Вычисления, связанные с методом многомасштабных разложений (см. разд. 8.1), обнаруживают некоторые структурные особенности, позволяющие прецположить, что возможны обобщения. Например, в левой части всегда появляется оператор $\partial^{2} / \partial x^{2}-\partial^{2} / \partial t^{2}-a$, а другие операторы, такие как $2\left(\partial^{2} / \partial x \partial X_{1}-\right.$ – $\partial^{2} / \partial t \partial T_{1}$ ), очевидно, являются следующими членами в разложении Тейлора этого специального оператора, если считать $\varepsilon$ малым параметром разложения.

Поэтому рассмотрим класс уравнений в частных производных вида
\[
L\left(\frac{\partial}{\partial t} ; \frac{\partial}{\partial x}\right) \varphi=\sum_{i}\left(M^{(i)} \varphi\right)\left(N^{(i)} \varphi\right)+\sum_{i}\left(P^{(i)} \varphi\right)\left(R^{(i)} \varphi\right)\left(Q^{(i)} \varphi\right),
\]

где $L, M, N, P, Q, R$ – скалярные дифференциальные операторы относительно $\partial / \partial x$ и $\partial / \partial t$. Предположим, что исходные уравнения движения уже разложены в некоторой окрестности точки устойчивого равновесия: $\varphi \rightarrow \varphi_{0}+\varphi$. Представим $\varphi$ в виде асимптотического ряда по $\varepsilon:$
\[
\varphi=\varepsilon \varphi^{(1)}+\varepsilon^{2} \varphi^{(2)}+\ldots
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial t} \rightarrow \frac{\partial}{\partial t}+\varepsilon \frac{\partial}{\partial T_{1}}+\mathrm{e}^{2} \frac{\partial}{\partial T_{2}}+\ldots, \\
\frac{\partial}{\partial z} \rightarrow \frac{\partial}{\partial z}+\varepsilon \frac{\partial}{\partial X_{1}},
\end{array}
\]

и разложим операторы, представляя их рядами Тейлора около $\partial / \partial t$ и $\partial / \partial x:$
\[
\begin{array}{c}
L\left(\frac{\partial}{\partial t}+\varepsilon \frac{\partial}{\partial T_{1}}+\boldsymbol{\varepsilon}^{2}-\frac{\partial}{\partial T_{\varepsilon}} ; \frac{\partial}{\partial x}+\varepsilon \frac{\partial}{\partial X_{1}}+\ldots\right) \rightarrow \\
\rightarrow L\left(\frac{\partial}{\partial t} ; \frac{\partial}{\partial x}\right)+e\left(L_{1} \frac{\partial}{\partial X_{1}}+L_{2} \frac{\partial}{\partial T_{1}}\right)+ \\
\quad+\frac{1}{2} \varepsilon^{2}\left(L_{11} \frac{\partial^{2}}{\partial X_{1}^{2}}+2 L_{12} \frac{\partial^{2}}{\partial X_{1} \partial T_{1}}+L_{22} \frac{\partial^{2}}{\partial T_{1}^{2}}+2 L_{1} \frac{\partial}{\partial T_{1}}\right)+\ldots .
\end{array}
\]

Подстрочные индексы 1 и 2 обозначают дифференцирование по $\partial / \partial x$ и $\partial / \partial t$ соответственно. Подставляя эти разложения в (8.2.1), получаем
\[
\begin{array}{ll}
O(\mathrm{e}): & L \varphi^{(1)}=0, \\
O\left(\varepsilon^{2}\right): & L \varphi^{(2)}=-\left(L_{1} \frac{\partial}{\partial X_{1}}+L, \frac{\partial}{\partial T_{1}}\right) \varphi^{(1)}+\sum_{l}\left(M^{(1)} \varphi^{(1)}\right)\left(N^{(l)} \varphi^{(1)}\right),
\end{array}
\]
\[
\begin{aligned}
O\left(\mathrm{e}^{3}\right): L \varphi^{(3)}= & -\left(L_{1} \frac{\partial}{\partial \tilde{X}_{1}}+L_{2} \frac{\partial}{\partial T_{1}}\right) \varphi^{(2)}-\frac{1}{2}\left[L_{11} \frac{\partial^{2}}{\partial X_{1}^{2}}+\right. \\
& \left.+2 L_{12} \frac{\partial^{2}}{\partial X_{1} \partial T_{1}}+L_{22} \frac{\partial^{2}}{\partial T_{1}^{2}}+2 L_{2} \frac{\partial}{\partial T_{2}}\right]+ \\
& + \text { кубические нелинейные члены. }
\end{aligned}
\]

