описываемой (6.4.36)? Для ответа на этот вопрос будем рассматривать Q у равнение как фундаментальное, и пусть $P$-уравиение опрелеляет деформации. Точка $k=0$ являетея регулярной особой точкой $\mathbf{Q}$-уравнения, а точка $k=\infty$ – нерегулярной особой точкой. $\mathrm{C}$ нерегулярной особой точкой связано явление Стокса. Фундаментальные решения $\mathbf{Q}$-уравнения, имеющие асимлтотическое разложение одного и того же вида в окрестности точки $k=\infty$, определены на непрерывных областях римановой поверхности (в этом случае — римановой сферы), иногда называемыми областями Стокса. Два таких решения, определенных на примыкающих областях, связаны матричной функцией, элементы которой называются множителями Стокса. Фундаментальное матричное решение Q-уравнения является многозначным в окрестности точки $k=0$. Соотношение между двумя последовательными ветвями на римановой поверхности ( $k=0$ есть точка ветвления) имеет вид $Y(k \exp (2 \pi i))=Y(k) \boldsymbol{M}$, где $\boldsymbol{M}$ – матрица монодромии, связанная с точкой $k=0$. Эти фундаментальные решения, определенные асимптотическими разложениями в окрестностях точек $k=0$ и $k=\infty$ соответственно, выражаются одно через другое с помощью матрицы связи. Можно показать, что матрица монодромии может быть выражена через множители Стокса и матрицы связи, которые и образуют данные монодромии для уравнения. Задача восстановления $Q$-уравнения по данным монодромии состоит в обобщении задачи Римана для регулярной особой точки на случай нерегулярной особой точки (см. Биркгоф [1913]). Флашка и Ньюэлл [1980] показали, что данные монодромин не меняются, когда Q-уравнение деформируется P-уравнением, определенным в (6.4.36) (т. е. не зависят от z). В этой статье уравнение Пенлеве II-го типа они решают методом обратной задачи с монодромией, вкратце описанным выше. Обратная задача была решена восстановлением $Y(k)$ при произвольных значениях $z$ по данным монодроми. Решение удовлетворяет сингулярному интегральному уравнению для $Y(k)$, из которого может быть восстановлена $U$.

В трех очень интересных статьях Джимбо, Мива и Уено [1981] исследовали общую задачу, когда $\mathbf{Q}$ имеет произвольные рациональные коэффициенты и особенности. К тому же они показали, что единственное Р-уравнение может быть заменено произвольным числом уравнений с соответствующим числом деформационных параметров. На этом пути им удалось включить в рассмотрение изоспектральные деформации внутри изомонодромической структуры. Статьи Флашки и Ньюэлла [1981] и Джимбо и Мивы [1981] содержат дальнейшее развитие этих идей.