Уравнение (8.2.4) есть попросту линеаризированный вариант уравнения (8.2.1). В соответствии со сказанным в разд. 8.2 выберем в качестве основного состояния волновую гармонику с амплитудой, зависящей от медленных переменных:
\[
\begin{aligned}
\varphi^{(1)} & =A\left(X_{1}, T_{1}, T_{\mathrm{z}}\right) \exp (i \theta)+\text { c. c., } \\
\theta & =k \omega-\omega t
\end{aligned}
\]

H
\[
l(-i \omega, i k)=0
\]

Мы воспользовались обозначением
\[
L\left(\frac{\partial}{\partial t} ; \frac{\partial}{\partial x}\right) \exp (i \theta)=(\exp (i \theta)) l(-i \omega ; i k),
\]

где большой буквой обозначается операторная функция от $\partial / \partial x$ и $\partial / \partial t$, а маленькой – функция от $k$ и $\omega$.

Уравнение (8.2.8) является дисперсионным соотношением. В этом месте стоит указать, что мы рассматриваем только такие системы, для которых вещественные значения $\omega$ получаются при всех $k$, т. е. чисто дисперсионные системы. Системы, которые при некоторых значениях $k$ дают мнимые или комплексные значения для $\omega$, окажутся неустойчивыми, потому что в (8.2.7) появятся члены экспоненциального роста. Системы такого вида ведут себя не так, как полностью устойчивые, и их поведение будет рассмотрено в следующей главе.
Подстановка (8.2.7) в (8.2.5) дает
\[
\begin{aligned}
L \varphi^{(2)}= & -i\left[l_{\omega} \frac{\partial A}{\partial T_{1}}-l_{k} \frac{\partial A}{\partial X_{1}}\right] \exp (i \theta)+ \\
& +\sum_{i} m^{(i)} n^{(i)} A^{2} \exp (2 i \theta)+ \\
& +\sum_{i} m^{(i)} n^{(i)}|A|^{2}+\text { c. c. }
\end{aligned}
\]

Как мы объясняли в предыдущем разделе, $\exp (i \theta)$ является секу. лярным членом, и для применимости теории возмущений нужно потребовать, чтобы $A$ менялось в соответствии с уравнением
\[
l_{\omega} \frac{\partial A}{\partial T_{1}}-l_{k} \frac{\partial A}{\partial X_{1}}=0 .
\]

Вычисляя полную производную от дисперсионного соотношения (8.2.8) по $k$, находим
\[
\begin{array}{c}
l_{k}+\left(\frac{d \omega}{d k}\right) l_{\omega}=0 \\
l_{k k}+2 l_{k \omega}\left(\frac{\partial \omega}{\partial k}\right)+\left(\frac{\partial \omega}{\partial k}\right)^{2} l_{\omega \omega}+\left(\frac{\partial^{2} \omega}{\partial k^{2}}\right) l_{\omega}=0
\end{array}
\]

и, следовательно, в силу (8.2.10),
\[
\begin{array}{c}
A=A\left(\bar{X}, T_{2}\right), \\
\bar{X}=X_{1}-\left(\frac{d \omega}{d k}\right) T_{1} .
\end{array}
\]

Поэтому по первым медленным временно̀й и пространственной переменным волны движутся с групповой скоростью.

Член $m n^{*} A A^{*}$ в (8.2.9) также может явиться причиной появления секулярностей для операторов $L$ определенного вида. Например, если $L$ содержит постоянную, как в уравнении (8.1.2), то такой член не доставит хлопот, так как в разложении $\varphi^{(2)}$ не поянится секулярных членов типа $x \exp (i \theta)$ или $t \exp (i \theta)$. Однако если $L$ не содержит постоянного члена и каждый его член является нетривиальным оператором, то $\varphi^{(2)}$ будет содержать секулярные члены. Для таких $L$ операторы $M$ и $N$ должны подчиняться условию
\[
\sum_{i} m^{(i)} n^{(i)}+\text { c. c. }=0,
\]

для того чтобы секулярные члены не возникали.
Частное решение $\varphi^{(2)}$ представляется в виде
\[
\varphi^{(2)}=\alpha_{1} A^{2} \exp (2 i \theta)+\alpha_{2}|A|^{2}+B\left(\bar{X}, T_{2}\right)+\text { c. c. }
\]

где $B$ возникает как постоянная ннтегрирования, но может зависеть от медленных переменных. Величина $\alpha_{2}$ может обращаться в нуль, но может и не обращаться, в зависимости от вида $L$. Подставим (8.2.15) в (8.2.6) и проследим за секулярными членами. Они могут быть двух видов. Секулярности первого вида связаны с выражением $\exp (i \theta)$ и уже встречались нам. Члены второго вида, которые являются функциями лишь медленных переменных (например, $B$ и $|A|^{2}$ и их медленные производные), будут секулярными, если $L$ не содержит постоянной. Поскольку в силу (8.2.13) все медленные производнье должны относиться к $\partial / \partial \bar{X}$, отсюда следует, что $B$ – либо нуль, либо пропорционально $|A|^{2}$. Удаление секулярных членов, связанных с $\exp (i \theta)$, приводит тогда к нелинейному уравненню Шрёдингера вида
\[
2 i i_{\omega} \frac{\partial A}{\partial T_{2}}+\left(\frac{\partial^{2} \omega}{\partial k^{2}}\right) \frac{\partial^{2} A}{\partial \bar{X}^{2}}+\gamma A|A|^{2}=0 .
\]

Коэффициент $\partial^{2} \omega / \partial k^{2}$ можно получить из (8.2.10) с помощью уравнения (8.2.11); он может оказаться сложной функцией одновременно от $k$ и $\omega$. Заметим, что уравнение (8.2.16) есть нелинейное уравнение Шрёдингера того же самого вида, что и (8.1.5), за исключением того, что мы игнорируем пространственную переменную $X_{2}$. Знак будет зависеть от $L$, а вид нелинейности и знак $\partial^{2} \omega / \partial k^{2}$ при данном $k$ будут зависеть от вида дисперсионного соотношения.

Прежде чем перейти к физическим примерам, стоит возвратиться к оператору обратной задачи рассеяния нелинейного уравнения Шрёдингера и рассмотреть критерии для получения солитонов. Здесь важны относительные знаки у $\beta$ и $\gamma$ в (8.1.1), поскольку они определяют, будет ли изоспектральный оператор НУШ самосопряженным или кососимметричным. Повторяя вычисления гл. 6 , находим, что соответствующий оператор Захарова-Шабата [1972, 1976], имеюций постоянный спектр во все моменты времени, задается уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \psi_{1}}{\partial x}+i \lambda \psi_{1}=q \psi_{2}, \\
\frac{\partial \psi_{2}}{\partial x}+i \lambda \psi_{2}=r \psi_{1},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
g=(\gamma / 2 \beta)^{1 / 2} A, \\
r=-(\gamma / 2 \beta)^{1 / 2} A^{*} .
\end{array}
\]

Очевидно, что если $\beta \gamma>0$, то $r=-q^{*}$, так что оператор будет кососимметричным с мнимыми собственными значениями. Из результатов глав 2-4 и 6 следует, что солитоны порождаются дискретным спектром, который в свою очередь возникает из-за связанных состояний с отрицательной энергией. Состояниям с отрицательной энергией отвечают мнимые собственные значения. Если $\beta \gamma<0$, то $r=q^{*}$ и наш оператор является самосопряженным с вещественными сообственными эначениями. Появление солитонов в этом случае невозможно.

Знак величины $\beta \gamma$ может меняться от задачи к задаче, поскольку он зависит от вида нелинейности и различных параметров, сопутствующих рассматриваемой задаче. Можно трактовать случай $\beta \gamma>0$ как случай, когда происходит фокусировка или группирование огибающей волн, а случай $\beta \gamma<0$ – как расфокусировку. В разд. 8.4 мы будем рассматривать оптическую фокусировку и расфокусировку в среде, где показатель преломления нелинейно меняется в зависимости от поля. Аналогичный пример упоминается также в разд. 8.7. в примечаниях; он связан с возможностью распространения солитонов по оптическому волокну. Общий принцип, согласно которому положительный или отрицательный знак $\beta \gamma$ отвечает фокусировке или расфокусировке волн соответственно, применим к любым нерезонансным устойчивым слабонелинейным системам, будь то в жидкости, плазме или в устройствах лазерной оптики.

Қак мы видим выше, критерий $\beta \gamma \gtrsim 0$ важен для решения вопроса о том, как будут развиваться во времени начальные данные. Возникающие две возможности – групнирование в солитоны либо развитие в автомодельную форму без группирования напомннают ситуацию с известным критерием БенджамннаФейра (Бенджамин и Фейр [1967], Бенджамин [1967]), касающимся устойчивости или неустойчивости волн на воде в связи с воздействием побочных гармоник на фундаментальную частоту. Речь идет о том, чтобы определить, будет ли несущая волна дестабилизироваться из-за нелинейности в исходных уравнениях движения. Хотя окончательным уравнением для амплитуды в любом случае будет нелинейное уравнение Шрёдингера, тем не менее в вопросе о том, станет ли несущая волна неустойчивой в результате воздействия побочных гармоник, решающим фактором является знак $\beta \gamma$. Применяя очень простой и элегантный метод Стюарта и Ди Примы [1978], легко показать, что $\beta \gamma>0$ отвечает неустойчивости, как и следовало ожидать.

Прежде всего линеаризуем наше уравнение в окрестности какого-нибудь решения, не зависящего от $x$. Такое решение легко находится:
\[
A_{0}(t)=a_{0} \exp \left(i \gamma\left|a_{0}\right|^{2} t\right),
\]

где $a_{0}$ – произвольное комплексное число. Положим теперь
\[
A_{0}(x, t)=A_{0}(t)(1+B(x, t))
\]

и, применяя (8.2.20), линеаризуем НУШ. Далее, легко показать, что уравнение для $B$ имеет вид
\[
i \frac{\partial B}{\partial t}+\beta \frac{\partial^{2} B}{\partial x^{2}}+\gamma\left|a_{0}\right|^{2}\left(B+B^{*}\right)=0 .
\]

Поскольку уравнение (8.2.21) линейно, можно искать решение в виде
\[
B=B_{1} \exp [i(t x+\Omega t)]+B_{2} \exp \left[-i\left(l x+\Omega^{*} t\right)\right] .
\]

Отметим, что $\Omega$ комплексно и тот факт, что $\operatorname{Im} \Omega
eq 0$ указывает на неустойчивость волн. Для коэффициентов в (8.2.22) мы получим два уравнения:
\[
\begin{aligned}
\gamma\left|a_{0}\right|^{2} B_{1}^{*}+B_{2}\left(\Omega^{*}-\beta l^{2}+\gamma\left|a_{0}\right|^{2}\right) & =0, \\
\left(-\Omega-\beta l^{2}+\gamma\left|a_{0}\right|^{2}\right) B_{1}+\gamma\left|a_{0}\right|^{2} B_{2}^{*} & =0 .
\end{aligned}
\]

Условие того, что эта пара уравнений допускает нетривиальное решение, имеет следующий вид:
\[
\Omega^{2}=\beta l^{2}\left(\beta l^{2}-2 \gamma\left|a_{0}\right|^{2}\right) .
\]

Вне зависимости от знака $\beta$ легко показать, что $\Omega^{2}<0$, если
\[
\beta \gamma>\frac{\beta^{2} l^{2}}{2\left|a_{0}\right|^{2}}>0 .
\]

Если $\beta \gamma>0$, то волновые числа $l<2\left|\gamma \beta^{-1}\right|^{1 / 2} a_{0}$ будут неустойчнвыми. Этот критерий согласуется с полученным выше из преобразования обратной задачи рассеяния.

В заключение этого раздела мы приведем пример того, как НУШ возникает в качестве уравнения огибающей, применяя обобщенное уравнение КдФ, попадающее в общую категорию уравнений вида (8.2.1), Это КдФ-уравнение возьмем в таком виде:
\[
u_{t}+u_{x}+\beta_{1}\left(u^{3}\right)_{x}+\beta_{2}\left(u^{3}\right)_{x}+u_{x x x}=0 .
\]

В этом случае для оператора $L$ получается выражение
\[
L=\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}},
\]

а дисперсионное соотношение принимает вид $\omega=k-k^{3}$. Рассматривая разложение $u$ в ряд
\[
u=\sum_{n=1} \varepsilon^{n} u^{(n)}
\]

и ограничиваясь членами порядка $O(\varepsilon)$, находим, что
\[
u^{(\mathrm{I})}=A\left(X_{1}, T_{1}, T_{2}\right) \exp (i \theta)+\text { c. c. }
\]

Переходя далее к членам порядка $O\left(\varepsilon^{1}\right)$, получаем
\[
\left[\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial^{9}}{\partial x^{3}}\right] u^{(2)}=-\left[\frac{\partial A}{\partial T_{1}}+\left(1-3 k^{2}\right) \frac{\partial A}{\partial X_{1}}\right] \exp (i \theta)-
\]
\[
-2 \beta_{1} i k A^{2} \exp (2 i \theta)+\text { c. c. }
\]

Поскольку член $\exp (i \theta)$ является секулярным, можно ввести переменную
\[
\widetilde{X}=X_{1}-\left(1-3 k^{2}\right) T_{1} .
\]

Интегрируя уравнение (8.2.31), мы находим, что
\[
u^{(2)}=\frac{\beta_{1}}{3 k^{2}}\left[A^{2} \exp (2 i \theta)+A^{* *} \exp (-2 i \theta)\right]+B\left(\bar{X}, T_{2}\right),
\]

где $B\left(\bar{X}, T_{2}\right)$ – постоянная интегрирования по отношению к быстрым переменным $x$ и $t$, которая может быть функцией медленных переменных. Рассматривая теперь члены порядка $O\left(\varepsilon^{3}\right)$, получаем
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}\right) u^{(3)}+\left(3 \frac{\partial^{3}}{\partial x^{2} \partial X_{1}}+\frac{\partial}{\partial X_{1}}+\frac{\partial}{\partial T_{1}}\right) \times \\
\times\left[\frac{\beta_{1}}{3 k^{2}} A^{2} \exp (2 i \theta)+\frac{\beta_{1}}{3 k^{2}} A^{* 5} \exp (-2 i \theta)+B\right]+ \\
+\left[3 \frac{\partial^{3}}{\partial x \partial X_{1}^{2}}+\frac{\partial}{\partial T_{1}}\right]\left[A \exp (i \theta)+A^{*} \exp (-i \theta)\right]= \\
=-\beta_{2} \frac{\partial}{\partial x}\left[A|A|^{2} \exp (i \theta)+\ldots\right]- \\
-2 \beta_{1} \frac{\partial}{\partial x}\left[\left(A B+\frac{\beta_{1}}{3 k^{2}} A|A|^{2}\right) \exp (i \theta)+\ldots\right]- \\
-\beta_{1} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\left[A^{2} \exp (2 i \theta)+2|A|^{2}+A^{* 3} \exp (-2 i \theta)\right] .
\end{aligned}
\]

В выражении (8.2.34) имеются секулярные члены двух видов: те, которые зависят только от медленных переменных и приводят к появлению членов в $u^{s}$, явно зависящих от $x$ и $t$. Их удаление дает уравнение
\[
\left(\frac{\partial}{\partial \bar{X}_{1}}+\frac{\partial}{\partial T_{1}}\right) B=-2 \beta_{1} \frac{\partial}{\partial X_{1}}\left(|A|^{2}\right)
\]

Из (8.2.32) вытекает, что
\[
B=-\frac{2 \beta_{1}}{3 k^{2}}|A|^{2} .
\]

Удаление секулярных членов, связанных с $\exp (i \theta)$, приводит к уравнению
\[
3 i k \frac{\partial^{2} A}{\partial \tilde{X}^{2}}+\frac{\partial A}{\partial T_{3}}=-i \beta_{2} k A|A|^{2}+\frac{2 i \beta_{1}^{2}}{3 k} A|A|^{2},
\]

которое окончательно может быть записано в виде НУШ:
\[
i \frac{\partial A}{\partial T_{2}}=3 k \frac{\partial^{2} A}{\partial \bar{X}^{2}}+k\left(\beta_{2}-\frac{2 \beta_{1}^{2}}{3 k^{2}}\right) A|A|^{2} .
\]

Критерий $\beta \gamma>0$ для решения в этом случае принимает вид
\[
3 k^{2} \beta_{2}>2 \beta_{1}^{2} \text {. }
\]
«Чистое» КдФ-уравнение (случай $\beta_{2}=0$ ) не позволяет появляться солитонам огибающей «поверх» волн непрерывного спектра, в то время как мКдФ-уравнение (случай $\beta_{1}=0$ ) позволяет это, если $\beta_{2}>0$. Вспоминая гл. 6 , где мы показали, что решения-бризеры (комплексно-сопряженные собственные значения) могут существовать для мКдФ-уравнения при $\beta_{2}>0$, но не могут при $\beta_{2}<0$, и не могут существовать для КдФ-уравнения, видим, что это согласуется с результатами настоящего раздела для НЛШ-уравнения, поскольку решения-бризеры в высокочастотном пределе становятся солитонами огибающей, модулирующими несущую волну.

Итак, мы показали в этом разделе, что устойчивые консервативные системы подчнняются НЛШ-уравнениям – характерным уравнениям для огибающих. В следующих двух разделах мы сосредоточим внимание на двух рабочих примерах, первый из которых представляет собой небольшое отклонение от общего случая (выводится двумерное НШЛ-уравнение, описывающее оптическую самофокусировку, в котором пространственные переменные трансверсальны к направлению распространения падающей волны).